完整版专升本高等数学知识点汇总.docx

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专升本高等数学知识点汇总

常用知识点：

一、常见函数的定义域总结如下：

ykxb

（1）2—般形式的定义域：

x€R

yaxbxc

k

（2）y分式形式的定义域：

x丰0

x

（3）y、、x根式的形式定义域：

x>0

（4）ylogax对数形式的定义域：

X>0

二、函数的性质

1、函数的单调性

当洛X2时，恒有f（xjf（X2）,f（x）在x1?

X2所在的区间上是增加的。

当x1x2时，恒有f（x1）f（x2）,f（x）在x1?

x2所在的区间上是减少的。

2、函数的奇偶性

定义：

设函数yf（x）的定义区间D关于坐标原点对称（即若xD，则有xD）

（1）偶函数f（x）——xD，恒有f（x）f（x）。

⑵奇函数f（x）——xD，恒有f（x）f（x）。

三、基本初等函数

1、常数函数：

yc，定义域是（，），图形是一条平行于x轴的直线。

2、幕函数：

yxu,（u是常数）。

它的定义域随着u的不同而不同。

图形过原点。

3、指数函数

定义：

yf（x）

x

a，I

（a是常数且a

0，

a1）.

图形过（0,1）

点。

4、

对数函数

定义：

yf（x）

lOgaX

，（

a是常数且

a

0，a

1）o图形过（

1,0）点。

5、

三角函数

（1）

正弦函数：

y

sinx

T

2，D（f）

（,

），

f（D）[

1,1]

o

⑵

余弦函数：

y

cosx.

T

2，D（f）

（,

），

f（D）[

1,1]

o

⑶

正切函数：

y

tanx

T

，D（f）{

x|x

R,x

（2k1）-,k

Z}，

f（D）（,

）.

⑷

余切函数：

y

cotx

T

，D（f）{

x|x

R,x

k,kZ}

f（D）

（,）.

5、反三角函数

（1）

反正弦函数：

y

arcsinx,D（f）

[1,1],f（D）[,]o

22

⑵

反余弦函数：

y

arccos<,D（f）

[1,1]，f（D）[0,]o

⑶

反正切函数：

y

arctanx,D（f）

（,）,f（D）（-,2）

⑷

反余切函数：

y

arccotx,D（f）

（,），f（D）（0,）o

极限

一、求极限的方法

1代入法

代入法主要是利用了“初等函数在某点的极限，等于该点的函数值。

”因此遇到大部分

简单题目的时候，可以直接代入进行极限的求解。

2、传统求极限的方法

（1）利用极限的四则运算法则求极限。

（2）利用等价无穷小量代换求极限。

（3）利用两个重要极限求极限。

（4）利用罗比达法则就极限。

、函数极限的四则运算法则

推论

三、等价无穷小

常用的等价无穷小量代换有：

当x0时，sinx~x，tanx~x，arctanx~x，

x12

arcsinx~x，ln（1x）~x，e1~x，1cosx~x。

对这些等价无穷小量的代换，应该更深一层地理解为：

当□0时，si门口~口，其余类

似。

四、两个重要极限

sinx

重要极限Ilim1。

lim^1

口0□

X0x

它可以用下面更直观的结构式表示：

1x

重要极限IIlim1e。

其结构可以表示为：

lim1

八、洛必达（L'Hospital）法则

0”型和“一”型不定式，存在有limf（x）1计丄型A（或）。

0xag（x）xag（x）

一元函数微分学

、导数的定义

设函数yf（x）在点xo的某一邻域内有定义，当自变量

x在Xo处取得增量x（点

x0x仍在该邻域内）时，相应地函数

y取得增量yf（x0x）f（x0）。

如果当

x0时，函数的增量y与自变量x的增量之比的极限

lim丄=limf（x0x）f（x°）=f（X。

）注意两个符号

x0xx0x

他的符号表示。

x和X0在题目中可能换成其

、求导公式

1、基本初等函数的导数公式

（1）（C）0（C为常数）

1

（2）（x）x（为任意常数）

（3）（ax）axlna（a0,a1）特殊情况（ex）ex

111

（4）（logax）-logae（x0,a0,a1），（lnx）-

xxlnax

（5）（sinx）cosx

（6）（cosx）sinx

（7）（tanx）厂

（8）（cotx）

sin2x

（9）（arcsinx）

（1x1）

1x

（10）（arccosx）

1x1）

（11）（arctanx）

（12）（arccotx）

2、导数的四则运算公式

（1）

[u（x）

v（x）]u（x）

v（x）

（2）

[u（x）v（x）]

u（x）v（x）

u（x）v（x）

（3）

[ku]

ku

（k为常数）

（4）

u（x）

u（x）v（x）

u（x）v（x）

v（x）

v（x）

3、复合函数求导公式：

设

y

f（u）,

u

（x），且f（u）及（x）都可导，则复合函数

yf[（x）]的导数为

dy

dy

du

f'（u）.

