不可约多项式的判定及应用黄嘉盛详解.docx
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不可约多项式的判定及应用黄嘉盛详解
不可约多项式的判定及应用
多项式理论是高等代数的重要组成部分,而不可约多项式是多项式中重要的概念.本文
主要对有理数域上不可约多项式的判别方法进行整理归纳,较为系统的给出不可约多项式
Perron判别法、Browm判别法等。
研究了各判定方法的等价和包含关系。
此外,我们还给出了不可约多项式的一些应用。
关键词
不可约多项式;判定方法;应用
2.不可约多项式的概念及性质
2.1整除的概念
设P是一个数域,对于P[x]中任意两个多项式f(x)与g(x),其中g(x)H0,
定有P[x]中的多项式q(x),r(x)存在,使得
f(x)=q(x)g(x)+r(x)
成立,其中c(r(x)) 定义2.1数域P上的多项式g(x)称为能整除f(x),如果有数域P上的多 项式h(x)使等式 f(x)=g(x)h(x) 成立, 我们用g(x)|f(x)”表示g(x)整除f(x),用g(x)f(x)”表示g(x)不能整除 f(x)。 定理2.1⑴对于数域P上的任意两个多项式f(x),g(x),其中 g(x) H0,g(x)|f(x)的充分必要条件是g(x)除f(x)的余式为零。 证明: 如果r(x)=0那么f(x)=q(x)g(x),即g(x)|f(x)。 反过来,如果 g(x)|f(x),那么f(x)=q(x)g(x)=q(x)g(x)+0,即卩r(x)=0。 注1: 带余除法中g(x)必须不为零。 F面介绍整除性的几个常用性质: (1)如果f(x)|g(x),g(x)|f(x),那么f(x)=cg(x),其中c为非零常数。 (2)如果f(x)|g(x),g(x)|h(x),那么f(x)|h(x)(整除的传递性)。 (3)f(x)|g(x),f(x)|g(x)i=12|朴,r,那么 f(X)1(Ui(x)gi(x)+u2(x)g2(x)+川+ur(x)gr(x)), 其中ui(x)是数域P上任意多项式。 ⑴2.2本原多项式 若是一个整系数多项式f(x)的系数互素,那么f(x)叫做一个本原多项式。 2.3有理数域上多项式的等价 设g(x)有理数域上的一个多项式,若g(x)的系数不全是整数,那么以g(x)系数分母的一个公倍数乘g(x)就得到一个整系数多项式f(x)。 显然,多项式g(x)与f(x)在有理数域上同时可约或同时不可约。 2.4多项式的不可约相关概念 在中学我们学过一些具体方法,把一个多项式分解为不能再分的因式的乘 积,但并没有深入探讨和讨论这个问题,并没有严格地论证它们是否真的不可再分,所谓不可再分的概念,其实不是绝对的,而是相对于系数的数域而言,有例如下 把x^9进行分解,可分解为 x4-9=(x2+3Xx2-3) rH步 但这是相对于有理数域而言的,对于实数域来说还可分进 X4-9=以2+3Xx-5/3)(x+73) 而在复数域上,还可以再进一步分解为 x4-9=(x+73i)(x-73r“+囘x-冋 由此可见,必须明确系数域后,所谓的不可再分,才有确切的涵义。 在下面的讨论中,仍然须选定一个数域P作为系数域,数域P上多项环 P[X]中多项式的因式分解相关的不可约定义如下 定义2・4・1数域P上的次数>1的多项式p(x)称为域P上的不可约多项式, 如果它不能表示成数域P上两个次数比p(x)的次数低的多项式的乘积。 我们要谈的多项式的不可约性问题的相关事实如下 (1)一次多项式总是不可约多项式; (2)—个多项式是否不可约是依赖于系数域的 (3)不可约多项式p(x)与任一多项式f(X)之间只能是有两种关系,或者 p(x)|f(X)或者(p(x),f(x))=1,事实上,如果(p(x),f(X))=d(x),那么d(x)或者是1, 或者是cp(x)(cHO),当d(x)=cp(X)时,就有P(x)|f(x)。 ⑴ 2.5有理数域上不可约多项式的定义 如果f(x)是有理数域上次数大于零的多项式且不能表示成有理数域上两 个次数比它低的多项式的乘积,则f(x)称为有理数域上的不可约多项式。 3.有理数域上不可约多项式的判定方法 3.1Eisenstein判别法⑴ 在高等代数中,Eisenstein判别法是最为经典和著名的,也是现行有理数 域上不可约多项式判定判定方法中最为实用的。 而人们长久以来的研究衍生出了许多不同的方法。 3.1.1直接判别法[2] 定理3.1.1设f(x)=anXn+...+ao是一个整系数多项式,其中nX1,设存在一 个素数P,使得P不整除an,P整除ai(is)但卩2不整除a。 ,那么多项式f(x)在有理数域上不可约。 3.1.2间接判别法 对于分圆多项式不能直接应用Eisenstein判别法,可以做适当的变形之后便可以应用了。 在学习的过程中,面对此类问题,因为其系数较高,不能用定义法去判定。 我们所学的也只有Eisenstein判别法,但不能直接运用。 考虑到多项式的等价,对多项式我们可以做适当代换x=ay+b,这样产生了Eisenstein判别法的间接判别法。 定理3.1.2有理系数多项式f(x)在有理数域上不可约的充分必要条件是对于任意的有理数aHO和b,多项式f(ax+b)在有理数域上不可约。 例1证明f(x)=X+在Q上不可约。 