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遗传算法及优化问题重要有代码
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实验十遗传算法与优化问题
一、问题背景与实验目的
遗传算法(GeneticAlgorithm—GA),是模拟达尔文的遗传选择和自然淘汰的生物进化过程的计算模型,它是由美国Michigan大学的J.Holland教授于1975
年首先提出的.遗传算法作为一种新的全局优化搜索算法,以其简单通用、鲁棒
性强、适于并行处理及应用范围广等显著特点,奠定了它作为21世纪关键智能
计算之一的地位.
本实验将首先介绍一下遗传算法的基本理论,然后用其解决几个简单的函数最值问题,使读者能够学会利用遗传算法进行初步的优化计算.
1.遗传算法的基本原理
遗传算法的基本思想正是基于模仿生物界遗传学的遗传过程.它把问题的参
数用基因代表,把问题的解用染色体代表(在计算机里用二进制码表示),从而得到一个由具有不同染色体的个体组成的群体.这个群体在问题特定的环境里生存竞争,适者有最好的机会生存和产生后代.后代随机化地继承了父代的最好特征,并也在生存环境的控制支配下继续这一过程.群体的染色体都将逐渐适应环境,不断进化,最后收敛到一族最适应环境的类似个体,即得到问题最优的解.值得注意的一点是,现在的遗传算法是受生物进化论学说的启发提出的,这种学说对我们用计算机解决复杂问题很有用,而它本身是否完全正确并不重要(目前生物界对此学说尚有争议).
(1)遗传算法中的生物遗传学概念
由于遗传算法是由进化论和遗传学机理而产生的直接搜索优化方法;故而在这个算法中要用到各种进化和遗传学的概念.
首先给出遗传学概念、遗传算法概念和相应的数学概念三者之间的对应关系.这些概念如下:
序号
遗传学概念
遗传算法概念
数学概念
1
个体
要处理的基本对象、结构
也就是可行解
2
群体
个体的集合
被选定的一组可行解
3
染色体
个体的表现形式
可行解的编码
4
基因
染色体中的元素
编码中的元素
5
基因位
某一基因在染色体中的位置
元素在编码中的位置
6
适应值
个体对于环境的适应程度,
可行解所对应的适应函数
或在环境压力下的生存能力
值
7
种群
被选定的一组染色体或个体
根据入选概率定出的一组
可行解
8
选择
从群体中选择优胜的个体,
保留或复制适应值大的可
淘汰劣质个体的操作
行解,去掉小的可行解
9
交叉
一组染色体上对应基因段的
根据交叉原则产生的一组
交换
新解
10
交叉概率
染色体对应基因段交换的概
闭区间[0,1]上的一个值,
率(可能性大小)
一般为0.65~0.90
11
变异
染色体水平上基因变化
编码的某些元素被改变
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12
变异概率
染色体上基因变化的概率
开区间(0,1)内的一个值,
(可能性大小)
一般为0.001~0.01
13
进化、
个体进行优胜劣汰的进化,
目标函数取到最大值,最
适者生存
一代又一代地优化
优的可行解
(2)遗传算法的步骤
遗传算法计算优化的操作过程就如同生物学上生物遗传进化的过程,
主要有
三个基本操作(或称为算子):
选择(Selection)、交叉(Crossover)、变异(Mutation).
遗传算法基本步骤主要是:
先把问题的解表示成“染色体”,在算法中也就是以二进制编码的串,在执行遗传算法之前,给出一群“染色体”,也就是假设的可行解.然后,把这些假设的可行解置于问题的“环境”中,并按适者生存的原则,从中选择出较适应环境的“染色体”进行复制,再通过交叉、变异过程产生更适应环境的新一代“染色体”群.经过这样的一代一代地进化,最后就会收敛到最适应环境的一个“染色体”上,它就是问题的最优解.
下面给出遗传算法的具体步骤,流程图参见图1:
第一步:
选择编码策略,把参数集合(可行解集合)转换染色体结构空间;第二步:
定义适应函数,便于计算适应值;
第三步:
确定遗传策略,包括选择群体大小,选择、交叉、变异方法以及确定交叉概率、变异概率等遗传参数;
第四步:
随机产生初始化群体;
第五步:
计算群体中的个体或染色体解码后的适应值;
第六步:
按照遗传策略,运用选择、交叉和变异算子作用于群体,形成下一代群体;
第七步:
判断群体性能是否满足某一指标、或者是否已完成预定的迭代次数,不满足则返回第五步、或者修改遗传策略再返回第六步.
产生初始群体
得到结果是是否满足终止条件
否
结束程序
计算每个个体的适应值
以概率选择遗传算子
选择一个个体选择两个个体进行选择一个个体进行
复制到新群体交叉插入到新群体变异插入到新群体
得到新群体
图1一个遗传算法的具体步骤
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遗传算法有很多种具体的不同实现过程,以上介绍的是标准遗传算法的主要步骤,此算法会一直运行直到找到满足条件的最优解为止.
