高等数学导数的意义求导法则与高阶导数知识与练习Word格式.docx
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3.
在
点可导的性质:
性质1(必要条件)
点可导
点连续,
即:
可导连续,不连续不可导。
性质2(充要条件)
依此用于判定连续函数在分段点的可导性。
性质3
点可导且
:
当
有
当
即
的符号指示了
变化方向!
4.两个结论:
1)可导的偶(奇)函数的导数是奇(偶)函数;
2)可导的周期函数的导数仍为具有相同周期的周期函数。
下面给出结论1的证明:
设
为偶函数,即
又
可导,根据导数定义,
为偶函数。
求导的基本知识
1.求导法则(四则运算法则):
若
都在点
具有导数,那么它们的和、差、积、商(除分母为零的点外)都在
具有导数,且
2.反函数的求导法则:
在区间
内单调,可导且
,则它的反函数
内也可导,且
即“反函数的导数等于直接函数导数的倒数”。
3.复合函数的求导法则:
可导,
则复合函数
可导,且
4.常用求导公式:
(略)
5.补充两个结论:
Ⅰ
点连续且
,
则
点可导。
依此,可方便地判定
在一点的可导性。
Ⅱ
点可导,
点连续但不可导,
即若
点不可导,
依此,可用于判定可导函数与连续函数之积函数在一点可导性。
证明:
Ⅰ
(或
)
(或
点可导
且
点导数
存在
或
Ⅱ
设
由
知
点可导,反证之,若
知
,由
、
点可导且
点可导与条件
点连续矛盾
高阶导数基本知识
1.高阶导数定义:
二阶导数:
阶导数:
2.高阶导数的基本公式:
(
任意数)
简记为
,
阶可导,
重点难点
1.求一给定的函数
的任意阶导数即
,常用如下方法:
(1)归纳法:
先逐一求出
的一、二、三阶导数,然后正确归纳
的公式(必要时用数学归纳法证明之)。
(2)分解法:
通过恒等变形将
分解成
,求出
,则有
(3)用莱布尼兹公式求乘积函数的
阶导数。
(4)利用简单的初等函数的
阶导数公式。
2.求高阶导一般比较麻烦,应先化简变成基本公式中的形式,再套用公式。
例
(1)求有理分式的高阶导时,应先化为真分式和多项式之和,而真分式分解成若干次数较低的分式之和,此后再求导。
(2)求三角函数的高阶导时,通过倍角公式或积化和差将其化为若干个基本三角函数的
代数和,再行求导。
(3)反三角函数的高阶导数时,因反双曲、对数函数的一阶导都是代数函数,它们的高阶导即求代数函数的低一阶的导数。
3.计算带有
或分段函数的复合函数的二阶导数时,应先把复合函数按分段函数正确表达,再逐次求导;
在分段点若一阶导不存在,则二阶导不必计算;
若存在,应根据一阶导的分段表达式再按导数定义进行计算,步骤比较多,不要遗漏。
习题选解
1.求下列函数的二阶导数:
(10)
解:
(采用逐阶求导法解之)
(11)
3.若
存在,求下列函数
的二阶导数
(1)
(2)
4.试从
导出:
(2)
[注:
等仍是
的函数]
6.验证
(
常数)满足关系式
[只须算出
,再验证之]
8.求下列函数的
阶导数的一般表达式:
(4)
由乘积函数的莱布尼兹公式和
得:
9.求下列函数所指定的阶的导数:
求
.
[
的高阶导数都为零,应该用莱布尼兹公式计算本题]
在线检测
1.设
阶导数,求证:
2.求下列函数的
阶导数
(3)
3.求
处的
4.设
具有二阶导,求
【答案:
1.略
2.
(1)
[提示:
注意
]
变形
(3)
用莱布尼兹公式]
3.
]
4.
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