组合变形的强度计算Word格式.docx
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在工程实际中,有时会遇到外力不作用在形心主轴所在的纵向对称面内,如上节提到的屋面檀条的受力情况(如图8.2所示)。
在这种情况下,杆件可考虑为在两相互垂直的纵向对称面内同时发生平面弯曲。
实验及理论研究指出,此时梁的挠曲线不再在外力作用平面内,这种弯曲称为斜弯曲。
现在以矩形截面悬臂梁为例(如图8.3(a)所示),分析斜弯曲时应力和变形的计算。
这时梁在F1和F2作用下,分别在水平纵向对称面(Oxz平面)和铅垂纵向对称面(Oxy平面)内发生对称弯曲。
在梁的任意横截面m—m上,由F1和F2引起的弯矩值依次为
,
在横截面m—m上的某点
处由弯矩My和Mz引起的正应力分别为
根据叠加原理,
和
的代数和即为C点的正应力,即
(8-1)
式中,Iy和Iz分别为横截面对y轴和z轴的惯性矩;
My和Mz分别是截面上位于水平和铅垂对称平面内的弯矩,且其力矩矢量分别与y轴和z轴的正向一致(如图8.3(b)所示)。
在具体计算中,也可以先不考虑弯矩My、Mz和坐标y、z的正负号,以其绝对值代入,然后根据梁在F1和F2分别作用下的变形情况,来判断式(8-1)右边两项的正负号。
(a)(b)
图8.3斜弯曲
为了进行强度计算,必须先确定梁内的最大正应力。
最大正应力发生在弯矩最大的截面(危险截面)上,但要确定截面上哪一点的正应力最大(就是要找出危险点的位置),应先确定截面上中性轴的位置。
由于中性轴上各点处的正应力均为零,令
代表中性轴上的任一点,将它的坐标值代入式(8-1),即可得中性方程
(8-2)
从上式可知,中性轴是一条通过横截面形心的直线,令中性轴与y轴的夹角为
,则
式中,角度
是横截面上合成弯矩
的矢量与y轴的夹角(如图8.3(b)所示)。
一般情况下,由于截面的
,因而中性轴与合成弯矩M所在的平面并不垂直。
而截面的挠度垂直于中性轴(如图8.4(a)所示),所以挠曲线将不在合成弯矩所在的平面内,这与平面弯曲不同。
对于正方形、圆形等截面以及某些特殊组合截面,其中
,就是所有形心轴都是主惯性轴,故
,因而,正应力可用合成弯矩M进行计算。
但是,梁各横截面上的合成弯矩M所在平面的方位一般并不相同,所以,虽然每一截面的挠度都发生在该截面的合成弯矩所在平面内,梁的挠曲线一般仍是一条空间曲线。
可是,梁的挠曲线方程仍应分别按两垂直平面内的弯曲来计算,不能直接用合成弯矩进行计算。
图8.4斜弯曲时横截面上的应力情况
确定中性轴的位置后,就可看出截面上离中性轴最远的点是正应力
值最大的点。
一般只要作与中性轴平行且与横截面周边相切的线,切点就是最大正应力的点。
如图8.4(b)所示的矩形截面梁,显然右上角
与左下角
有最大正应力值,将这些点的坐标(y1,
z1)或(y2,z2)代入式(8-1),可得最大拉应力
和最大压应力
。
在确定了梁的危险截面和危险点的位置,并算出危险点处的最大正应力后,由于危险点处于单轴应力状态,于是,可将最大正应力与材料的许用正应力相比较来建立强度条件,进行强度计算。
【例题8.1】一长
的矩形截面木制悬臂梁,弹性模量
,梁上作用有两个集中荷载
,如图8.5(a)所示,设截面
试选择梁的截面尺寸,并计算自由端的挠度。
图8.5例题8.1图
解:
(1)选择梁的截面尺寸。
将自由端的作用荷载
分解
此梁的斜弯曲可分解为在xy平面内及xz平面内的两个平面弯曲,如图8.5(c)所示。
由图8.5可知Mz和My在固定端的截面上达到最大值,故危险截面上的弯矩
上式中Mz与My只取绝对值,且截面上的最大拉压应力相等,故
即
可取h=200mm,b=120mm。
(2)计算自由端的挠度。
分别计算
与
,如图8.5(c)所示,则
8.3拉伸(压缩)与弯曲的组合
拉伸或压缩与弯曲的组合变形是工程中常见的情况。
如图8.6(a)所示的起重机横梁AB,其受力简图如图8.6(b)所示。
轴向力
引起压缩,横向力
引起弯曲,所以杆件产生压缩与弯曲的组合变形。
对于弯曲刚度
较大的杆,由于横向力引起的挠度与横截面的尺寸相比很小,因此,由轴向力引起的弯矩可以略去不计。
于是,可分别计算由横向力和轴向力引起的杆横截面上的正应力,按叠加原理求其代数和,即得横截面上的正应力。
下面我们举一简单例子来说明。
悬臂梁AB(如图8.7(a)所示),在它的自由端A作用一与铅直方向成
角的力F(在纵向对称面
平面内)。
将F力分别沿
轴
轴分解,可得
为轴向力,对梁引起拉伸变形(如图8.7(b)所示);