证明: f(x+1)=(x+1)4+1=x4+4x3+6x2+4x+2 取p=2,则P不整除1,P整除4,6,2,p2不整除2 由Eisenstein判别法知f(x+i)在Q上不可约,因此f(x)在Q上不可约。 3.1.3其他派生出的判别法 这种由Eisenstein判别法派生出的方法与Eisenstein判别法相类似,能够用来判定Eisenstein判别法所不能判定的一类有理数域上的不可约多项式。 定理3.1.3设f(X)=anXn+an4Xn4+…+ax+a是一个整系数多项式,如果存 在一个素数P,使P整除常数项a。 但整除其他各项系数且p2不整除最高次数项 系数,那么多项式在有理数上不可约。 例2下列多项式在有理数域上是否可约? ⑷xP+px+1,p为奇素数;⑸x4+4kx+1,k为整数. 解: (1)令x=y+i,贝y有 g(y)=f(y+1)=(y+1)2+1=y2+2y+2 取素数p=2,由于21,2|2,但是222故由Eisenstein判别法可知,g(y)在有理数上不可约,从而f(x)=x2+1在有理数域上也不可约。 ⑵取素数P=2,则21,2|-8,2|12但是222故由Eisenstein判别法可知,该多项式在有理数域上也不可约。 ⑶令X=y+1,代入f(x)=X6+x3+1,得 g(y)=f(y+1)=y6+6y5+15y4+21y3+18y2+9y+3 取素数p=3。 由于31,3|6,3|15,3|21,3|18,3|9,3|3,但是323,故由 Eisenstein判别法可知,g(y)在有理数上不可约,从而f(x)在有理数域上也不可 约。 ⑷令X=y-1,代入f(x)=xp+px+1,得 -川-C笄y2+(CpP」+p)y-p g(y)=f(y_1)=yP_Cpy卩二+厲丫卩' (5)令x=y+1,代入f(x)=x4+4kx+1,得 g(y)=f(y+1)=y4+4y3+6y2+(4k+4)y+4k+2 取素数p=2,由于21,又2|4,2|6,2|(4k+4),2|(4k+2),但22(4k+2),故由 Eisenstein判别法可知,g(y)在有理数上不可约,从而f(x)在有理数域上也不可约。 3.2Kronerker判别法[2] 定理3.2.1设f(x^Q[x],这里Q为有理数域。 则在有限步下fd)能分解成不 可约多项式的乘积。 (只考虑整系数多项式的情形) 例3证明f(X)=x—+1在Q上不可约。 证明: s=2<—取a。 =一1,a1=,0,a2=1, 2 则f(—1)=0,f(0)=1,f (1)=2 f(-1)=0,f(0)=1,f (1)=2 从而f(-1)的因子是0,f(0)的因子是1,f (1)的因子是1, 故令g(-1)=0,g(0)=1,g (1)=1;g(-1)=0,g(0)=0,g (1)=2 应用插值多项式: g1(x)=0+g^+g^」(x2—x-2) (0+1)(0-1)(1中1)(1-0)2 0十(x+1)(x-1)十2(x+1)(x-0) (0+1)(0T) 可约。 3.3Perron判别法⑶ |9」〉1+&_2丨+心心丨也"匕丨+|知,则f(x)在Q上不可约。 Perron 例4证明f(X)=x5+4x4+x2+1在Q上不可约 证明: 该题不满足艾森斯坦判别法,但其为整系数多项式,满足判别法的条件,由题意可知4A1+1,所以据Perron判别法可知该多项式在Q上不可约。 3.4Brown判别法⑶ 定理3.4.1设f(x)是n次整系数多项式,令 s(f)_{Tf(_i)|,|f(o)|,f(i)T Ni表示S(f)中1的个数,Np表示S(f)中的素数的个数,如果Np+2N"n+4, 则f(x)在Q上不可约。 例5证明f(X)=2x3-x2+x-1在Q上不可约 证明: ;f(0)=—1,f (1)=1,f(-1)=—5,f (2)=13,f(—2)=—23,f(3)=47 /.Np>4,Ni>2故Np+2Ni>8卒+3 所以多项式在Q上不可约。 3.5多项式无有理因式判别法[7] 定理3.5.1设f(x)=ao+a,xiManXn是一个整系数多项式,若f(x)没有次数 P|a,i=0,i,2,…,n-r-1 那么,f(X)在有理数域上不可约。 定理3.5.2设f(X)=0)+aix+…+anXn是一个整系数多项式,若f(x)没有次数 小于和等于r的有理因式,并且存在素数P,使: (1)P至少不整除务ai,…,ar中的一个 (2)P|ai,i=r+1,r+2,…n (3)p2|an 那么,f(X)在有理数域上不可约。 这种方法在应对没有不小于二次的有理因式的判定时,因为其需要计算机 计算来得到,所以在此种情况下,没有克罗奈克的方法更加的简便。 3.6模p约化处理判定法[8] 定理3.6.1f(X)=ao+aiX+…+anXn忘Z[x](anH0,n32),p是素数, p|gp|a0,a「sp+o,pg-b,其中b|罟,则f(x)在Q[x]中不可约。 定理3.6.2f(X)=aogx中…中anXn亡Z[x](anHO,n32),p是素数, pg,p|a2,a3「an,p2%pg-b,其中b|罟,则f(x)在Qlx]中不可约。 P是素数, 贝Jf(X)在Q[x] 定理3.6.3f(x)=a0+dx+…+anxn€Z[x](anH0,n>2), P归(0<: j
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