高教版中职数学拓展模块22《双曲线》word教案Word格式.docx
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教学过程
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新知探究
探究点一
双曲线的定义
【问题导思】
1.取一条拉链,拉开它的一部分,在拉开的两边上各选择一点,分别固定在点F1,F2处,把笔尖放于点M,拉开闭拢拉链,笔尖经过的点可画出一条曲线,思考曲线满足什么条件?
【提示】 如图,曲线上的点满足条件:
|MF1|-|MF2|=常数;
如果改变一下位置,使|MF2|-|MF1|=常数,可得到另一条曲线.
2.双曲线定义中强调平面内动点到两定点的距离差的绝对值为常数,若没有绝对值,则动点的轨迹是什么?
【提示】 双曲线的一支.
3.双曲线定义中,为什么要限制常数2a<|F1F2|?
【提示】 只有当2a<|F1F2|时,动点的轨迹才是双曲线;
若2a=|F1F2|,轨迹是两条射线;
若2a>|F1F2|,满足条件的点不存在.
4.
已知点P(x,y)的坐标满足下列条件,试判断下列各条件下点P的轨迹是什么图形?
【提示】
(1)∵
表示点P(x,y)到两定点F1(-5,0)、F2(5,0)的距离之差的绝对值,|F1F2|=10,∴||PF1|-|PF2||=6<
|F1F2|,故点P的轨迹是双曲线.
(2)∵
表示点P(x,y)到两定点F1(-4,0)、F2(4,0)的距离之差,|F1F2|=8,∴|PF1|-|PF2|=6<
|F1F2|,故点P的轨迹是双曲线的右支.
探究点二
双曲线的标准方程
1.能否用推导椭圆标准方程的方法推出双曲线的方程?
怎样推导?
【提示】 能.
(1)建系:
以直线F1F2为x轴,F1F2的中点为原点建立平面直角坐标系.
(2)设点:
设M(x,y)是双曲线上任一点,且双曲线的焦点坐标为F1(-c,0),F2(c,0).
(3)列式:
由|MF1|-|MF2|=±
2a,
可得
(4)化简:
移项,平方后可得
(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2).
令c2-a2=b2,得双曲线的标准方程为
2.双曲线的标准形式有两种,如何区别焦点所在的坐标轴?
【提示】 双曲线标准方程中x2与y2的系数的符号决定了焦点所在的坐标轴:
当x2系数为正时,焦点在x轴上;
当y2的系数为正时,焦点在y轴上,而与分母的大小无关.
双曲线的标准方程
【典例精讲】
命题方向一
双曲线标准方程的理解
例1.方程
表示的曲线为C,给出下列四个命题
①曲线C不可能是圆;
②若1<k<4,则曲线C为椭圆;
③若曲线C为双曲线,则k<1或k>4;
④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆,则
其中正确命题的序号是________.
【解析】 当4-k=k-1=0时,即
时,曲线C是圆,∴命题①是假命题.对于②,当1<k<4且
时,曲线C是椭圆,则②是假命题.
根据双曲线和椭圆定义及其标准方程,③④是真命题.
【答案】 ③④
【小结】
1.双曲线焦点在x轴上⇔标准方程中x2项的系数为正;
双曲线焦点在y轴上⇔标准方程中y2项的系数为正.
2.在曲线方程
中,若m=n>0,则曲线表示一个圆;
若m>0,n>0,且m≠n,则曲线表示一个椭圆;
若mn<0,则曲线表示双曲线.
【变式训练】若k∈R,则“k>3”是“方程
表示双曲线”的(
)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】方程
表示双曲线的充要条件是(k-3)(k+3)>0,即k<-3或k>3;
当k>3时,一定有(k-3)(k+3)>0,但反之不成立.∴k>3是方程表示双曲线的充分不必要条件.
【答案】A
命题方向二
求双曲线的标准方程
例2.
(1)已知双曲线的焦点在y轴上,并且双曲线过点
求双曲线的标准方程;
(2)求与双曲线
有公共焦点,且过点
的双曲线方程.
解析:
(1)由已知可设所求双曲线方程为
解得
∴双曲线的方程为
(2)方法一 设双曲线方程为
由题意易求得
又双曲线过点
又∵
故所求双曲线的方程为
方法二 设双曲线方程为
(-4<
k<
16),将点
代入得k=4,∴所求双曲线方程为
1.求双曲线标准方程一般有两种方法:
一是定义法,二是待定系数法.
