复变函数论第三版课后习题标准答案.docx
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复变函数论第三版课后习题标准答案
复变函数论第三版课后习题答案
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第一章习题解答
(一)
1.设,求及。
解:
由于
所以,。
2.设,试用指数形式表示及。
解:
由于
所以
。
3.解二项方程。
解:
。
4.证明,并说明其几何意义。
证明:
由于
所以
其几何意义是:
平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。
5.设z1,z2,z3三点适合条件:
。
证明z1,z2,z3是内接于单位圆的一个正三角形的顶点。
证由于,知的三个顶点均在单位圆上。
因为
所以,,
又
故,
同理,知是内接于单位圆的一个正三角形。
6.下列关系表示点的轨迹的图形是什么?
它是不是区域。
(1);
解:
点的轨迹是与两点连线的中垂线,不是区域。
(2);
解:
令
由,即,得
故点的轨迹是以直线为边界的左半平面(包括直线);不是区域。
(3)
解:
令,
由,得,即;
故点的轨迹是以虚轴为边界的右半平面(不包括虚轴);是区域。
(4);
解:
令
由,得,即
故点的轨迹是以直线为边界的梯形(包括直线;不包括直线);不是区域。
(5);
解:
点的轨迹是以原点为心,2为半径,及以为心,以1为半径的两闭圆外部,是区域。
(6);
解:
点的轨迹是位于直线的上方(不包括直线),且在以原点为心,2为半径的圆内部分(不包括直线圆弧);是区域。
(7);
解:
点的轨迹是以正实轴、射线及圆弧为边界的扇形(不包括边界),是区域。
(8)
解:
令
由,得
故点的轨迹是两个闭圆的外部,是区域。
7.证明:
z平面上的直线方程可以写成(a是非零复常数,C是实常数)
证设直角坐标系的平面方程为将
代入,得
令,则,上式即为。
反之:
将,代入
得
则有;即为一般直线方程。
8.证明:
平面上的圆周可以写成
其中A、C为实数,为复数,且。
证明:
设圆方程为
其中当时表实圆;
将代入,得
即
其中
且;
反之:
令代入
得其中
即为圆方程。
10.求下列方程(t是实参数)给出的曲线。
(1);
(2);
(3);(4),
解
(1)。
即直线。
(2),即为椭圆;
(3),即为双曲线;
(4),即为双曲线中位于第一象限中的一支。
11.函数将z平面上的下列曲线变成平面上的什么曲线?
(1);
(2)
解,,可得
(1)是平面上一直线;
(2),
于是,是平面上一平行与v轴的直线。
13.试证在负实轴上(包括原点)不连续,除此而外在z平面上处处连续。
证设,因为f(0)无定义,所以f(z)在原点z=0处不连续。
当z0为负实轴上的点时,即,有
所以不存在,即在负实轴上不连续。
而argz在z平面上的其它点处的连续性显然。
14.设
求证在原点处不连接。
证由于
可知极限不存在,故在原点处不连接。
16.试问函数f(z)=1/(1–z)在单位圆|z|<1内是否连续?
是否一致连续?
【解】
(1)f(z)在单位圆|z|<1内连续.
因为z在内连续,故f(z)=1/(1–z)在\{1}内连续(连续函数的四则运算),因此f(z)在单位圆|z|<1内连续.
(2)f(z)在单位圆|z|<1内不一致连续.
令zn=1–1/n,wn=1–1/(n+1),n∈+.
则zn,wn都在单位圆|z|<1内,|zn-wn|0,
但|f(zn)-f(wn)|=|n-(n+1)|=1>0,故f(z)在单位圆|z|<1内不一致连续.