2.遗传算法的实际应用
例1:
设f(x)x22x0.5,求maxf(x),x[1,2].
注:
这是一个非常简单的二次函数求极值的问题,相信大家都会做.在此我们要研究的不是问题本身,而是借此来说明如何通过遗传算法分析和解决问题.
在此将细化地给出遗传算法的整个过程.
(1)编码和产生初始群体
首先第一步要确定编码的策略,也就是说如何把1到2这个区间内的数用计
算机语言表示出来.
编码就是表现型到基因型的映射,编码时要注意以下三个原则:
完备性:
问题空间中所有点(潜在解)都能成为GA编码空间中的点(染色体位串)的表现型;
健全性:
GA编码空间中的染色体位串必须对应问题空间中的某一潜在解;非冗余性:
染色体和潜在解必须一一对应.
这里我们通过采用二进制的形式来解决编码问题,将某个变量值代表的个体表示为一个{0,1}二进制串.当然,串长取决于求解的精度.如果要设定求解精
度到六位小数,由于区间长度为2
(
1)
3,则必须将闭区间[1,2]分为3106
等分.因为2097152
221
3
106
2
22
4194304
所以编码的二进制串至少需要
22位.
将一个二进制串(b21b20b19⋯b1b0)转化为区间[1,2]内对应的实数值很简单,只需采取以下两步(Matlab程序参见附录4):
1)将一个二进制串(b21b20b19⋯b1b0)代表的二进制数化为10进制数:
21
(b21b20b19b1b0)2(bi2i)10x'
i0
2)x'对应的区间[1,2]内的实数:
2
(1)
x1x'
2221
例如,一个二进制串a=<1000101110110101000111>表示实数0.637197.
x'=(1000101110110101000111)2=2288967
x
12288967
3
0.637197
22
2
1
二进制串<0000000000000000000000>,<1111111111111111111111>,则分别表示区间的两个端点值-1和2.
利用这种方法我们就完成了遗传算法的第一步——编码,这种二进制编码的方法完全符合上述的编码的三个原则.
首先我们来随机的产生一个个体数为4个的初始群体如下:
pop
(1)={
<1101011101001100011110>,%%a1<1000011001010001000010>,%%a2<0001100111010110000000>,%%a3<0110101001101110010101>}%%a4(Matlab程序参见附录2)
化成十进制的数分别为:
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pop
(1)={1.523032,0.574022,-0.697235,0.247238}
接下来我们就要解决每个染色体个体的适应值问题了.
(2)定义适应函数和适应值
由于给定的目标函数f(x)x22x0.5在[1,2]内的值有正有负,所以必
须通过建立适应函数与目标函数的映射关系,保证映射后的适应值非负,而且目标函数的优化方向应对应于适应值增大的方向,也为以后计算各个体的入选概率
打下基础.
对于本题中的最大化问题,定义适应函数
g(x),采用下述方法:
f(x)Fmin,
若f(x)Fmin0
g(x)
其他
0,
式中Fmin既可以是特定的输入值,也可以是当前所有代或最近
K代中f(x)的最
小值,这里为了便于计算,将采用了一个特定的输入值.
若取Fmin
1,则当f(x)1时适应函数g(x)2;当f(x)
1.1时适应函数
g(x)0.
由上述所随机产生的初始群体,我们可以先计算出目标函数值分别如下
(Matlab程序参见附录3):
f[pop
(1)]={1.226437,1.318543,-1.380607,0.933350}
然后通过适应函数计算出适应值分别如下(Matlab程序参见附录5、附录6):
取Fmin
1,
g[pop
(1)]={2.226437,2.318543,
0,1.933350}
(3)确定选择标准
这里我们用到了适应值的比例来作为选择的标准,得到的每个个体的适应值比例叫作入选概率.其计算公式如下:
对于给定的规模为n的群体pop={a1,a2,a3,,an},个体ai的适应值为g(ai),
则其入选概率为
Ps(ai)
g(ai)
i1,2,3,,n
n
g(ai)
i1
由上述给出的群体,我们可以计算出各个个体的入选概率.
4
首先可得
,
g(ai)6.478330
i
1
4
然后分别用四个个体的适应值去除以g(ai),得:
i1
P(a1)=2.226437/6.478330=0.343675%%a1
P(a2)=2.318543/6.478330=0.357892%%a2
P(a3)=0/6.478330=0%%a3
P(a4)=1.933350/6.478330=0.298433%%a4(Matlab程序参见附录7)
(4)产生种群
计算完了入选概率后,就将入选概率大的个体选入种群,淘汰概率小的个体,并用入选概率最大的个体补入种群,得到与原群体大小同样的种群(Matlab程序参见附录8、附录11).
