河南省八校届高三上学期第一次联考 数学Word文件下载.docx
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A.4B.5C.7D.9
8.等差数列{an}的前n项和为Sn,且a1+a2=10,a3+a4=26,则过点P(n,an)和Q(n+1,an+1)(n∈N*)的直线的一个方向向量是( )
A.(﹣
,﹣2)B.(﹣1,﹣2)C.(﹣
,﹣4)D.(2,
)
9.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,sin
=
,a=b=3,点P是边AB上的一个三等分点,则
•
+
=( )
A.0B.6C.9D.12
10.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正三角形,则这个几何体的外接球的表面积为( )
11.已知y=f(x)为R上的可导函数,当x≠0时,
,则关于x的函数
的零点个数为( )
A.1B.2C.0D.0或2
12.已知函数f(x)=
,若存在实数x1,x2,x3,x4,满足x1<x2<x3<x4,且f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4),则
的取值范围是( )
A.(0,12)B.(4,16)C.(9,21)D.(15,25)
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知双曲线
=1的右焦点为(3,0),则该双曲线的离心率等于 _________ .
14.若(2x﹣3)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则a1+2a2+3a3+4a4+5a5等于 _________ .
15.已知函数f(x)=esinx+cosx﹣
sin2x(x∈R),则函数f(x)的最大值与最小值的差是 _________ .
16.下列说法:
①“∃x∈R,使2x>3”的否定是“∀x∈R,使2x≤3”;
②函数y=sin(2x+
)sin(
﹣2x)的最小正周期是π,
③命题“函数f(x)在x=x0处有极值,则f′(x0)=0”的否命题是真命题;
④f(x)是(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,x>0时的解析式是f(x)=2x,则x<0时的解析式为f(x)=﹣2﹣x
其中正确的说法是 _________ .
三、解答题:
本大题共5小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(12分)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且2cosAcosC(tanAtanC﹣1)=1.
(Ⅰ)求B的大小;
(Ⅱ)若
,
,求△ABC的面积.
18.(12分)现有4个人去参加娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性,约定:
每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏,掷出点数为1或2的人去参加甲游戏,掷出点数大于2的人去参加乙游戏.
(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率;
(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率;
(3)用X,Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数,记ξ=|X﹣Y|,求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ.
19.(12分)(2015•惠州模拟)如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,平面A1BC⊥侧面A1ABB1,且AA1=AB=2.
(1)求证:
AB⊥BC;
(2)若直线AC与平面A1BC所成的角为
,求锐二面角A﹣A1C﹣B的大小.
20.(12分)已知椭圆C的中心在原点,离心率等于
,它的一个短轴端点点恰好是抛物线x2=8
y的焦点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知P(2,3)、Q(2,﹣3)是椭圆上的两点,A,B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点,
①若直线AB的斜率为
,求四边形APBQ面积的最大值;
②当A、B运动时,满足∠APQ=∠BPQ,试问直线AB的斜率是否为定值,请说明理由.
21.(12分)已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax2+1
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)设a<﹣1.如果对任意x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)﹣f(x2)|≥4|x1﹣x2|,求a的取值范围.
四、选考题(请考生在第22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做第一题记分.)选修4-1:
几何证明选讲
22.(10分)已知AB为半圆O的直径,AB=4,C为半圆上一点,过点C作半圆的切线CD,过点A作AD⊥CD于D,交半圆于点E,DE=1.
(Ⅰ)求证:
AC平分∠BAD;
(Ⅱ)求BC的长.
五、选考题(请考生在第22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做第一题记分.)选修4-4:
坐标素与参数方程
23.已知在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为
(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ=0.
(Ⅰ)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;
(Ⅱ)设点P是曲线C上的一个动点,求它到直线l的距离d的取值范围.
六、选考题(请考生在第22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做第一题记分.)选修4-5:
不等式选讲
24.关于x的不等式lg(|x+3|﹣|x﹣7|)<m.
(Ⅰ)当m=1时,解此不等式;
(Ⅱ)设函数f(x)=lg(|x+3|﹣|x﹣7|),当m为何值时,f(x)<m恒成立?
参考答案
一、选择题DCDCDDCCBBCA
二、填空题
13、
14、1015、
16、①④
17.解:
(Ⅰ)由
得:
,又
……………6分
(Ⅱ)由余弦定理得:
又
…………12分
18.解:
依题意,这4个人中,每个人去参加甲游戏的概率为
,去参加乙游戏的概率为
.设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件
(i=0,1,2,3,4),则
(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率
3分
(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B,则
由于
与
互斥,故
所以,这4个人去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为
………7分
(3)ξ的所有可能取值为0,2,4.由于
互斥,
,
。
所以ξ的分布列是
ξ
2
4
P
随机变量ξ的数学期望
12分
19.解
(1)证明:
如图,取
的中点
,连接
,因
,则
由平面
侧面
,且平面
得
平面
,所以
.
因为三棱柱
是直三棱柱,则
,所以
,从而
,故
.-------6分
(2)解法一:
连接
,由
(1)可知
是
在
内的射影
∴
即为直线
所成的角,则
在等腰直角
中,
,且点
中点,∴
,且
过点A作
于点
,连
,由
(1)知
∴
即为二面角
的一个平面角且直角
中:
∴
且二面角
为锐二面角∴
,即二面角
的大小为
----12分
解法二(向量法):
由
(1)知
且
,所以以点
为原点,以
所在直线分别为
轴建立空间直角坐标系
,如图所示,且设
设平面
的一个法向量
,由
令
,得
设直线
所成的角为
得
,解得
,即
又设平面
的一个法向量为
,同理可得
,设锐二面角
∴锐二面角
.------------12分
20.解:
(1)设椭圆
的方程为
.由
∴椭圆C的方程为
.……2分
(2)(
)解:
设
,直线
,代入
由
由韦达定理得
.四边形
的面积
∴当
.……4分
(
当
、
的斜率之和为0,设直线
的斜率为
则
的直线方程为
…………6分
(1)代入
(2)整理得
同理
,可得
所以
的斜率为定值
.…………12分
21、解:
(1)
的定义域为
.
时,
单调递增;
单调递减;
时,令
即
;
故
单调递增,在
…………(6分)
(2)不妨设
,而
单调递减,从而对任意
,恒有
…..(8分)
等价于
单调递减,
的取值范围为
…………….(12分)
另解:
设
22、
(1)连接
,因为
.
为半圆的切线,∴
.∵
平分
.5分
(2)连接
,由
(1)得
,∴
∵
四点共圆.∴
.∵AB是圆O的直径,∴
是直角.∴
∽
.∴
.10分
23.(
)直线
的普通方程为:
曲线的直角坐标方程为
---4分
)设点
的取值范围是
.---------10分
24.解:
解:
(Ⅰ)当
时,原不等式可变为
,可得其解集为
(Ⅱ)设
,则由对数定义及绝对值的几何意义知
因
上为增函数,则
,当
故只需
即可,即
恒成立.
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