[也可以直接用实函数f(x)=1/(1–x)在(0,1)不一致连续来说明,只要把这个实函数看成是f(z)在E={z∈|Im(z)=0,0 17.试证: 复数列zn=xn+iyn以z0=x0+iy0为极限的充要条件是实数列{xn}及{yn}分别以x0及y0为极限. 【解】()若复数列zn=xn+iyn以z0=x0+iy0为极限, 则∀ε>0,∃N∈+,使得∀n>N,有|zn-z0|<ε. 此时有|xn-x0|≤|zn-z0|<ε;|yn-y0|≤|zn-z0|<ε. 故实数列{xn}及{yn}分别以x0及y0为极限. ()若实数列{xn}及{yn}分别以x0及y0为极限,则∀ε>0, ∃N1∈+,使得∀n>N1,有|xn-x0|<ε/2; ∃N2∈+,使得∀n>N2,有|yn-y0|<ε/2. 令N=max{N1,N2},则∀n>N,有n>N1且n>N2, 故有|zn-z0|=|(xn-x0)+i(yn-y0)|≤|xn-x0|+|yn-y0|<ε/2+ε/2=ε. 所以,复数列zn=xn+iyn以z0=x0+iy0为极限. 20.如果复数列{zn}合于limn∞zn=z0≠∞,证明limn∞(z1+z2+...+zn)/n=z0. 当z0≠∞时,结论是否正确? 【解】 (1)∀ε>0,∃K∈+,使得∀n>K,有|zn-z0|<ε/2. 记M=|z1-z0|+...+|zK-z0|,则当n>K时,有 |(z1+z2+...+zn)/n-z0|=|(z1-z0)+(z2-z0)+...+(zn-z0)|/n ≤(|z1-z0|+|z2-z0|+...+|zn-z0|)/n =(|z1-z0|+...+|zK-z0|)/n+(|zK+1-z0|+...+|zn-z0|)/n ≤M/n+(n-K)/n·(ε/2)≤M/n+ε/2. 因limn∞(M/n)=0,故∃L∈+,使得∀n>L,有M/n<ε/2. 令N=max{K,L},则当n>K时,有 |(z1+z2+...+zn)/n-z0|≤M/n+ε/2<ε/2+ε/2=ε. 所以,limn∞(z1+z2+...+zn)/n=z0. (2)当z0≠∞时,结论不成立.这可由下面的反例看出. 例: zn=(-1)n·n,n∈+.显然limn∞zn=∞. 但∀k∈+,有(z1+z2+...+z2k)/(2k)=1/2, 因此数列{(z1+z2+...+zn)/n}不趋向于∞. [这个结论的证明的方法与实数列的情况完全相同,甚至反例都是一样的.] 2.如果,试证明 (1); (2) 解 (1) (2) 4.设,试证 。 证由于 及 有 6.设|z|=1,试证: |(az+b)/(b*z+a*)|=1.(z*表示复数z的共轭) 【解】此题应该要求b*z+a*≠0. |az+b|=|(az+b)*|=|a*z*+b*|=|a*z*+b*|·|z|=|(a*z*+b*)·z| =|a*z*·z+b*·z|=|a*|z|2+b*·z|=|b*z+a*|. 故|(az+b)/(b*z+a*)|=1. 8.试证: 以z1,z2,z3为顶点的三角形和以w1,w2,w3为顶点的三角形同向相似的充要条件为 =0. 【解】两个三角形同向相似是指其中一个三角形经过(一系列的)旋转、平移、位似这三种初等几何变换后可以变成另一个三角形(注意没有反射变换).例如 我们将采用下述的观点来证明: 以z1,z2,z3为顶点的三角形和以w1,w2,w3为顶点的三角形同向相似的充要条件是: 将它们的一对对应顶点都平移到原点后,它们只相差一个位似旋转. 记f1(z)=z-z1(将z1变到0的平移);f3(z)=z-w1(将0变到w1的平移); 那么,三角形z1z2z3与三角形w1w2w3同向相似 存在某个绕原点的旋转位似变换f2(z)=z0z, 使得f2(f1(zk))=f3(wk),(k=2,3),其中z0∈\{0} 存在z0∈\{0},使得z0(zk-z1)=wk-w1,(k=2,3) (w2-w1)/(z2-z1)=(w3-w1)/(z3-z1) =0 =0 =0.[证完] 9.试证: 四个相异点z1,z2,z3,z4共圆周或共直线的充要条件是 (z1–z4)/(z1–z2): (z3–z4)/(z3–z2)为实数. 【解】在平面几何中,共线的四个点A,B,C,D的交比定义为 (A,B;C,D)=(AC/CB): (AD/DB). 这是射影几何中的重要的不变量. 类似地,在复平面上,(不一定共线的)四个点z1,z2,z3,z4的交比定义为 [z1z2,z3z4]=(z1–z3)/(z2–z3): (z1–z4)/(z2–z4). 本题的结论是说: 复平面上四个点共圆或共线的充要条件是其交比为实数. ()分两种情况讨论 (1)若(z1–z4)/(z1–z2)为实数,则(z3–z4)/(z3–z2)也是实数. 设(z1–z4)/(z1–z2)=t,t∈.则z4=(1–t)z1+tz2, 故z4在z1,z2所确定的直线上,即z1,z2,z4共线. 因此,同理,z1,z2,z3也共线.所以,z1,z2,z3,z4是共线的. (2)若(z1–z4)/(z1–z2)为虚数,则(z3–z4)/(z3–z2)也是虚数. 故Arg((z1–z4)/(z1–z2))≠kπ,Arg((z3–z4)/(z3–z2))≠kπ. 而Arg((z1–z4)/(z1–z2))–Arg((z3–z4)/(z3–z2)) =Arg((z1–z4)/(z1–z2): (z3–z4)/(z3–z2))=kπ. 注意到Arg((z–z4)/(z–z2))=Arg((z4–z)/(z2–z))是z2–z到z4–z的正向夹角, 若Arg((z1–z4)/(z1–z2))=Arg((z3–z4)/(z3–z2)), 则z1,z3在z2,z4所确定的直线的同侧,且它们对z2,z4所张的角的大小相同, 故z1,z2,z3,z4是共圆的. 若Arg((z1–z4)/(z1–z2))=Arg((z3–z4
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- 函数 第三 课后 习题 标准答案
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