三角形全等经典练习培优.docx
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三角形全等经典练习培优
三角形典型题练习
一.解答题(共25小题)
1.如图,点C在线段AB上,△DAC和△DBE都是等边三角形.
(1)求证:
△DAB≌△DCE
(2)求证:
DA∥EC.
2.如图,已知△ABC是等边三角形,D、E分别是AC、BC上的两点,AD=CE,且AE与BD交于点P,BF⊥AE于点F.
(1)求证:
△ABD≌△CAE;
(2)若BP=6,求PF的长.
3.如图,∠BAD=∠CAE=90°,AB=AD,AE=AC.
(1)证明:
BC=DE;
(2)若AC=12,CE经过点D,求四边形ABCD的面积.
4.如图,△ABC和△EBD中,∠ABC=∠DBE=90°,AB=CB,BE=BD,连接AE,CD,AE与CD交于点M,AE与BC交于点N.
(1)求证:
AE=CD;
(2)求证:
AE⊥CD;
(3)连接BM,有以下两个结论:
①BM平分∠CBE;②MB平分∠AMD.其中正确的有 (请写序号,少选、错选均不得分).
5.如图,△ABC中,AB=BC,CD⊥AB于点D,CD=BD,BE平分∠ABC,点H是BC边的中点,连接DH,交BE于点G.
(1)求证:
△ADC≌△FDB;
(2)求证:
CE=
BF;
(3)连结CG,判断△ECG的形状,并说明理由.
6.如图1,P为等边△ABC的边AB上一点,Q为BC延长线上一点,且PA=CQ,连接PQ交AC于点D.
(1)求证:
PD=DQ;
(2)如图2,过P作PE⊥AC于E,若AB=2,求DE的长.
7.如图
(1)在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于点D,BE⊥MN于点E.
(1)求证:
①△ADC≌△CEB;②DE=AD+BE.
(2)当直线MN绕点C旋转到图
(2)的位置时,DE、AD、BE又怎样的关系?
并加以证明.
8.已知∠BAC的平分线与BC的垂直平分线DG相交于点D,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F,
(1)连接CD、BD,求证:
△CDF≌△BDE;
(2)若AE=5,AC=3,求BE的长.
9.如图1,C是线段BE上一点,以BC、CE为边分别在BE的同侧作等边△ABC和等边△DCE,连结AE、BD.
(1)求证:
BD=AE;
(2)如图2,若M、N分别是线段AE、BD上的点,且AM=BN,请判断△CMN的形状,并说明理由.
10.在△ABC中,AB=AC,D是线段BC的延长线上一点,以AD为一边在AD的右侧作△ADE,使AE=AD,∠DAE=∠BAC,连接CE.
(1)如图,点D在线段BC的延长线上移动,若∠BAC=40°,则∠DCE= °.
(2)设∠BAC=m,∠DCE=n.
①如图,当点D在线段BC的延长线上移动时,m与n之间有什么数量关系?
请说明理由.
②当点D在直线BC上(不与B、C重合)移动时,m与n之间有什么数量关系?
请直接写出你的结论.
11.如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC上任意一点,过D分别向AB、AC引垂线,垂足分别为E、F点.
(1)当点D在BC的什么位置时,DE=DF?
并证明.
(2)在满足第一问的条件下,连接AD,此时图中共有几对全等三角形?
并请给予写出.
(3)过C点作AB边上的高CG,请问DE、DF、CG的长之间存在怎样的等量关系?
并加以证明.
12.
(1)问题发现
如图1,△ACB和△DCE均为等边三角形,点A,D,E在同一直线上,连接BE,求∠AEB的度数.
(2)拓展探究
如图2,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,点A、D、E在同一直线上,CM为△DCE中DE边上的高,连接BE.请求∠AEB的度数及线段CM,AE,BE之间的数量关系,并说明理由.
13.情景观察:
如图1,△ABC中,AB=AC,∠BAC=45°,CD⊥AB,AE⊥BC,垂足分别为D、E,CD与AE交于点F.
①写出图1中所有的全等三角形 ;
②线段AF与线段CE的数量关系是 ,并写出证明过程.
问题探究:
如图2,△ABC中,∠BAC=45°,AB=BC,AD平分∠BAC,AD⊥CD,垂足为D,AD与BC交于点E.
求证:
AE=2CD.
14.如图①,已知,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D是AB边上的中点,点M和点N是动点,分别从A,C出发,以相同的速度沿AC,CB边上运动.
(1)判断DM与DN的关系,并说明理由;
(2)若AC=BC=2,请直接写出四边形MCND的面积;
(3)如图②,当点M运动到C点后,将改变方向沿着CB运动,此时,点N在CB延长线上,过M作ME⊥CD于点E,过点N作NF⊥DB交DB延长线于F,求证:
ME=NF.
15.在等边△ABC中,点D在BC边上(不与点B、点C重合),点E在AC的延长线上,DE=DA(如图1).
(1)求证:
∠BAD=∠EDC;
(2)点E关于直线BC的对称点为M,连接DM,AM.
①依题意将图2补全;
②若点D在BC边上运动,DA与AM始终相等吗?
请说明理由.
16.已知△ABC中,AB=AC=BC=6.点P射线BA上一点,点Q是AC的延长线上一点,且BP=CQ,连接PQ,与直线BC相交于点D.
