浙江高考数学二轮复习练习专题限时集训12 圆锥曲线的定义方程几何性质 Word版含答案Word文档格式.docx
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3.已知双曲线
-
=1(a>
0,b>
0)的焦距为2
,且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直,则双曲线的方程为( )
-y2=1B.x2-
=1
=1D.
A [由焦距为2
得c=
.因为双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直,所以
=
.
又c2=a2+b2,解得a=2,b=1,
所以双曲线的方程为
-y2=1.]
4.设点P是椭圆
+
=1(a>b>0)上一点,F1,F2分别是椭圆的左,右焦点,I为△PF1F2的内心,若S△IPF1+S△IPF2=2S△IF1F2,则该椭圆的离心率为
( )
B.
D.
A [因为S△IPF1+S△IPF2+S△IF1F2=S△PF1F2,所以3S△IF1F2=S△PF1F2,设△PF1F2内切圆的半径为r,则有
×
2c×
r=
(|PF1|+|PF2|+2c)×
r,整理得|PF1|+|PF2|=4c,即2a=4c,所以e=
.]
5.已知椭圆C:
=1(a>b>0)的离心率为
.双曲线x2-y2=1的渐近线与椭圆C有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C的方程为( )【导学号:
68334127】
=1B.
D [椭圆的离心率e=
,
所以a=2b.
所以椭圆方程为x2+4y2=4b2.
因为双曲线x2-y2=1的渐近线方程为x±
y=0,
所以渐近线x±
y=0与椭圆x2+4y2=4b2在第一象限的交点为
所以由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为
b×
b=4,
所以b2=5,所以a2=4b2=20.
所以椭圆C的方程为
=1.故选D.]
二、填空题
6.双曲线M:
x2-
=1的左、右焦点分别为F1,F2,记|F1F2|=2c,以坐标原点O为圆心,c为半径的圆与双曲线M在第一象限的交点为P,若|PF1|=c+2,则P点的横坐标为________.
[根据双曲线的定义知|PF1|-|PF2|=2,又|PF1|=c+2,所以|PF2|=c,由勾股定理得(c+2)2+c2=4c2,即c2-2c-2=0,解得c=
+1,根据△OPF2是等边三角形得P点的横坐标为
7.已知F1,F2为
=1的左、右焦点,M为椭圆上一点,则△MF1F2内切圆的周长等于3π,若满足条件的点M恰好有2个,则a2=________.
【导学号:
68334128】
25 [由题意得内切圆的半径等于
,因此△MF1F2的面积为
(2a+2c)=
,即
|yM|×
2c,因为满足条件的点M恰好有2个,所以M为椭圆短轴端点,即|yM|=4,所以3a=5c而a2-c2=16,所以a2=25.]
8.(2017·
绍兴一中高考考前适应性考试)设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,过抛物线上一点A作l的垂线,垂足为B.设C
,AF与BC相交于点E.若|CF|=2|AF|,且△ACE的面积为3
,则p的值为________.
[由抛物线y2=2px可得F
,则|CF|=
=3p,又|CF|=2|AF|,则|AF|=
,由抛物线的定义得|AB|=|AF|=
,所以xA=p,则|yA|=
p.由CF∥AB得△ABE∽△FCE,从而得
=2,所以S△CEF=2S△CEA=6
,S△ACF=S△AEC+S△CFE=9
,所以
3p×
p=9
,解得p=
]
三、解答题
9.(2017·
温州市普通高中高考模拟考试)已知A,B,C是抛物线y2=2px(p>0)上三个不同的点,且AB⊥AC.
(1)若A(1,2),B(4,-4),求点C的坐标;
(2)若抛物线上存在点D,使得线段AD总被直线BC平分,求点A的坐标.
图125
[解]
(1)∵A(1,2)在抛物线上,
∴p=2.2分
设C
,则由kABkAC=-1,得t=6,
即C(9,6).4分
(2)设A(x0,y0),B
,C
则直线BC的方程为(y1+y2)y=2px+y1y2,6分
由kABkAC=
·
=-1,
得y0(y1+y2)+y1y2+y
=-4p2,8分
代入直线BC的方程,得(y1+y2)(y+y0)=2p(x-2p-x0),
故直线BC恒过点E(x0+2p,-y0),
因此直线AE的方程为y=-
(x-x0)+y0,10分
代入抛物线的方程y2=2px(p>0),
得点D的坐标为
因为线段AD总被直线BC平分,
所以
13分
解得x0=
,y0=±
p
即点A的坐标为
.15分
10.已知椭圆E:
=1的焦点在x轴上,A是E的左顶点,斜率为k(k>
0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MA⊥NA.
(1)当t=4,|AM|=|AN|时,求△AMN的面积;
(2)当2|AM|=|AN|时,求k的取值范围.
[解] 设M(x1,y1),则由题意知y1>
0.
