高数复习知识点汇总Word文档格式.docx
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2、极限存在准则
1)夹逼准则:
1)
2)
2)单调有界准则:
单调有界数列必有极限.
3、无穷小(大)量
1)定义:
若
则称为无穷小量;
则称为无穷大量.
2)无穷小的阶:
高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、
阶无穷小
Th1
;
Th2
(无穷小代换)
4、求极限的方法
1)单调有界准则;
2)夹逼准则;
3)极限运算准则与函数连续性;
4)两个重要极限:
a)
b)
5)无穷小代换:
(
)(重点)
b)
c)
(
)
d)
e)
二、导数与微分
(一)导数
1、定义:
左导数:
右导数:
点可导
2、几何意义:
为曲线
在点
处的切线的斜率.
3、可导与连续的关系:
4、求导的方法
1)导数定义;
2)基本公式;
3)四则运算;
4)复合函数求导(链式法则);
5)隐函数求导数;
6)参数方程求导;
7)对数求导法.(重点)
5、高阶导数
2)Leibniz公式:
(二)微分
,其中
与
无关.
2)可微与可导的关系:
可微
可导,且
三、微分中值定理与导数的应用
(一)中值定理
1、Rolle定理:
(重点)若函数
满足:
;
3)
则
.
2、Lagrange中值定理:
若函数
3、Cauchy中值定理:
(二)洛必达法则(重点)
(三)Taylor公式(不考)
(四)单调性与极值
1、单调性判别法:
,
,则若
,则
单调增加;
则若
单调减少.
2、极值与其判定定理:
a)必要条件:
可导,若
为
的极值点,则
b)第一充分条件:
的邻域可导,且
c)则①若当
时,
,当
为极大值点;
②若当
为极小值点;
③若在
的两侧
不变号,则
不是极值点.
d)第二充分条件:
处二阶可导,且
e)则①若
②若
为极小值点.
3、凹凸性与其判断,拐点
在区间I上连续,若
,则称
在区间I上的图形是凹的;
在区间I上的图形是凸的.
2)判定定理(重点):
上连续,在
上有一阶、二阶导数,则
a)若
则
上的图形是凹的;
b)若
上的图形是凸的.
3)拐点:
设
在区间I上连续,
是
的点,如果曲线
经过点
时,曲线的凹凸性改变了,则称点
为曲线的拐点.
(五)不等式证明
1、利用微分中值定理;
2、利用函数单调性;
3、利用极值(最值).
(六)方程根的讨论
1、连续函数的介值定理;
2、Rolle定理;
3、函数的单调性;
4、极值、最值;
5、凹凸性.
(七)渐近线
1、铅直渐近线:
为一条铅直渐近线;
2、水平渐近线:
为一条水平渐近线;
3、斜渐近线:
存在,则
为一条斜
渐近线.
(八)图形描绘
四、不定积分
(一)概念和性质
1、原函数:
在区间I上,若函数
称为
的一个原函数.(重点)
2、不定积分:
在区间I上,函数
的带有任意常数的原函数称为
在区间I上的不定积分.
3、基本积分表(P188,13个公式);
4、性质(线性性).
(二)换元积分法(重点)
1、第一类换元法(凑微分):
2、第二类换元法(变量代换):
(三)分部积分法:
(四)有理函数积分
1、“拆”;
2、变量代换(三角代换、倒代换、根式代换等).
五、定积分
(一)概念与性质:
2、性质:
(7条)
性质7(积分中值定理)函数
在区间
上连续,则
,使
(平均值:
(二)微积分基本公式(N—L公式)(重点)
1、变上限积分:
推广:
2、N—L公式:
的一个原函数,则
(三)换元法和分部积分(重点)
1、换元法:
2、分部积分法:
(四)反常积分
1、无穷积分:
2、瑕积分:
(a为瑕点)
(b为瑕点)
两个重要的反常积分:
1)
六、定积分的应用
(一)平面图形的面积
1、直角坐标:
2、极坐标:
(二)体积
1、旋转体体积:
a)曲边梯形
轴,绕
轴旋转而成的旋转体的体积:
b)曲边梯形
(柱壳法)
2、平行截面面积已知的立体:
(三)弧长
2、参数方程:
3、极坐标:
七、微分方程
(一)概念
1、微分方程:
表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间关系的方程.
阶:
微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数.
2、解:
使微分方程成为恒等式的函数.
通解:
方程的解中含有任意的常数,且常数的个数与微分方程的阶数相同.
特解:
确定了通解中的任意常数后得到的解.
(二)变量可分离的方程(重点)
,两边积分
(三)齐次型方程
,设
或
(四)一阶线性微分方程(重点)
用常数变易法或用公式:
(五)可降阶的高阶微分方程
1、
次;
2、
(不显含有
),令
3、
(六)线性微分方程解的结构
是齐次线性方程的解,则
也是;
是齐次线性方程的线性无关的特解,则
是方程的通解;
为非齐次方程的通解,其中
为对应齐次方程的线性无关的解,
非齐次方程的特解.
(七)常系数齐次线性微分方程(重点)
二阶常系数齐次线性方程:
特征方程:
,特征根:
特征根
通解
实根
(八)常系数非齐次线性微分方程
设特解
其中
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