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第89炼比赛与闯关问题
第89炼比赛与闯关问题
一、基础知识:
1、常见的比赛规则
(1)
局
胜制:
这种规则的特点为一旦某方获得
次胜利即终止比赛。
所以若比赛提前结束,则一定在最后一次比赛中某方达到
胜。
例如:
甲,乙两队举行排球比赛,比赛采取5局3胜制,已知甲获胜的概率为
,求甲以
获胜的概率:
解:
本题不能认为“四局中甲赢得三局”,从而
,因为如果前三局连胜,则结束比赛而不会开始第四局,所以若比分为
,则第四局甲获胜,前三局的比分为
,所以
(2)连胜制:
规定某方连胜
场即终止比赛,所以若提前结束比赛,则最后
场连胜且之前没有达到
场连胜。
例如:
甲,乙两队举行比赛,比赛共有7局,若有一方连胜3局,则比赛立即终止。
已知甲获胜的概率为
,求甲在第5局终止比赛并获胜的概率
解:
若第5局比赛结束,根据连胜三局终止比赛的规则,可知甲在第3,4,5局获胜,且第二局失败(否则若第二局获胜,则第四局就达到三连胜),第一局无论胜负不影响获胜结果。
所以
(3)比分差距制:
规定某方比对方多
分即终止比赛,此时首先根据比赛局数确定比分,在得分过程中要注意使两方的分差小于
(4)“一票否决制”:
在比赛的过程中,如果在某一阶段失败,则被淘汰。
此类问题要注意若达到第
阶段,则意味着前
个阶段均能通关
2、解答此类题目的技巧:
(1)善于引入变量表示事件:
可用“字母+变量角标”的形式表示事件“第几局胜利”。
例如:
表示“第
局比赛胜利”,则
表示“第
局比赛失败”。
(2)善于使用对立事件求概率:
若所求事件含情况较多,可以考虑求对立事件的概率,再用
解出所求事件概率。
在处理离散性随机变量分布列时,也可利用概率和为1的特点,先求出包含情况较少的事件的概率,再间接求出包含情况较多的事件概率
二、典型例题:
例1:
某项选拔共有三轮考核,每轮设有一个问题,回答问题正确者进入下一轮考核,否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为
,
,
,且各轮问题能否正确回答互不影响.
(1)求该选手被淘汰的概率;
(2)记该选手在考核中回答问题的个数为
,求随机变量
的分布列与数学期望.
(1)思路:
依题可知,比赛规则为:
只要打错一个即被淘汰,如果从问题的正面考虑,则要考虑到是第几轮被淘汰,情况较多。
但此问题的反面为“答对所有问题”,概率易于表示,所以考虑利用对立事件进行求解
设
为“选手正确回答第
轮问题”,事件
为“选手被淘汰”
(2)思路:
可取的值为
,可知若想多答题,则需要前面的问题均要答对,所以
时,则第一题答错;
时,则第一题答对且第二题答错(若第二题答对则需要答第三题);
时,则第一题答对且第二题答对(第三题无论是否正确,均已答三题),分别求出概率即可
解:
可取的值为
的分布列为
例2:
某区要进行中学生篮球对抗赛,为争夺最后一个小组赛名额,甲、乙、丙三支篮球队要进行比赛,根据规则:
每两支队伍之间都要比赛一场;每场比赛胜者得
分,负者得
分,没有平局,获得第一名的将夺得这个参赛名额.已知乙队胜丙队的概率为
,甲队获得第一名的概率为
,乙队获得第一名的概率为
.
(1)求甲队分别战胜乙队和丙队的概率
;
(2)设在该次比赛中,甲队得分为
,求
的分布列及期望.
