方程组与不等式组知识点学生版Word格式文档下载.docx
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(4)合并同类项:
把方程化成ax=b(a≠0)的形式
(5)系数化为1:
方程两边同除以x的系数,得x=
的形式
考点3二元一次方程组的解法
解方程组的思想是消元法,所用的方法是加减消元法、代入消元法.
二、一元二次方程及其应用
考点1一元二次方程的概念及一般形式
含有一个个未知数,并且未知数最高次数是2的整式方程
ax2+bx+c=0(a≠0)
提醒:
在一元二次方程的一般形式中要注意强调ax2+bx+c=0(a≠0);
还要注意各项系数的符号
考点2一元二次方程的四种解法
直接开平方法:
适合于(x+a)2=b(b≥0)或(ax+b)2=(cx+d)2形式的方程
因式分解法:
思路:
把方程化成ab=0的形式,得a=0或b=0
方法:
常用的方法主要运用提公因式法、平方差公式、完全平方公式、十字相乘法型因式分解
公式法:
(求根公式)一元二次方程ax2+bx+c=0,且b2-4ac≥0时,则x1,2=
公式法的步骤:
(1)将方程化成ax2+bx+c=0(a≠0)的形式;
(2)确定a,b,c的值;
(3)若b2-4ac≥0,则代入求根公式,得x1,x2,若b2-4ac<
0,则方程无实数根
配方法:
通过配成完全平方的形式解一元二次方程
配方法的步骤:
①化二次项系数为1;
②把常数项移到方程的另一边;
③在方程两边同时加上一次项系数一半的平方;
④把方程整理成(x+a)2=b的形式;
⑤运用直接开平方解方程
考点3一元二次方程的根的判别式
根的判别式定义:
关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式为b2-4ac.也把它记作Δ=b2-4ac
判别式与根的关系:
(1)b2-4ac>
0⇔方程有2个不相等的实数根;
(2)b2-4ac=0⇔方程有2个相等的实数根;
(3)b2-4ac<
0⇔方程没有实数根
防错提醒:
在使用根的判别式解决问题时,如果二次项系数中含有字母,要加上二次项系数不为零这个限制条件
考点4一元二次方程的根与系数的关系
关系式:
一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1,x2,则x1+x2=-
,x1x2=
利用一元二次方程根与系数的关系时,要注意判别式Δ≥0
应用:
考点5一元二次方程的应用
增长率问题
(1)增长率=增量÷
基础量
(2)设a为原来的量,m为增长率,b为连续两次增长后的量,则a(1+m)2=b,当m为平均下降率时,则a(1-m)2=b
利率问题:
(1)本息和=本金+利息
(2)利息=本金×
利率×
期数
销售利润问题:
(1)毛利润=售出价-进货价
(2)纯利润=售出价-进货价-其他费用
三、分式方程及其应用
考点1分式方程
分式方程:
分母里含有未知数的方程叫做分式方程
增根:
去分母时,有可能使原分式方程的根的取值范围扩大,因此解分式方程要验根,其方法是代入最简公分母中看其是不是为0
考点2分式方程的解法
基本思想:
把分式方程转化为整式方程,即分式方程通过去分母或换元法转化为整式方程
直接去分母法:
方程两边同乘各分式的去分母,约去分母,化为整式方程,再求根验根。
换元法:
分式方程中的某个分式进行设整式换元
考点3分式方程的应用
列分式方程解应用题的方法步骤跟列其他方程(组)解应用题方法步骤类似.值得注意的是:
在检验根时,既要检验求出来的根是否为原方程的根,又要检验是否符合题意.
四、一元一次方程(组)及其应用
考点1不等式
概念:
一般地,用不等号表示不等关系的式子叫做不等式
不等式的解:
使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解
不等式的解集:
能使不等式成立的未知数的取值范围叫做不等式的解的集合,简称解集
不等式的基本性质:
不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号的方向不变
不等式两边同乘(或除以)一个正数,不等号的方向不变
不等式两边同乘(或除以)一个负数,不等号的方向改变
考点2一元一次不等式
只含有一个未知数,且未知数的次数是1的不等式,叫做一元一次不等式,其一般形式为ax+b>
0或ax+b<
0(a≠0)
解一元一次不等式的步骤:
(1)去分母;
(2)去括号;
(3)移项;
(4)合并同类项;
(5)系数化为1
考点3一元一次不等式组
含有相同未知数的若干个一元一次不等式所组成的不等式组叫做一元一次不等式组
不等式组的解集的求法:
解不等式组一般先分别求出不等式组中各个不等式的解集并表示在数轴上,再求出它们的公共部分就得到不等式组的解集
不等式组的解集情况(假设
a<
b)
x>
b
同大取大
x<
a
同小取小
大小小大中间找
无解
大大小小解不了
考点4一元一次不等式(组)的应用
列不等式(组)解应用题的步骤:
(1)找出实际问题中的不等关系,设定未知数,列出不等式(组);
(2)解不等式(组);
(3)从不等式(组)的解集中求出符合题意的答案
考点5用方程(组)或不等式(组)解决问题
(1)行程问题:
离=速度·
时间
;
(2)工程问题:
工作量=工效·
工时
(3)比率问题:
部分=全体·
比率
(4)顺逆流问题:
顺流速度=静水速度+水流速度,逆流速度=静水速度-水流速度;
(5)商品价格问题:
售价=定价·
折·
,利润=售价-成本,
(6)周长、面积、体积问题:
C圆=2πR,S圆=πR2,C长方形=2(a+b),S长方形=ab,C正方形=4a,
S正方形=a2,S环形=π(R2-r2),V长方体=abc,V正方体=a3,V圆柱=πR2h,V圆锥=
πR2h.
