初中数学二次函数的应用培优提升训练题2附答案详解.docx
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初中数学二次函数的应用培优提升训练题2附答案详解
2020-2021初中数学二次函数的应用培优提升训练题2(附答案详解)
一、单选题
1.小明研究二次函数(为常数)性质时有如下结论:
①该二次函数图象的顶点始终在平行于x轴的直线上;②该二次函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形;③当时,y随x的增大而增大,则m的取值范围为;④点与点在函数图象上,若,,则.其中正确结论的个数为()
A.1B.2C.3D.4
2.如图,二次函数y1=x2-mx的图象与反比例函数的图象交于(a,1)点,则y1>y2时,x的取值范围是( )
A.x>2B.0
3.如图,分别过点Pi(i,0)(i=1、2、…、n)作x轴的垂线,交的图象于点Ai,交直线于点Bi.则+的值为( )
A.B.2C.D.
4.方程(是实数)有两个实根、,且,,那么的取值范围是()
A.B.C.或D.无解
5.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠A=90°,AB=1,AD=3,DC=5.点S沿A→B→C运动到C点停止,以S为圆心,SD为半径作弧交射线DC于T点,设S点运动的路径长为x,等腰△DST的面积为y,则y与x的函数图象应为()
A.B.C.D.
6.如图,在四边形中,,,,,点从点出发,以每秒的速度沿折线方向运动,点从点出发,以每秒的速度沿线段方向向点运动、已知动点,同时出发,当点运动到点时,点,停止运动,设运动时间为秒,在这个运动过程中,若的面积为,则满足条件的的值有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
7.如图,在矩形中,为的中点,连接,点从点出发沿方向向点匀速运动,同时点从点出发沿方向向点匀速运动,点运动速度均为每秒1个单位长度,运动时间为,连接,设的面积为,则关于的函数图像为()
A.B.C.D.
8.如图,正方形的边长为,点,点同时从点出发,速度均2cm/s,点沿向点运动,点沿向点运动,则△的面积与运动时间之间函数关系的大致图象是()
A.B.C.D.
9.如图,在平面直角坐标系中,抛物线与轴相交于、两点.若在抛物线上有且只有三个不同的点、、,使得、、的面积都等于,则的值是()
A.6B.8C.12D.16
二、填空题
10.已知函数,若使成立的x值恰好有2个,则k的值为______.
11.如图,抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点,点P为第一象限抛物线上一点,且∠DAP=45°,则点P的坐标为______.
12.如图,在第一象限内作射线,与轴的夹角为,在射线上取点,过点作轴于点.在抛物线上取点,在轴上取点,使得以,,为顶点,且以点为直角顶点的三角形与全等,则符合条件的点的坐标是________.
13.如图,小李推铅球,如果铅球运行时离地面的高度y(米)关于水平距离x(米)的函数表达式为y=-x2+x+,那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为_____米.
14.如图,将抛物线y=−x2+2x+8的图象x轴上方的部分沿x轴折到x轴下方,图象的其余部分不变,得到一个新图象(实线部分);点P(a,ka-1)在该函数上,若这样的点P恰好有3个,则k的值为_____.
15.已知抛物线,且当时,抛物线与x轴有且只有一个公共点,则c的取值范围是________.
16.边长为2的正方形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示,点D是边OA的中点,连接CD,点E在第一象限,且DE⊥DC,DE=DC.以直线AB为对称轴的抛物线过C,E两点.点M为直线AB上一动点,点N为抛物线上一动点,当以点M,N,D,E为顶点的四边形是平行四边形时点N的坐标为___________.
17.在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线的顶点在轴上,P,Q()是此抛物线上的两点.若存在实数,使得,且成立,则的取值范围是__________.
18.如图,已知抛物线y=(x-1)(x-7)与x轴交于两点,对称轴与抛物线交于点C,与x轴交于点D,⊙C的半径为2,G为⊙C上的一动点,P为AG的中点,则DP的最大值为_________.