2.用待定系数法求双曲线标准方程的步骤:
(1)定位:
确定双曲线的焦点位置,如果题目没有建立坐标系,一般把焦点放在x轴上;
(2)设方程:
根据焦点的位置设相应的双曲线标准方程(当焦点在两个坐标轴上都有可能时,一般设为Ax2+By2=1(AB<0));
(3)定值:
根据题目的条件确定相关的系数的方程,解出系数,代入所设方程.
【变式训练】
(1)与椭圆
共焦点且过点Q(2,1)的双曲线方程为________.
(2)设双曲线的焦点为
双曲线上的一点P满足|PF1|-|PF2|=4,则双曲线的方程为________.
【解析】
(1)由题意知双曲线的焦点为
设其方程为
,又过Q(2,1),则
解得a2=2,则所求双曲线的方程为
(2)由双曲线的定义可知2a=4,即a=2,又
∴b2=c2-a2=3,又因为双曲线的焦点在y轴上,故其方程为
【答案】
命题方向三
双曲线定义的应用
例3.已知A,B两地相距2000m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚4s,且声速为330m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.
如图
建立直角坐标系xOy,使A,B两点在x轴上,并且坐标原点O与线段AB的中点重合.
设爆炸点P的坐标为(x,y),
则|PA|-|PB|=330×
4=1320,
即2a=1320,a=660.
又|AB|=2000,
所以2c=2000,c=1000,b2=c2-a2=564400.
因为|PA|-|PB|=330×
4=1320>
0,所以x>
0.
因此炮弹爆炸点的轨迹(双曲线)的方程为
小结
(1)解答与双曲线有关的应用问题时,不但要准确把握题意,了解一些实际问题的相关概念,同时还要注意双曲线的定义及性质的灵活应用.
(2)实际应用问题要注意其实际意义以及在该意义下隐藏着的变量范围.
【变式训练】已知圆C1:
和圆C2:
动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,求动圆圆心M的轨迹方程.
【解】如图所示,设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B,根据两圆外切的条件,得
|MC1|-|AC1|=|MA|,
|MC2|-|BC2|=|MB|.
∵|MA|=|MB|,
∴|MC1|-|AC1|=|MC2|-|BC2|,
∴|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=3-1=2.
这表明动点M与两定点C2,C1的距离的差是常数2.
根据双曲线的定义,动点M的轨迹为双曲线的左支,
则2a=2,a=1,c=3,
∴b2=c2-a2=8
因此所求动点M的轨迹方程为
当堂检测
1.设P是双曲线
上一点,F1,F2分别是双曲线左、右两个焦点,若|PF1|=9,则|PF2|=(
)
A.1
B.17
C.1或17
D.以上答案均不对
【解析】由双曲线定义||PF1|-|PF2||=8,又|PF1|=9,∴|PF2|=1或17,但应注意双曲线的右顶点到右焦点距离最小为c-a=6-4=2>1,∴|PF2|=17.
【答案】B
2.若k>
1,则关于x,y的方程
所表示的曲线是( )
A.焦点在x轴上的椭圆
B.焦点在y轴上的椭圆
C.焦点在y轴上的双曲线
D.焦点在x轴上的双曲线
【解析】将已知方程化为标准形式,根据项的系数符号进行判断.原方程可化为
∵k>
1,∴k2-1>
0,1+k>
0.∴已知方程表示的曲线为焦点在y轴上的双曲线.
3.双曲线方程为x2-2y2=1,则它的右焦点坐标为(
【解析】将双曲线方程化为标准形式
所以a2=1,
∴右焦点坐标为
【答案】C
4.双曲线的一个焦点为(0,-6),且经过点(-5,6),求此双曲线的标准方程.
【解】由题意知c=6,且焦点在y轴上,另一焦点为(0,6),所以由双曲线的定义有
∴a=4,∴b2=62-42=20,
∴双曲线的标准方程为
课堂小结
1.理解双曲线的定义应特别注意以下两点:
(1)距离的差要加绝对值,否则表示双曲线的一支.
(2)距离差的绝对值必须小于焦距,否则不是双曲线
2.求双曲线的标准方程包括“定位”和“定量”两个过程.“定位”指确定焦点在哪个坐标轴上,“定量”是指确定a2,b2的大小.
板书
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