2012试题分类汇编:
一元二次方程
一、选择题
1、元二次方程
的根( )
A、
B、
C、
D、
2、且满足
.则称抛物线
互为“友好抛物线”,则下列关于“友好抛物线”的说法不正确的是()
A.y1,y2开口方向,开口大小不一定相同B.y1,y2的对称轴相同
C.如果y2的最值为m,则y1的最值为km
D.如果y2与x轴的两交点间距离为d,则y1与x轴的两交点间距离为
3、(江苏扬州)某村计划新修水渠3600米,为了让水渠尽快投入使用,实际工作效率是原计划工作效率的1.8倍,结果提前20天完成任务,若设原计划每天修水渠
米,则下面所列方程正确的是()
A.
B.
C.
D.
4、(江西高安)关于x的一元二次方程
有两个相等的实数根,则m的值是()
B.
C.
或
5、(荆州)若关于
的一元二次方程
的一个根是
,则另一个根是()
A.2B.1C.
D.0
6、[淮南市]已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中,下列命题是真命题的有()个.
①若a+b+c=0,则b2-4ac≥0;
②若方程ax2+bx+c=0两根为-1和2,则2a+c=0;
③若方程ax2+c=0有两个不相等的实根,则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根。
A.1B.2C.3D.0
7、(柳州市中考数学模拟试题)正比例函数
的图象经过第二、四象限,若
同时满足方程
,则此方程的根的情况是
A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根
C.没有实数根D.不能确定
8、(浙江)已知
则k的值为()
A.2B.-2C.±
2D.0
9、(浙江省)如果代数式x2+4x+4的值是16,则x的值一定是( )
A.-2 B.2
-2
C.2,-6 D.30,-34
10(上海)某单位在两个月内将开支从24000元降到18000元.如果设每月降低开支的百分率均为x(x>
0),则由题意列出的方程应是()
(A)
(B)
(C)
(D)
二、填空题
1、(福建)已知x=-1是一元二次方程x2+mx+n=0的一个根,则m2-2mn+n2的值__.
2、(山东省德州二模)全国教育经费计划支出1980亿元,比增加605亿元,则这两年全国教育经费平均年增长率为___________.
3、(江苏扬州中学一模)若关于
有两个不相等的实数根,则化简代数式
的结果为
4、(昆山)如果α、β是一元二次方程x2+3x-2=0的两个根,则α2+2α-β的值是.
5、已知
则
___________.
6、如果关于x的方程
有两个相等的实数根,那么a的值等于.
7、(上海金山区中考模拟)如果方程
有两个不等实数根,则实数
的取值范围是.
8、(盐城)某校九年级学生毕业时,每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张作纪念,全班共送了2070张相片.若全班有x名学生,根据题意,列出方程为.
9、(福州)方程x2+3x-1=0的根可看作是函数y=x+3的图象与函数y=
的图象交点的横坐标,那么用此方法可推断出方程x3-x-1=0的实数根x0所在的范围是()
A.-1<x0<0B.0<x0<1C.1<x0<2D.2<x0<3
三、解答题
1、(江西南昌十五校联考)南昌市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售,由于国务院有关房地产的新政策出台后,购房者持币观望,房地产开发商为了加快资金周转,对价格经过两次下调后,决定以每平方米4860元的均价开盘销售.
(1)求平均每次下调的百分率.
(2)某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房,开发商给予以下两种优惠方案以供选择:
①打9.8折销售;
②不打折,一次性送装修费每平方米80元,试问哪种方案更优惠?
2、(年江苏海安县质量与反馈)已知:
矩形ABCD的对角线AC、BD的长是关于x的方程
的两个实数根.
(1)求m的值;
(2)直接写出矩形面积的最大值.
3、(宿迁模拟)已知关于x的方程x2﹣2(k﹣1)x+k2=0有两个实数根x1,x2.
(1)求k的取值范围;
(2)若|x1+x2|=x1x2﹣1,求k的值.
4、(苏州市吴中区教学质量调研)解下列关于x的方程:
(1)
(2)
.
5、(西城).某批发商以每件50元的价格购进800件T恤.第一个月以单价80元销售,售出了200件;
第二个月如果单价不变,预计仍可售出200件,批发商为增加销售量,决定降价销售,根据市场调查,单价每降低1元,可多售出10件,但最低单位应高于购进的价格;
第二个月结束后,批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售,清仓时单价为40元.设第二个月单价降低x元.
(1)填表(不需要化简)
时间
第一个月
第二个月
清仓时
单价(元)
80
40
销售(件)
200
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