《线性代数》知识点归纳整理Word格式.docx
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(3)例题:
课本P8、课本P21-27、作业P1第1题、作业P1第3题
02、主对角线
一个n阶方阵的主对角线,是所有第k行第k列元素的全体,k=1,2,3…n,即从左上到右下
的一条斜线。
与之相对应的称为副对角线或次对角线,即从右上到左下的一条斜线。
03、转置行列式
即元素
与元素
的位置对调(i表示第i行,j表示第j列),比如说,
与
的位置对调、
的位置对调。
04、行列式的性质
详见课本P5-8(性质1.1.1~1.1.7)
其中,性质1.1.7可以归纳为这个:
+
+…+
(i表示第i行,k表示第k列)
熟练掌握行列式的性质,可以迅速的简化行列式,方便计算。
例题:
作业P1第2题
05、计算行列式
(1)计算二阶行列式
:
①方法(首选):
=
(即,左上角×
右下角-右上角×
左下角)
②方法:
课本P14
(2)计算三阶行列式
(-1)1+1M11+
(-1)1+2M12+
(-1)1+3M13
N阶行列式的计算以此类推。
通常先利用行列式的性质对行列式进行转化,0元素较多时方便计算.(r是row,即行。
c是column,即列)
例题:
课本P5、课本P9、课本P14、作业P1第4题、作业P2第3小题
(3)n阶上三角行列式(0元素全在左下角)与n阶下三角行列式(0元素全在右上角):
D=
…
(主对角线上元素的乘积)
课本P10、作业P3第4小题
有的题可以通过“从第二行起,将各行的元素对应加到第一行”转化成上三角行列式
课本P11
(4)范德蒙行列式:
详见课本P12-13
(5)有的题可以通过“从第二行起,将各行的元素对应加到第一行”提取出“公因式”,得到
元素全为1的一行,方便化简行列式。
作业P2第1小题、作业P2第2小题
06、矩阵中未写出的元素
课本P48下面有注明,矩阵中未写出的元素都为0
07、几类特殊的方阵
详见课本P30-32
(1)上(下)三角矩阵:
类似上(下)三角行列式
(2)对角矩阵:
除了主对角线上的元素外,其他元素都为0
(3)数量矩阵:
主对角线上的元素都相同
(4)零矩阵:
所有元素都为0,记作O
(5)单位矩阵:
主对角线上的元素都为1,其他元素全为0,记作E或En(其行列式的值为1)
08、矩阵的运算规则
(1)矩阵的加法(同型的矩阵才能相加减,同型,即矩阵A的行数与矩阵B的行数相同;
矩阵A的列数与矩阵B的列数也相同):
①课本P32“A+B”、“A-B”
②加法交换律:
A+B=B+A
③加法结合律:
A+(B+C)=(A+B)+C
(2)矩阵的乘法(基本规则详见课本P34阴影):
①数与矩阵的乘法:
I.课本P33“kA”
II.
=kn
(因为k
只等于用数k乘以矩阵A的一行或一列后得到的矩阵的行列式)
②同阶矩阵相乘(高中理科数学选修矩阵基础):
×
描述:
令左边的矩阵为①,令右边的矩阵为②,令计算得到的矩阵为
A的值为:
①中第1行的每个元素分别乘以②中第1列的每个元素,并将它们相加。
即A=
B的值为:
①中第1行的每个元素分别乘以②中第2列的每个元素,并将它们相加。
即B=
C的值为:
①中第2行的每个元素分别乘以②中第1列的每个元素,并将它们相加。
即C=
D的值为:
①中第2行的每个元素分别乘以②中第2列的每个元素,并将它们相加。
即D=
.
B、C、D、E、F、G、H、I的值的求法与A类似。
③数乘结合律:
k(lA)=(kl)A,(kA)B=A(kB)=k(AB)
④数乘分配律:
(k+l)A=kA+lA,k(A+B)=kA+kB
⑤乘法结合律:
(AB)C=A(BC)
⑥乘法分配律:
A(B+C)=AB+AC,(A+B)C=AC+BC
⑦需注意的:
I.课本P34例题两个不等于零的矩阵的乘积可以是零矩阵
II.课本P34例题数乘的消去律、交换律不成立
III.一般来讲,(AB)k≠AkBk,因为矩阵乘法不满足交换律
IV.课本P40习题第2题:
(A+B)2不一定等于A2+2AB+B2,(A+B)2不一定等于A2+2AB+B2,(A+B)(A-B)不一定等于A2-B2.当AB=BA时,以上三个等式均成立
(3)矩阵的转置运算规律:
①(AT)T=A
②(A±
B)T=AT±
BT
③(kA)T=kAT
④(AB)T=BTAT
⑤(ABC)T=CTBTAT
⑥(ABCD)T=DTCTBTAT
(4)同阶方阵相乘所得的方阵的行列式等于两个方阵的行列式的乘积:
(详见课本P46)
(5)例题:
课本P35、课本P36-37、课本P40第4大题、课本P40第5大题、课本P51第1
大题、课本P51第4大题、课本P60第4大题、作业P5全部、作业P5第3大题、作业
P5第4大题
09、矩阵多项式
详见课本P36
10、对称矩阵
(1)对称矩阵、实对称矩阵、反对称矩阵的概念(详见课本P37)