三、解答题
19.如图,抛物线y=ax2-4n+4经过点P(2,4),与x轴交于A、B两点,过点P作直线l∥x轴,点C为第二象限内直线l上方,抛物线上一个动点,其横坐标为m。
(1)如图
(1),若AB=6,求抛物线解析式
(2)如图
(2),在
(1)的条件下,设点C的横坐标为t,∆ACP的面积S,求S与t之间的函数关系式.
(3)如图(3),连接OP,过点C作EC∥OP交抛物线于点E,直线PE、CP分别交x轴于点G、H,当PG=PH时,求a的值。
20.已知,如图1,二次函数y=ax2+2ax﹣3a(a≠0)图象的顶点为C与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧),点C、B关于过点A的直线l:
y=kx+对称.
(1)求A、B两点坐标及直线l的解析式;
(2)求二次函数解析式;
(3)如图2,过点B作直线BD∥AC交直线l于D点,M、N分别为直线AC和直线l上的两个动点,连接CN,MM、MD,求CN+NM+MD的最小值.
21.已知抛物线y=﹣x2﹣x+2与x轴交于点A,B两点,交y轴于C点,抛物线的对称轴与x轴交于H点,分别以OC、OA为边作矩形AECO.
(1)求直线AC的解析式;
(2)如图,P为直线AC上方抛物线上的任意一点,在对称轴上有一动点M,当四边形AOCP面积最大时,求|PM﹣OM|的值.
(3)如图,将△AOC沿直线AC翻折得△ACD,再将△ACD沿着直线AC平移得△A'C′D'.使得点A′、C'在直线AC上,是否存在这样的点D′,使得△A′ED′为直角三角形?
若存在,请求出点D′的坐标;若不存在,请说明理由.
22.如图,以x=1为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A,点B(﹣1,0),与y轴交于点C(0,4),作直线AC.
(1)求抛物线解析式;
(2)点P在抛物线的对称轴上,且到直线AC和x轴的距离相等,设点P的纵坐标为m,求m的值;
(3)点M在y轴上且位于点C上方,点N在直线AC上,点Q为第一象限内抛物线上一点,若以点C、M、N、Q为顶点的四边形是菱形,请直接写出点Q的坐标.
23.如图,抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,已知点A(-2,0),B(8,0),连接AC,BC.
(1)求抛物线的解析式和点C的坐标;
(2)点D是直线BC上方抛物线上的一点,过点D作DE⊥BC,垂足为E,求线段DE的长度最大时,点D的坐标;
(3)抛物线上是否存在一点P(异于点A,B,C),使?
若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
24.已知二次函数的图像如图所示.
(1)当时,说明这个二次函数的图像与x轴必有两个交点;
(2)如图情况下,若,求点C的坐标.
25.如图,直线y=﹣x+2交坐标轴于A、B两点,直线AC⊥AB交x轴于点C,抛物线恰好过点A、B、C.
(1)求抛物线的表达式;
(2)当点M在线段AB上方的曲线上移动时,求四边形AOBM的面积的最大值;
(3)点E在抛物线的对称轴上,点F在抛物线上,是否存在点F使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形?
若存在求出点F坐标;若不存在,说明理由.
26.如图1,抛物线y=x2﹣3与x轴交于AB两点(点A在点B的右侧),与y轴交于点C,连接AC.点Q是线段AC上的动点,过Q作直线l∥x轴,直线1与∠BAC的平分线交于点M,与∠CAx的平分线交于点N.
(1)P是直线AC下方抛物线上一动点,连接PA,PC,当△PAC的面积最大时,求PQ+AM的最小值;
(2)如图2,连接MC,NC,当四边形AMCN为矩形时,将△AMN沿着直线AC平移得到△A'M'N',边A'M'所在的直线与y轴交于D点,若△DM'N'为等腰三角形时,求OD的长.