(1)当t=4时,E的方程为
=1,A(-2,0).2分
由已知及椭圆的对称性知,直线AM的倾斜角为
因此直线AM的方程为y=x+2.
将x=y-2代入
=1得7y2-12y=0.
解得y=0或y=
,所以y1=
.4分
因此△AMN的面积S△AMN=2×
.5分
(2)由题意t>3,k>0,A(-
,0).
将直线AM的方程y=k(x+
)代入
=1得
(3+tk2)x2+2
tk2x+t2k2-3t=0.
由x1·
(-
)=
得x1=
故|AM|=|x1+
|
.7分
由题设,直线AN的方程为y=-
(x+
),
故同理可得|AN|=
由2|AM|=|AN|得
即(k3-2)t=3k(2k-1).
当k=
时上式不成立,因此t=
.9分
t>3等价于
<0,
即
<0.11分
由此得
或
解得
<k<2.
因此k的取值范围是(
,2).15分
[B组 名校冲刺]
1.(2017·
湖州调测)已知点A是抛物线C:
x2=2py(p>0)上一点,O为坐标原点,若以点M(0,8)为圆心,|OA|的长为半径的圆交抛物线C于A,B两点,且△ABO为等边三角形,则p的值是( )
B.2
C.6 D.
D [由题意知|MA|=|OA|,所以点A的纵坐标为4,又△ABO为等边三角形,所以点A的横坐标为
,又点A是抛物线C上一点,所以
=2p×
4,解得p=
2.已知焦点在x轴上的椭圆方程为
=1,随着a的增大该椭圆的形状
A.越接近于圆B.越扁
C.先接近于圆后越扁D.先越扁后接近于圆
D [由题意知4a>a2+1且a>0,解得2-
<a<2+
,又e2=1-
=1-
.因此当a∈(2-
,1)时,e越来越大,当a∈(1,2+
)时,e越来越小,故选D.]
3.已知F1,F2分别是双曲线
=1(a>0,b>0)的左、右焦点,对于左支上任意一点P都有|PF2|2=8a|PF1|(a为实半轴),则此双曲线的离心率e的取值范围是( )【导学号:
68334129】
A.(1,+∞)B.(2,3]
C.(1,3]D.(1,2]
C [由P是双曲线左支上任意一点及双曲线的定义,得|PF2|=2a+|PF1|,所以
=|PF1|+
+4a=8a,所以|PF1|=2a,|PF2|=4a,在△PF1F2中,|PF1|+|PF2|≥|F1F2|,即2a+4a≥2a,所以e=
≤3.又e>1,所以1<e≤3.故选C.]
4.(2017·
嘉兴调测)抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,已知点A,B为抛物线上的两个动点,且满足∠AFB=120°
.过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN,垂足为N,则
的最大值为( )
B.1
A [设AF=a,BF=b,由余弦定理得|AB|2=a2+b2-2abcos120°
=a2+b2+ab=(a+b)2-ab≥(a+b)2-
2=
(a+b)2.∵a+b=AF+BF=2MN,
∴|AB|2≥
|2MN|2,∴
≤
5.设F1,F2是椭圆x2+
=1(0<b<1)的左、右焦点,过F1的直线l交椭圆于A,B两点,若|AF1|=3|F1B|,且AF2⊥x轴,则b2=________.
[由题意F1(-c,0),F2(c,0),AF2⊥x轴,∴|AF2|=b2,∴A点坐标为(c,b2),设B(x,y),
则|AF1|=3|F1B|,∴(-c-c,-b2)=3(x+c,y),∴B
,代入椭圆方程可得
2+
=1.∵1=b2+c2,∴b2=
6.(2017·
杭州学军中学高三模拟)已知抛物线y=x2和直线l:
y=kx+m(m>0)交于两点A,B,当
=2时,直线l过定点________;
当m=________时,以AB为直径的圆与直线y=-
相切.
(0,2)
[设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),联立方程y=x2与y=kx+m,消去y得x2-kx-m=0,则x1+x2=k,x1x2=-m ①
所以y1y2=m2,y1+y2=k2+2m ②
又
=(x1,y1)·
(x2,y2)=x1x2+y1y2=2,所以m2-m-2=0,又m>0,所以m=2,则直线的方程为y=kx+2,故过定点(0,2).以AB为直径的圆与直线y=-
相切,故满足方程2
,将①②代入,得4m2-2m+
=0,解得m=
7.如图126,椭圆C:
=1(a>b>0)的右焦点为F,右顶点、上顶点分别为点A,B,且|AB|=
|BF|.
图126
(1)求椭圆C的离心率;
(2)若点M
在椭圆C内部,过点M的直线l交椭圆C于P,Q两点,M为线段PQ的中点,且OP⊥OQ.求直线l的方程及椭圆C的方程.
68334130】
[解]
(1)由已知|AB|=
|BF|,即
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