(2)①同阶对称(反对称)矩阵的和、差仍是对称(反对称)矩阵
②数与对称(反对称)矩阵的乘积仍是对称(反对称)矩阵
③对称(反对称)矩阵的乘积不一定是对称(反对称)矩阵
11、矩阵的分块
线代老师说这部分的内容做了解即可。
详见课本P38-40
12、矩阵的初等变换
三种行变换与三种列变换:
详见课本P42
作业P6全部
13、矩阵等价
若矩阵A经过若干次初等变换后变成矩阵B,则称矩阵A与矩阵B等价,记为A
B
14、初等矩阵
(1)是由单位矩阵经由一次初等变换而得到的矩阵。
详见课本P48-49
(2)设A为m×
n矩阵,则对A施行一次初等行变换相当于在A的左边乘上一个相应的
m阶初等矩阵;
A施行一次初等列变换相当于在A的右边乘上一个相应的n阶初等矩阵.详见课本P50-51
(3)课本P51第3大题
15、行阶梯形矩阵与行最简形矩阵
(1)对任意一个非零矩阵,都可以通过若干次初等行变换(或对换列)化为行阶梯型矩阵
(2)行阶梯形矩阵与行最简形矩阵:
若在矩阵中可画出一条阶梯线,线的下方全为0,每个台阶只有一行(台阶数即是非零行的行数),阶梯线的竖线(每段竖线的长度为一行)后面的第一个元素为非零元素,也就是非零行的第一个非零元素,则称该矩阵为行阶梯矩阵。
在此基础上,若非零行的第一个非零元素为都为1,且这些非零元素所在的列的其他元素都为0,则称该矩阵为行最简形矩阵。
课本P45、作业P6全部、课本P51第2大题
16、逆矩阵
(1)设A为n阶方阵,如果存在n阶方阵B,使得AB=BA=E,则称方阵A是可逆的,
并称B为A的逆矩阵.(由逆矩阵的定义可知,非方阵的矩阵不存在逆矩阵)
(2)如果方阵A可逆,则A的逆矩阵是唯一的,并将A的逆矩阵记作A-1,AA-1=E
(3)n阶方阵A可逆的充要条件为
≠0,并且,当A可逆时,
A-1=
(证明详见课本P54)
课本P59第1大题
(4)可逆矩阵也称为非奇异方阵(否则称为奇异方阵)
(5)性质:
设A,B都是n阶的可逆方阵,常数k≠0,那么
①(A-1)-1=A②AT也可逆,并且(AT)-1=(A-1)T
③kA也可逆,并且
(kA)-1=A-1
④AB也可逆,并且(AB)-1=B-1A-1
⑤A+B不一定可逆,而且即使A+B可逆,一般(A+B)-1≠A-1+B-1
⑥AA-1=E
AA-1
E
=1
A
A-1
=1
课本P58例2.3.7、作业P7第1题
(6)分块对角矩阵的可逆性:
课本P57
(7)由方阵等式求逆矩阵:
课本P58例2.3.6
(8)单位矩阵、所有初等矩阵都是可逆的(初等矩阵是由单位矩阵经由一次初等变换而得到
的,即初等矩阵可以通过初等变换再变回单位矩阵,而单位矩阵的行列式=1≠0可逆,所
以初等矩阵可逆)
(9)初等矩阵的逆矩阵也是初等矩阵
(10)任一可逆方阵都可以通过若干次初等行变换化成单位矩阵
(11)方阵A可逆的充要条件是:
A可以表示为若干个初等矩阵的乘积(证明:
课本P67)
(12)利用初等行变换求逆矩阵:
(例题:
课本P68、课本P71)
(13)形如AX=B的矩阵方程,当方阵A可逆时,有A-1AX=A-1B,即X=A-1B.
此时有:
矩阵方程的例题:
课本P35、课本P69、课本P41第6大题、课本P56、课本P58、
课本P59第3大题、课本P60第5大题、课本P60第7大题、课本P71第3大题
矩阵方程计算中易犯的错误:
课本P56“注意不能写成……”
17、充分性与必要性的证明题
(1)必要性:
由结论推出条件
(2)充分性:
由条件推出结论
课本P41第8大题、作业P5第5大题
18、伴随矩阵
(1)定义:
课本P52定义2.3.2
(2)设A为n阶方阵(n≥2),则AA*=A*A=
En(证明详见课本P53-54)
(3)性质:
(注意伴随矩阵是方阵)
①
A*=A-1
②(kA)*=
·
(kA)-1=kn
A-1=kn
A-1=kn-1A*(k≠0)
③|A*|=|
A-1|=
n·
|A-1|=
(因为存在A-1,所以
≠0)=
n-1
④(A*)*=(
A-1)*=|
A-1|·
(
A-1)-1=
n|A-1|·
(A-1)-1
=
n
A=
n-2A(因为AA-1=E,所以A-1的逆矩阵是A,即(A-1)-1)
⑤(AB)*=B*A*
⑥
(A*)-1=(A-1)*=
(4)例题:
课本P53、课本P55、课本P58、课本P60第6大题、作业P7第2题、
作业P8全部
19、矩阵的标准形:
课本P61-62
(2)任何一个非零矩阵都可以通过若干次初等变换化成标准形
20、矩阵的秩:
课本P63
(2)性质:
设A是m×
n的矩阵,B是p×
q的矩阵,则
①若k是非零数,则R(kA)=R(A)
②R(A)=R(AT)
③等价矩阵有相同的秩,即若A
B,则R(A)=R(B)
④0≤R(Am×
n)≤min
⑤R(AB)≤min
⑥设A与B都是m×
n矩阵
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