平面坐标系Word下载.docx
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例1.
設
為實數,若點
在第三象限內,求
之範圍.
類題.
為實數,如果點
在第二象限內,試求
例2.
在坐標平面上有三個點
及
若
為正三角形,求
點的坐標.
或
類題.
(1)平面上有三點
點,已知
為正三角形,試求
點可能
之坐標.
(2)坐標平面上有一三角形
且已知此
為直角三角形,
且
點在
軸上,求
點的坐標.
或(0,1)
例3.
用坐標幾何法證明:
平行四邊形對角線的平方和等於四邊長的平方和.
以坐標幾何法證明(三角形中線定理)
設M是
的邊
之中點,則
例4.
在xy平面上,有三點A(3,0),B(1,2),C(–1,–2)及點P,則當P之坐標是
時,
之值最小,其值為.(1,0),16
(1)設A(2,3),B(5,5),點P在y軸上移動,若欲
之值為最小,則點
P之坐標為.(0,4)
(2)設A(1,0),B(–1,2)在直線L:
x+2y=8上任取一點P使
最小,
求P坐標.
乙.分點公式與三角形的重心、內心與外心
1.分點公式:
為相異兩點,若
且
則
點坐標為
<
Notes:
>
當
時,
中點,
2.三角形的重心:
之三頂點
的重心
之坐
標為
3.三角形的內心:
且
則
的內心
之坐標為
4.三角形的外心:
的外心
就是
之外接圓圓心,利用
建立聯立方程式,解得
而求得外心
之坐標.
例5.
已知平行四邊形ABCD之三頂點A(5,4),B(–2,3),C(3,–1),則頂點D之坐
標為.(10,0)
設一平行四邊形之三頂點為(–3,2),(5,–4),(4,1),求另一點之坐標.
(–2,–3),(–4,7),(12,–5)
例6.
A(–4,6),B(1,5),若C在
上,且
求C之坐標.
或(11,3)
(1)A(3,8),B(4,9),
求P的坐標為.
(6,11)
(2)設D點在
的
邊上,且
的面積=
的面積,若B點
坐標為(0,5),C的坐標為(7,0),則D的坐標為.
例7.
A(–2,4),B(6,–2),C(1,0),若
分別為
內角與外角
之平分線,則P,Q之坐標分別為.
(–4,2)
中,A(2,–8),B(–6,–2),C(6,–5),若
之角平分線交
於D,求
D坐標.(2,–4)
例8.
在
中,A(4,–2),
之中點為M(3,2),
重心G(4,3),求B與
C之坐標.(2,6),(6,5)
(1)
中,A(1,–2),B(
7),C(
b),若其重心為(2,1),求a,b之值.
–2
(2)
之重心為G,邊
的中點分別為M與N,若G,M,N的坐標
分別為G
M(–1,3),N(
),則頂點ABC的坐標分別為.
(0,5),(–2,1),(3,–1)
例9.
之三頂點A(1,2),B(–3,1),C(–2,–4),求
之外心坐標.
坐標平面上,有三點A(5,–1),B(1,7),C(–3,5),試求:
(1)三角形ABC之外心坐標.(1,2)
之外接圓半徑.5
例10.
之三頂點為A(–6,–2),B(6,–5),C(2,–8),則內心I之坐標為.
丙.直線的斜率
1.斜率:
為直線
上相異兩點,則直線
之斜率為
(其中
).
(1)當
軸垂直時,
無斜率.
(2)當直線
由左下到右上傾斜時,其斜率為正.
(3)當直線
由左上到右下傾斜時,其斜率為負.
(4)當直線
水平時,斜率為0.
2.三點共線:
若
三點共線,則直線
之斜率
等於直
線
即
.
3.平行線與垂直線的充要條件:
設兩直線
(1)
「
」或「
都沒有斜率」.
(2)
或「
中有一直線為水平線,一直線為鉛直線」.
例11.
(1)設A(3,2),B(1,k+2),C(4,k-1)三點共線,求k之值.2
(2)設A(2,3),B(x,–1),C(3,5),D(–1,y)四點共線,求x,y之值.0,–3
(1)P(3,1),Q(1,a),R(–2,–1)三點共線,求a之值.
(2)設A(0,–1),B(x,2),C(1,3),D(–2,y)四點共線,求x,y之值.
–9
例12.
設A(–1,2),B(3,3),C(k-1,k+1),D(3,–7),若
求k=.–12
設平行四邊形ABCD中A(–1,2),B(3,5),C(2,–10),D(2k–3,3k+5),
求k=.
例13.
已知直角
三頂點坐標為A(2,–1),B(5,1),C(3,a),則實數a可為.
(1)設A(3,–2),B(2,1),C(–1,a),若
為直角三角形,求a之值.
或0
(2)設A(2,1),B(3,5),C(0,–1),D(2,a),若
求a之值.
例14.
中,A(0,1),B(–1,1),C(1,2),試求
之垂心H為.(1,–1)
(1)梯形ABCD中,
已知A(1,–3),B(–4,1),C(2,–2),求D點坐標.
(2)A(a,1),B(3,5),C(7,3),D(b,–1)為菱形ABCD之四個頂點,求a,b
之值.1,5或5,9
丁.直線方程式
1.直線方程式:
(1)點斜式:
點
斜率
之直線方程式
(2)斜截式:
直線
軸的截距為
方程式為
(3)兩點式:
過相異兩點
之直線方程式為
(4)截距式:
之
軸截距為
則
之方程式為
(5)一般式:
2.兩條直線間之垂直與平行:
設直線
直線
(
)
(1)若兩直線互相垂直,則
(2)若兩直線互相平行,則
3.兩直線之關係:
(1)兩直線交於一點(相容方程組,恰有一解)
(2)兩直線重合(相依方程組,無限多解)
(3)兩直線平行(矛盾方程組,無解)
例15.
分別求下列各直線L之方程式:
(1)若L過(1,–2)與(–2,3)之方程式為.5x+3y+1=0
(2)若L之斜率為2,且過(1,3)之方程式為.2x–y+1=0
(3)若L之斜率為–3,且y截距為2之方程式為.3x+y–2=0
(4)若L之x及y之截距分別為–3與2之方程式為.2x–3y+6=0
已知三點A(5,2),B(1,–2),C(1,–4),若直線L:
通過B,且平分
線段
則m=.
例16.
已知坐標平面上一點P(4,3),及直線L:
過P點與直
線L平行,直線
過P點與直線L垂直,求
的方程式.
2x+3y–17=0,3x–2y–6=0
設A(–1,2)與B(2,3)為坐標平面上兩定點,則線段
之中垂線的方程式為
.3x+y–4=0
例17.
已知三角形三頂點為A(3,3),B(–1,–5),C(6,0),試求:
(1)三中線所在直線方程式與重心坐標.
x–5y–6=0,11x–y–30=0,13x–11y–42=0,
(2)三高所在直線方程式與垂心坐標.
7x+5y–36=0,x–y–4=0,x+2y–6=0,
ABCD為梯形,
交y軸於S,
交x軸於T.已知三頂點A(–3,0),
B(0,–6)及C(5,–1).試求頂點D的坐標,並求
的面積.(3,3),
例18.
L在兩軸上之截距相等,且經過(–2,3),求L的方程式.x+y–1=0,3x+2y=0
(1)若一直線L與x軸,y軸分別交於(a,0)及(0,b),且經過點(1,1),則a+b=ab,
試證之.
(2)L在兩軸上之截距絕對值相等,且經過(–3,1),求L=.
x+3y=0,x–y+4=0,x+y+2=
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