行列式的计算技巧与方法总结.docx
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行列式的计算技巧与方法总结
行列式的几种常见计算技巧和方法
2.1定义法
适用于任何类型行列式的计算,但当阶数较多、数字较大时,计算量大,有一定的局限性.
0
计算行列式°
0
解析:
这是一个四级行列式,在展开式中应该有424项,但由
于出现很多的零,所以不等于零的项数就大大减少•具体的说,展开
式中的项的一般形式是aijia2j2a3j3a4j4•显然,如果ji4,那么a“0,
从而这个项就等于零•因此只须考虑ji4的项,同理只须考虑
j23,j32,j41的这些项,这就是说,行列式中不为零的项只有
2.2利用行列式的性质
即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形•该
方法适用于低阶行列式.
2.2.1化三角形法
上、下三角形行列式的形式及其值分别如下:
a11
a12
a13
a1n
0
a22
a23
a2n
0
0
a33
a3n
0
0
0
ann
an
0
0
0
a21
a22
0
0
a31
a32
a33
0
aiia22ann,
aiia22ann•
解析:
观察行列式的特点,主对角线下方的元素与第一行元素对
应相同,故用第一行的1倍加到下面各行便可使主对角线下方的元
素全部变为零•即:
化为上三角形.
解:
将该行列式第一行的1倍分别加到第2,3•••(n1)行上去,
可得
1
a
a2
Kan
0
E
0
0
0
辟b.
M
M
M
O
M
0
0
0
K
Dn1
解:
Dn
n
Xi
m
1
n
Xi
m
1
i1
Xn
Xn
Xnm
X
x2m
n
Xi
222连加法
这类行列式的特征是行列式某行(或列)加上其余各行(或列)
后,使该行(或列)元素均相等或出现较多零,从而简化行列式的计
算•这类计算行列式的方法称为连加法.
223滚动消去法
当行列式每两行的值比较接近时,可采用让邻行中的某一行减或
者加上另一行的若干倍,这种方法叫滚动消去法.
例4计算行列式Dn
1
2
3
n1
n
1
2
3
n1
n
1
1
1
1
1
2
0
0
0
2
Dn
1
1
1
1
1
2
2
0
0
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
解:
从最后一行开始每行减去上一行,
有
12n2
2.2.4逐行相加减
显不行,这是我们可以尝试用逐行相加减的方法.
以此类推,得:
将第一列加到第二列,
解:
新的第二列加到第三列,
a〔a〔
0
0
0
0
a2
a2
0
0
例5计算行列式D
0
0
as
0
0
0
0
0
an
an
1
1
1
1
1
an
n
2n
x
1
0
0
0
0
x
1
0
0
0
0
x
0
0
0
0
0
x
1
an
an1
an2
a2
a1
展开
an1xan.
将高阶行列式化为低阶行列式再求解.
2.3.1按某一行(或列
例6解行列式Dn解:
按最后一行展开,
Dna1xn1a2xn
232按拉普拉斯公式展开
拉普拉斯定理如下:
设在行列式D中任意选定了k1kn-1个
行.由这k行元素所组成的一切k级子式与它们的代数余子式的乘积的
Ann
0
Cnn
Bnn
Ann?
Bnn.
和等于行列式D.即
例7解行列式Dn
解:
从第三行开始,每行都减去上一行;再从第三列开始,每列都加到第二列,得
Dn
ab
2.4升阶法
就是把n阶行列式增加一行一列变成
n+1阶行列式,再通过性质
化简算出结果,这种计算行列式的方法叫做升阶法或加边法•升阶法的最大特点就是要找每行或每列相同的因子,那么升阶之后,就可以利用行列式的性质把绝大多数元素化为0,这样就达到简化计算的效果.
其中,添加行与列的方式一般有五种:
首行首列,首行末列,末
行首列,末行末列以及一般行列的位置.
0
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
0
1
1
例8
解行列式D=
1
1
1
0
1
1
1
1
1
0
解:
使行列式D变成
n
1阶行
列式,
即
1
1
1
11
0
0
1
11
D
0
1
0
11
.
0
1
1
01
0
1
1
10
再将第一行的
1倍加到其他各行,
得:
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
D=
1
0
1
0
0
.
1
0
0
1
0
1
0
0
0
1
从第二列开始,
每列乘以
1加到第一列
(
n
1)
11
1
1
0
10
0
0
D
0
01
0
0
0
00
1
0
0
00
0
1
1n1n1.
2.5数学归纳法
有些行列式,可通过计算低阶行列式的值发现其规律,然后提出
假设,再利用数学归纳法去证明•对于高阶行列式的证明问题,数学归纳法是常用的方法.
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