27.对某一个函数给出如下定义:
对于函数y,若当,函数值y满足,且满足,则称此函数为“k属和合函数”
例如:
正比例函数,当时,,则,求得:
,所以函数为“3属和合函数”.
(1)①一次函数为“k属和合函数”,则k的值为______,
②若一次函数为“1属和合函数”,求a的值;
(2)反比例函数(,且)是“k属和合函数”,且,请求出的值;
(3)已知二次函数,当时,y是“k属和合函数”,求k的取值范围.
28.已知抛物线的顶点为,直线过点且平行于轴.若抛物线在直线上截得的线段长为4.
(1)求此抛物线所对应的函数关系式.
(2)设动直线与抛物线相交于、两点.
①记点到轴的距离为,点与点的距离为.猜想与的大小关系,并加以证明;
②若动直线经过点,试判断以为直径的圆与轴的位置关系,并说明理由.
参考答案
1.D
【解析】
【分析】
根据函数解析式,结合函数图象的顶点坐标、对称轴以及增减性依次对4个结论作出判断即可.
【详解】
解:
二次函数=-(x-m)2+1(m为常数)
①∵顶点坐标为(m,1)且当x=m时,y=1
∴这个函数图象的顶点始终在直线y=1上
故结论①正确;
②令y=0,得-(x-m)2+1=0
解得:
x=m-1,x=m+1
∴抛物线与x轴的两个交点坐标为A(m-1,0),B(m+1,0)
则AB=2
∵顶点P坐标为(m,1)
∴PA=PB=,
∴
∴是等腰直角三角形
∴函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形
故结论②正确;
③当-1<x<2时,y随x的增大而增大,且-1<0
∴m的取值范围为m≥2.
故结论③正确;
④∵x1+x2>2m
∴>m
∵二次函数y=-(x-m)2+1(m为常数)的对称轴为直线x=m
∴点A离对称轴的距离小于点B离对称轴的距离
∵x1<x2,且-1<0
∴y1>y2
故结论④正确.
故选:
D.
【点睛】
本题主要考查了二次函数图象与二次函数的系数的关系,是一道综合性比较强的题目,需要利用数形结合思想解决本题.
2.C
【解析】
【分析】
把(a,1)点代入反比例函数求出a的值,再根据图像即可得到y1>y2时,x的取值范围.
【详解】
把(a,1)点代入反比例函数
得,∴a=2,
∴二次函数y1=x2-mx的图象与反比例函数的图象交于(2,1)点,
由图像可得y1>y2时,x的取值范围是x>2或x<0.
故选C
【点睛】
此题主要考查二次函数的图像,解题的关键是熟知二次函数与不等式的关系.
3.A
【解析】
【分析】
根据Ai的纵坐标与Bi纵坐标的绝对值之和为AiBi的长,分别表示出所求式子的各项,拆项后抵消即可得到结果.
【详解】
根据题意得:
.
故选:
A.
【点睛】
考查了二次函数综合题,属于规律型试题,找出题中的规律是解本题的关键.
4.C
【解析】
【分析】
根据一元二次方程图像中根的分布情况,结合解一元二次不等式,利用十字相乘、穿针引线等快速解题方法解题.
【详解】
设f(x)=,抛物线开口向上,画出f(x)的大致图形,可以得到f(0)=>0,解得k>2或k<-1;f
(1)=7-k-13<0,解得-2 (2)=28-2k-26>0,解得k<0或k>3,可利用穿针引线法求得他们的公共部分得到或,所以选C. 【点睛】 本题主要考查一元二次方程根的分布以及求解一元二次不等式. 5.A 【解析】 【分析】 分别讨论S在AB边时和BC边时,y与x的函数关系式,结合选项得出结论. 【详解】 如图: ①当S在AB边时,即0≤x≤1时,则AS=x,过S作SE⊥DT于E, ∵∠A=90°,AB//CD ∴四边形ADES是矩形, ∴S△ADS=S△ESD,
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