(1)思路:
解决
要通过甲队第一的概率与乙队第一的概率两个条件。
若甲队第一名,则甲战胜乙且战胜丙,即
;若乙队第一名,则乙战胜甲且战胜丙,即
,两个方程即可解出
解:
设事件
为“甲队获第一名”,则
设事件
为“乙队获第一名”,则
解得:
(2)思路:
依题意可知
可取的值为
,
即两战全负;
即一胜一负,要分成“胜乙负丙”和“负乙胜丙”两种情况讨论;
即两战全胜;分别求出概率即可。
可取的值为
的分布列为
例3:
甲、乙两支篮球队赛季总决赛采用7场4胜制,每场必须分出胜负,场与场之间互不影响,只要有一队获胜4场就结束比赛.现已比赛了4场,且甲篮球队胜3场.已知甲球队第5,6场获胜的概率均为
,但由于体力原因,第7场获胜的概率为
.
(1)求甲队分别以
,
获胜的概率;
(2)设X表示决出冠军时比赛的场数,求X的分布列及数学期望.
(1)思路:
前四场比赛甲乙比分为
,根据7场4胜制可知,甲再赢一场比赛立刻结束,所以要想获得
,
,必须在甲赢一场之前,乙获得比分。
所以若比分为
,则第5场乙胜,第6场甲胜;若比分为
,则第
场均乙胜,第7场甲胜,用概率的乘法即可求出两个比分的概率
解:
设事件
为“甲队在第
场获胜”,则
设事件
为“甲队4:
2获胜”,事件
为“甲队4:
3获胜”
(2)思路:
比赛的场数取决于甲是否取胜,所以
可取的值为
,若
,则甲
获胜,即胜第五场;若
则甲
获胜,即乙胜第五场,甲胜第六场;若
,则只需前六场打成
即可,所以只需乙连赢两场。
分别计算概率即可得到分布列和期望
比赛场数
可取的值为
的分布列为
例4:
甲、乙两人对弈棋局,甲胜、乙胜、和棋的概率都是
,规定有一方累计2胜或者累计2和时,棋局结束。
棋局结束时,若是累计两和的情形,则宣布甲乙都获得冠军;若一方累计2胜,则宣布该方获得冠军,另一方获得亚军。
设结束时对弈的总局数为X.
(1)设事件
:
“
且甲获得冠军”,求A的概率;
(2)求X的分布列和数学期望。
(1)思路:
事件
代表“对弈3局且甲获胜”所以甲必须在第三场获胜,且前两场为一胜一和或一胜一负(胜负先后顺序均可)。
按照这几种情况找到对应概率相乘即可
解:
设事件
为“甲在第
局取胜”,事件
为“第
局和棋”,
事件
为“乙在第
局取胜”
(2)思路:
依题意可得只要有两个相同的结果就结束比赛,所以最多进行4次比赛,最少进行2次比赛,故
可取的值为
;在这些值中
包含情况较少,
即为相同的结果出现两次,以甲为研究对象,则情况分为“两胜”,“两负”,“两和”三种情况。
即为前三场“胜负和”均经历一次,所以概率
。
对于
的情况,由于种类较多,所以利用分布列概率和为1的性质用
进行计算
可取的值为
的分布列为
小炼有话说:
在随机变量所取的值中,如果只有一个值的概率包含情况较多不易计算,那么可以考虑先计算出其他取值的概率,再用1减去其他概率即可
例5:
某电视台举办的闯关节目共有五关,只有通过五关才能获得奖金,规定前三关若有失败即结束,后两关若有失败再给一次从失败的关开始继续向前闯的机会(后两关总共只有一次机会),已知某人前三关每关通过的概率都是
,后两关每关通过的概率都是
(1)求该人获得奖金的概率
(2)设该人通过的关数为
,求随机变量
的分布列及数学期望
(1)思路:
若该人获得奖金,则前三关必须通过,后两关可以通过,或者只有一次未通过,借助机会再次通过。
分别计算概率再相加即可
解:
设事件
为“第
关通过”,事件
为“获得奖金”
(2)思路:
依题意可知
的取值为
,其中前三关失败即结束,所以
为第一关失利;
为第一关通过且第二关失利;
为第二关通过且第三关失利;
为第三关通过且第四关失利两次;
为第四关通过且第五关失利两次;
为五关全部通过获得奖金(即第一问的结果),其中由于
情况较为复杂,所以考虑利用
进行处理
的取值为
的分布列为:
例6:
:
袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为
。
现有甲、乙两人从袋中轮流、不放回地摸取1球,甲先取,乙后取,然后甲再取……直到袋中的球取完即终止。
若摸出白球,则记2分,若摸出黑球,则记1分。
每个球在每一次被取出的机会是等可能的。
用
表示甲,乙最终得分差的绝对值.