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要说明的是:
附录11的算法与这里不完全相同.为保证收敛性,附录11的算法作了修正,采用了最佳个体保存方法(elitistmodel),具体内容将在后面给出介绍.
由初始群体的入选概率我们淘汰掉a3,再加入a2补足成与群体同样大小的种群得到newpop
(1)如下:
newpop
(1)={
<1101011101001100011110>,%%a1
<1000011001010001000010>,%%a2
<1000011001010001000010>,%%a2
<0110101001101110010101>}%%a4
(5)交叉
交叉也就是将一组染色体上对应基因段的交换得到新的染色体,然后得到新的染色体组,组成新的群体(Matlab程序参见附录9).
我们把之前得到的newpop
(1)的四个个体两两组成一对,重复的不配对,进行交叉.(可以在任一位进行交叉)
<110101110
1001100011110>,
<1101011101010001000010>
交叉得:
<100001100
1010001000010>,
<1000011001001100011110>
<10000110010100
01000010>,
<1000011001010010010101>
交叉得:
<01101010011011
10010101>,
<0110101001101101000010>
通过交叉得到了四个新个体,得到新的群体
jchpop
(1)如下:
jchpop
(1)={
<1101011101010001000010>,
<1000011001001100011110>,
<1000011001010010010101>,
<0110101001101101000010>}
这里采用的是单点交叉的方法,当然还有多点交叉的方法,不过有些烦琐,
这里就不着重介绍了.
(6)变异
变异也就是通过一个小概率改变染色体位串上的某个基因(Matlab程序参见附录10).
现把刚得到的jchpop
(1)中第3个个体中的第9位改变,就产生了变异,得到了新的群体pop
(2)如下:
pop
(2)={
<1101011101010001000010>,
<1000011001001100011110>,
<1000011011010010010101>,
<0110101001101101000010>}
然后重复上述的选择、交叉、变异直到满足终止条件为止.
(7)终止条件
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遗传算法的终止条件有两类常见条件:
(1)采用设定最大(遗传)代数的方法,一般可设定为50代,此时就可能得出最优解.此种方法简单易行,但可能不是很精确(Matlab程序参见附录1);
(2)根据个体的差异来判断,通过计算种群中基因多样性测度,即所有基因位相似程度来进行控制.
3.遗传算法的收敛性
前面我们已经就遗传算法中的编码、适应度函数、选择、交叉和变异等主要操作的基本内容及设计进行了详细的介绍.作为一种搜索算法,遗传算法通过对这些操作的适当设计和运行,可以实现兼顾全局搜索和局部搜索的所谓均衡搜索,具体实现见下图2所示.
图2均衡搜索的具体实现图示
应该指出的是,遗传算法虽然可以实现均衡的搜索,并且在许多复杂问题的求解中往往能得到满意的结果,但是该算法的全局优化收敛性的理论分析尚待解决.目前普遍认为,标准遗传算法并不保证全局最优收敛.但是,在一定的约束条件下,遗传算法可以实现这一点.
下面我们不加证明地罗列几个定理或定义,供读者参考(在这些定理的证明中,要用到许多概率论知识,特别是有关马尔可夫链的理论,读者可参阅有关文献).
定理1如果变异概率为Pm(0,1),交叉概率为Pc[0,1],同时采用比例选
择法(按个体适应度占群体适应度的比例进行复制),则标准遗传算法的变换矩阵P是基本的.
定理2标准遗传算法(参数如定理1)不能收敛至全局最优解.
由定理2可以知道,具有变异概率Pm(0,1),交叉概率为Pc[0,1]以及按比
例选择的标准遗传算法是不能收敛至全局最最优解.我们在前面求解例1时所用
的方法就是满足定理1的条件的方法.这无疑是一个令人沮丧的结论.
然而,庆幸的是,只要对标准遗传算法作一些改进,就能够保证其收敛性.具体如下:
我们对标准遗传算法作一定改进,即不按比例进行选择,而是保留当前
所得的最优解(称作超个体).该超个体不参与遗传.
最佳个体保存方法(elitistmodel)的思想是把群体中适应度最高的个体不
进行配对交叉而直接复制到下一代中.此种选择操作又称复制(copy).DeJong
对此方法作了如下定义:
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定义
设到时刻t(第t代)时,群体中
*
(t)为最佳个体.又设A(t+1)
a
为新一代群体,若A(t+1)中不存在a*(t),则把a*(t)作为A(t+1)中的第n+1个个体(其中,n为群体大小)(Matlab程序参见附录11).