为横向力,引起梁的平面弯曲(如图8.7(c)所示)。
距A端
的截面上的内力为
轴力
弯矩
图8.6起重机
在轴向力
作用下,杆各个横截面上有相同的轴力
而在横向力作用下,固定端横截面上的弯矩最大,
,故危险截面是在固定端。
图8.7拉弯组合变形
与轴力
对应的拉伸正应力
在该截面上各点处均相等,其值为
而与
对应的最大弯曲正应力
,出现在该截面的上、下边缘处,其绝对值为
在危险截面上与
对应的正应力沿截面高度变化的情况分别如图8.8(a)和图8.8(b)所示。
将弯曲正应力与拉伸正应力叠加后,正应力沿截面高度的变化情况如图8.8(c)所示。
若
>
为拉应力;
<
为压应力。
所以
之值须视轴向力和横向力分别引起的应力而定。
如图8.7(c)所示的应力分布图是在
的情况下作出的。
显然,杆件的最大正应力是危险截面上边缘各点处的拉应力,其值为
(8-3)
由于危险点处的应力状态为单轴应力状态,故可将最大拉应力与材料的许用应力相比较,以进行强度计算。
应该注意,当材料的许用拉应力和许用压应力不相等时,杆内的最大拉应力和最大压应力必须分别满足杆件的拉、压强度条件。
若杆件的抗弯刚度很小,则由横向力所引起的挠度与横截面尺寸相比不能略去,此时就应考虑轴向力引起的弯矩。
图8.8拉弯组合变形的应力叠加
【例题8.2】最大吊重
的起重机如图8.9(a)所示。
若AB杆为工字钢,材料为Q235钢,
,试选择工字钢型号。
(1)先求出CD杆的长度为
(2)以AB为研究对象,其受力如图8.9(b)所示,由平衡方程
,得
图8.9例题8.2图
把F分解为沿AB杆轴线的分量
和垂直于AB杆轴线的分量
,可见AB杆在AC段内产生压缩与弯曲的组合变形。
作AB杆的弯矩图和AC段的轴力图如图8.9(c)所示。
从图中看出,在C点左侧的截面上弯矩为最大值,而轴力与其他截面相同,故为危险截面。
开始试算时,可以先不考虑轴力
的影响,只根据弯曲强度条件选取工字钢。
这时
查型钢表,选取16号工字钢,
选定工字钢后,同时考虑轴力
及弯矩M的影响,再进行强度校核。
在危险截面C的上边缘各点有最大压应力,且为
结果表明,最大压应力与许用应力接近相等,故无需重新选择截面的型号。
8.4偏心拉伸(压缩)
作用在直杆上的外力,当其作用线与杆的轴线平行但不重合时,将引起偏心拉伸或偏心压缩。
钻床的立柱(如图8.10(a)所示)和厂房中支承吊车梁的柱子(如图8.10(b)所示)即为偏心拉伸和偏心压缩。
图8.10偏心拉(压)实例
8.4.1偏心拉(压)的应力计算
现以横截面具有两对称轴的等直杆承受距离截面形心为
(称为偏心距)的偏心拉力
(如图8.11(a)所示)为例,来说明偏心拉杆的强度计算。
设偏心力
作用在端面上的
点,其坐标为(
)。
将力
向截面形心
点简化,把原来的偏心力
转化为轴向拉力F;
作用在
平面内的弯曲力偶矩
;
在这些荷载作用下(如图8.11(b)所示),杆件的变形是轴向拉伸和两个纯弯曲的组合。
当杆的弯曲刚度较大时,同样可按叠加原理求解。
在所有横截面上的内力——轴力和弯矩均保持不变,即
叠加上述三内力所引起的正应力,即得任意横截面m—m上某点
的应力计算式
(a)
式中,
为横截面面积;
分别为横截面对
轴和
轴的惯性矩。
利用惯性矩与惯性半径的关系(参见附录A),有
于是式(a)可改写为
(b)
图8.11偏心拉伸的应力分析
式(b)是一个平面方程,这表明正应力在横截面上按线性规律变化,而应力平面与横截面相交的直线(沿该直线
)就是中性轴(如图8.12所示)。
将中性轴上任一点
代入式(b),即得中性轴方程为
(8-4)
图8.12中性轴及应力分布
显然,中性轴是一条不通过截面形心的直线,它在
、
轴上的截距
分别可以从式(8-4)计算出来。
在上式中,令
,相应的
即为
,而令
由此求得
(8-5)
式(8-5)表明,中性轴截距
和偏心距
符号相反,所以中性轴与外力作用点
位于截面形心
的两侧,如图8.12所示。
中性轴把截面分为两部分,一部分受拉应力,另一部分受压应力。
确定了中性轴的位置后,可作两条平行于中性轴且与截面周边相切的直线,切点
分别是截面上最大拉应力与最大压应力的点,分别将
的坐标代入式(a),即可求得最大拉应力和最大压应力的值
(8-6)
由于危险点处于单轴应力状态,因此,在求得最大正应力后,就可根据材料的许用应力
来建立强度条件。
应该注意,对于周边具有棱角的截面,如矩形、箱形、工字形等,其危险点必定
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