(1)求袋中原有白球的个数;
(2)求随机变量
的概率分布列及期望
(1)思路:
可先设白球个数为
,已知事件“两球都是白球”的概率,可用古典概型进行表示,进而得到关于
的方程,解出
解:
设袋中原有白球的个数为
,事件
为“取出两个白球”
可解得
(2)思路:
尽管题目描述上是甲,乙轮流取球,但进一步分析可发现在取球过程中,一个人的取球结果并不影响下一个人的取球,且所求随机变量为取球完成后,两人结果的比较。
所以只需关注甲,乙最后取到的球的个数即可。
由
(1)可知袋中有4个黑球,3个白球,甲先取球,所以甲取到4个球,甲取球的结果可以是:
4黑,1白3黑,2白2黑,3白1黑,对应的分数为
分,
分,
分,
分,剩下的球属于乙,所以乙对应的情况为3白,2白1黑,1白2黑,3黑,分数为
分,
分,
分,
分。
所以甲乙分数差的绝对值
可取的值为
,再分别求出概率即可。
可取的值为
故
的分布列为:
小炼有话说:
(1)本题第
(2)问的亮点在于,分析过程的特点后,直接从结果入手,去分析两人所得球的情况,忽略取球的过程,从而大大简化概率的计算
(2)本题要注意甲取球的结果就已经决定乙的结果,所以在计算概率时以甲的取球结果为研究对象。
例7:
某校举行中学生“珍爱地球·保护家园”的环保知识比赛,比赛分为初赛和复赛两部分,初赛采用选手从备选题中选一题答一题的方式进行;每位选手最多有5次答题机会,选手累计答对3题或答错3题即终止比赛,答对3题者直接进入复赛,答错3题者则被淘汰.已知选手甲答对每个题的概率均为
,且相互间没有影响.
(1)求选手甲进入复赛的概率;
(2)设选手甲在初赛中答题的个数为
,试求
的分布列和数学期望.
(1)思路:
若甲能进入复赛,则要答对三道题,但因为答对3题后立即终止比赛,所以要通过最后一次答题正确进入复赛。
答题的次数为3次,4次,5次,答题3次即为全对,答题4次,则要在前3次答对2题,即
,然后第4题正确进入复赛;同理,答题5次时,要在前4次中答对2题,即
,然后第5题正确。
解:
设事件
为“甲进入复赛”
(2)思路:
首先甲最少答3题,最多答5题,故
可取的值为
,要注意答题结束分为进入复赛和淘汰两种情况。
当甲答3道题时,可能全对或全错;同理甲答4道题时,可能3对1错或是3错1对;当甲答5道题时,只要前4题2对2错,无论第5题结果如何,均答了5道题。
分别计算对应概率即可得到
的分布列,从而计算出
解:
可取的值为
的分布列为
小炼有话说:
本题的关键在于对独立重复试验模型概率公式的理解:
对于
,是指在
次独立重复试验中,没有其它要求,事件
发生
次的概率。
其中
代表
次中的任意
次试验的结果是
。
如果对
次试验的结果有一定的要求,则不能使用公式。
例如本题在第
(1)问中处理答题4次的时候,因为要在第4次答题正确,对前3次答题没有要求,所以在前3次试验中可使用公式计算,而第4次要单独列出。
若直接用
则意味着只需4次答题正确3次(不要求是哪3道正确)即可,那么包含着前3次正确的情况,那么按要求就不会进行第4题了。
例8:
甲乙两人进行围棋比赛,约定先连胜两局者直接赢得比赛,若赛完
局仍未出现连胜,则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为
,乙获胜的概率为
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