(1)如图①,当点P为AB的中点时,求CD的长;
(2)如图②,过点P作直线BC的垂线,垂足为E,当点P,Q分别在射线BA和AC的延长线上任意地移动过程中,线段BE,DE,CD中是否存在长度保持不变的线段?
请说明理由.
17.已知,如图,△ABC为等边三角形,AE=CD,AD、BE相交于点P,BQ⊥AD于Q,求证:
PQ=
BP.
18.如图1,AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=α,AD、BE相交于点M,连接CM.
(1)求证:
BE=AD;
(2)用含α的式子表示∠AMB的度数(直接写出结果);
(3)当α=90°时,取AD,BE的中点分别为点P、Q,连接CP,CQ,PQ,如图2,判断△CPQ的形状,并加以证明.
19.如图,在四边形ABCD中,∠DAB=∠ABC=90°,AD∥BC,AB=BC,E是AB的中点,CE⊥BD.
(1)求证:
BE=AD;
(2)求证:
AC是线段ED的垂直平分线:
(3)△DBC是等腰三角形吗?
并说明理由.
20.已知,如图,△ABC为等边三角形,AE=CD,AD、BE相交于点P,BQ⊥AD于Q.
(1)求证:
BE=AD;
(2)求∠BPQ的度数;
(3)若PQ=3,PE=1,求AD的长.
21.已知:
如图,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,点D是AB的中点,点E是CD的中点,过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F.
(1)求证:
△ADE≌△FCE;
(2)若∠DCF=120°,BC=2,求CF的长.
22.在等边△ABC中,AO是角平分线,D为AO上一点,以CD为一边,在CD下方作等边△CDE,连接BE.
(1)求证:
△ACD≌△BCE:
(2)过点C作CH⊥BE,交BE的延长线于H,若B=8,求CH的长.
23.如图,在边长为8的等边三角形ABC中,点D沿射线AB方向由A向B运动,点F同时从C出发,以相同的速度每秒1个单位长度沿射线BC方向运动,过点D作DE⊥AC,连结DF交射线AC于点G.
(1)当DF⊥AB时,求AD的长;
(2)求证:
EG=
AC.
(3)点D从A出发,经过几秒,CG=1.6?
直接写出你的结论.
24.如图1所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D是线段CA延长线上一点,且AD=AB,点F是线段AB上一点,连接DF,以DF为斜边作等腰Rt△DFE,连接EA,EA满足条件EA⊥AB.
(1)若∠AEF=20°,∠ADE=50°,BC=2,求AB的长度;
(2)求证:
AE=AF+BC;
(3)如图2,点F是线段BA延长线上一点,探究AE、AF、BC之间的数量关系,并证明你的结论.
25.
(1)在等边三角形ABC中,
①如图①,D,E分别是边AC,AB上的点且AE=CD,BD与EC交于点F,则∠BFE的度数是 度;
②如图②,D,E分别是边AC,BA延长线上的点且AE=CD,BD与EC的延长线交于点F,此时∠BFE的度数是 度;
(2)如图③,在△ABC中,AC=BC,∠ACB是锐角,点O是AC边的垂直平分线与BC的交点,点D,E分别在AC,OA的延长线上,AE=CD,BD与EC的延长线交于点F,若∠ACB=α,求∠BFE的大小.(用含α的代数式表示).
20.(10分)已知△ABC,点D、F分别为线段AC、AB上两点,连接BD、CF交于点E.
(1)若BD⊥AC,CF⊥AB,如图1所示,试说明∠BAC+∠BEC=180°;
(2)若BD平分∠ABC,CF平分∠ACB,如图2所示,试说明此时∠BAC与∠BEC的数量关系;
(3)在
(2)的条件下,若∠BAC=60°,试说明:
EF=ED.
一.填空题:
21.当x=2时,代数式ax3+bx+5的值为9,那么当x=﹣2时,该代数式的值是 .
22.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°,则这个等腰三角形的一个底角的度数为 .
23.如图,矩形ABCD中,将四边形ABEF沿EF折叠得到四边形HGFE,已知∠CFG=40°,则∠DEF= .
24.已知m=
,n=
,那么2016m﹣n= .
25.如图所示,点E、D分别在△ABC的边AB、BC上,CE和AD交于点F,若S△ABC=1,S△BDE=S△DCE=S△ACE,则S△EDF= .
二、(共8分)
26.(8分)已知:
92=a4,42=2b,求(a﹣2b)2﹣(a﹣b)(2a+b)+(a+b)(a﹣b)的值.
三、(共10分)
27.(10分)如图,已知:
AB∥CD,∠BAE=∠DCF,AC,EF相交于点M,有AM=CM.
(1)求证:
AE∥CF;
(2)若AM平分∠FAE,求证:
FE垂直平分AC.
四、(共12分)
28.(12分)在四边形ABDC中,AC=AB,DC=DB,∠CAB=60°,∠CDB=120°,E是AC上一点,F是AB延长线上一点,且CE=BF.
(1)试说明:
DE=DF;
(2)在图1中,若G在AB上且∠EDG=60°,试猜想CE、EG、BG之间的数量关系并证明所归纳结论;
(3)若题中条件“∠CAB=60°且∠CDB=120°”改为∠CAB=α,∠CDB=180°﹣α,G在AB上,∠EDG满足什么条件时,
(2)中结论仍然成立?
(只写结果不要证明).
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