采用此选择方法的优点是,进化过程中某一代的最优解可不被交叉和变异操作所破坏.但是,这也隐含了一种危机,即局部最优个体的遗传基因会急速增加而使进化有可能限于局部解.也就是说,该方法的全局搜索能力差,它更适合单峰性质的搜索空间搜索,而不是多峰性质的空间搜索.所以此方法一般都与其他选择方法结合使用.
定理3具有定理1所示参数,且在选择后保留当前最优值的遗传算法最终能收敛到全局最优解.
当然,在选择算子作用后保留当前最优解是一项比较复杂的工作,因为该解在选择算子作用后可能丢失.但是定理3至少表明了这种改进的遗传算法能够收敛至全局最优解.有意思的是,实际上只要在选择前保留当前最优解,就可以保证收敛,定理4描述了这种情况.
定理4具有定理1参数的,且在选择前保留当前最优解的遗传算法可收敛于全局最优解.
例2:
设f(x)3x2x,求maxf(x),x[0,2],编码长度为5,采用上述
定理4所述的“在选择前保留当前最优解的遗传算法”进行.
此略,留作练习.
二、相关函数(命令)及简介
本实验的程序中用到如下一些基本的Matlab函数:
ones,zeros,sum,size,length,subs,double等,以及for,while等基本程序结构语句,读者可参考前面
专门关于Matlab的介绍,也可参考其他数学实验章节中的“相关函数(命令)
及简介”内容,此略.
三、实验内容
上述例1的求解过程为:
群体中包含六个染色体,每个染色体用22位0—1码,变异概率为0.01,变
量区间为[1,2],取Fmin=2,遗传代数为50代,则运用第一种终止条件(指
定遗传代数)的Matlab程序为:
[Count,Result,BestMember]=Genetic1(22,6,'-x*x+2*x+0.5',-1,2,-2,0.01,50)
执行结果为:
Count=
50
Result=
1.0316
1.0316
1.0316
1.0316
1.0316
1.0316
1.4990
1.4990
1.4990
1.4990
1.4990
1.4990
BestMember=
1.0316
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1.4990
图2例1的计算结果
(注:
上图为遗传进化过程中每一代的个体最大适应度;
而下图为目前为止的个体最大适应度——单调递增)
我们通过Matlab软件实现了遗传算法,得到了这题在第一种终止条件下的最
优解:
当x取1.0316时,Maxf(x)1.4990.
),
当然这个解和实际情况还有一点出入(应该是x取1时,
f(x)1.5000
Max
但对于一个计算机算法来说已经很不错了.
我们也可以编制Matlab程序求在第二种终止条件下的最优解.
此略,留作练
习.实践表明,此时的遗传算法只要经过
10代左右就可完成收敛,得到另一个
“最优解”,与前面的最优解相差无几.
四、自己动手
1.用Matlab编制另一个主程序Genetic2.m,求例1的在第二种终止条件下的最
优解.
提示:
一个可能的函数调用形式以及相应的结果为:
[Count,Result,BestMember]=Genetic2(22,6,'-x*x+2*x+0.5',-1,2,-2,0.01,0.00001)
Count=
13
Result=
1.0392
1.0392
1.0392
1.0392
1.0392
1.0392
1.4985
1.4985
1.4985
1.4985
1.4985
1.4985
BestMember=
1.0392
1.4985
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可以看到:
两组解都已经很接近实际结果,对于两种方法所产生的最优解差
异很小.可见这两种终止算法都是可行的,而且可以知道对于例1的问题,遗传算法只要经过10代左右就可以完成收敛,达到一个最优解.
2.按照例2的具体要求,用遗传算法求上述例2的最优解.
3.附录9子程序Crossing.m中的第3行到第7行为注解语句.若去掉前面的%
号,则程序的算法思想有什么变化?
4.附录9子程序Crossing.m中的第8行至第13行的程序表明,当Dim
(1)>=3时,将交换数组Population的最后两行,即交换最后面的两个个体.其目的是什么?
5.仿照附录10子程序Mutation.m,修改附录9子程序Crossing.m,使得交叉过程也有一个概率值(一般取0.65~0.90);同时适当修改主程序Genetic1.m或主程序Genetic2.m,以便代入交叉概率.
6.设f(x)x24x1,求maxf(x),x[2,2],要设定求解精度到15位小数.
五、附录
附录1:
主程序Genetic1.m
function
[Count,Result,BestMember]=Genetic1(MumberLength,MemberNumber,FunctionFitness,MinX,MaxX,Fmin,MutationProbability,Gen)
Population=PopulationInitialize(MumberLength,MemberNumber);globalCount;
globalCurrentBest;
Count=1;
PopulationCode=Population;
PopulationFitness=Fitness(PopulationCode,FunctionFitness,MinX,MaxX,MumberLength);
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