（x）。

dx

du

dx

三、导数的应用

1、函数的单调性

f'（x）0则f（X）在（a,b）内严格单调增加。

f'（x）0则f（x）在（a,b）内严格单调减少。

2、函数的极值

f（x）

0的点-

――函数

f（x）的驻点。

设为X0

（1）

若x

X。

时，

f'（x）

0；

xx°时,

f'（x）

0，则

f（x0）为f（x）的极大值点。

（2）

若x

X。

时，

f'（x）

0；

xX°时,

f'（x）

0,则

f（x°）为f（X）的极小值点。

（3）

如果

f（x）在X0的两侧的符

号相同，那么f（x。

）不是极值点。

3、曲线的凹凸性

f（x）0,则曲线yf（x）在（a,b）内是凹的。

f''（x）0,则曲线yf（x）在（a,b）内是凸的。

4、曲线的拐点

（1）当f"（x）在xo的左、右两侧异号时，点（Xo,f（x。

））为曲线yf（x）的拐点，此时

f''（xo）0.

（2）当f''（x）在xo的左、右两侧同号时，点（Xo,f（Xo））不为曲线yf（x）的拐点。

5、函数的最大值与最小值

极值和端点的函数值中最大和最小的就是最大值和最小值。

四、微分公式

dyf（x）dx，求微分就是求导数。

一元函数积分学

一、不定积分

1、定义，不定积分是求导的逆运算，最后的结果是函数+C的表达形式。

公式可以用求导公式来记忆。

2、不定积分的性质

（1）[f（x）dx]

f（x）或df（x）dxf（x）dx

（2）

F'（x）dx

F（x）C或dF（x）F（x）C

（3）

[f（x）

（x）（x）]dxf（x）dx（x）

（x）dx。

（4）

kf（x）dx

kf（x）dx（k为常数且ko）。

2、基本积分公式（要求熟练记忆）

（1）

odx

C

（2）

xadx

1a1/

xC（a

a1

1）

（3）

-dx

InxC.

axdxaxC（a0,a1）

Ina

（5）

xx

edxe

（6）

sinxdx

cosxC

sinxC

（7）

cosxdx

tanxC.

cotxC.

（11）

arcsinxC.

2x

1」小

2dxarctanxC.

1x2

3、第一类换元积分法

对不定微分g（x）dx，将被积表达式g（x）dx凑成

g（x）dxf[（x）]（x）dxf（x）d（x），这是关键的一步。

常用的凑微分的公式有：

1

f（axb）dxf（axb）d（axb）

a

（1）

（2）

f（axkb）xk

1kk

dxf（axb）d（axb）ka

（3）

f（V7）芈dx

2f,xd..x

f

（1）d1

xx

（5）

f（ex）exdx

f（ex）d（ex）

（6）

f（lnx）±dx

x

f（Inx）d（lnx）

（7）

f（sinx）cosxdxf（sinx）d（sinx）

（8）

f（cosx）sinxdx

f（cosx）d（cosx）

（9）

（10）

1

f（tanx）—dx

cosx

1

f（cotx）—dxsinx

f（tanx）d（tanx）

f（cotx）d（cotx）

（11）

f（arcsinx）

f（arcsinx）d（arcsinx）

（12）

f（arccosx）

1dx,1x2

f（arccosx）d（arccosx）

（13）

f（arctanx）

f（arctanx）d（arctanx）

（14）

4、分部积分法

udvuvvdu

、定积分公式

1、（牛顿一莱布尼茨公式）

b

则有f（x）dxF（b）

a

2、计算平面图形的面积如果某平面图

（x））

（（x）0）

如果F（x）是连续函数f（x）在区间[a,b]上的任意一个原函数,

F（a）。

y1g（x）,y2f（x）及两条直线刘a和x?

围成的（其中y1是下面的曲线，y2是上面的曲线）

其面积可由下式求出：

b

a[f（x）g（x）]dx.

3、

计算旋转体的体积

设某立体是由连续曲线yf（x）（f（x）

形是由两条连续

0）和直线

a,xb（ab）及x轴所围平面图形绕x轴旋转一周所形

成的旋转体，如图所示。

则该旋转体的体积V可由下式求出:

Vxaf2（x）dx

:

f2（x）dx.

多元函数微分学

1、偏导数，对某个变量求导，把其他变量看做常数。

2、全微分公式：

dzdf（x,y）AxBy。

3、复合函数的偏导数一一利用函数结构图

且在对应于（x,y）的点（u,v）处，函数zf（u,v）存在连续的偏导数—，，则复合函数uv

zf[（x,y）,（x,y）]在点（x,y）处存在对x及y的连续偏导数，且

zzuzvzzuzv

xuxvxyuyvy

4、隐函数的导数

对于方程F（x,y）0所确定的隐函数yf（x），可以由下列公式求出y对x的导数y':

I

y'Fx（x,y）

Fy（x,y），

2、隐函数的偏导数

对于由方程F（x,y,z）0所确定的隐函数zf（x,y），可用下列公式求偏导数:

zFx（x,y,z）zFy（x,y,z）

xF；（x,y,z）'yF；（x,y,z）

5、二元函数的极值设函数zf（xo,y。

）在点（x°,y°）的某邻域内有一阶和二阶连续偏导数，且

fx（x°,y°）

0，fy（x0,Yq）0又设fxx（x0,y0）A，fxy（x0,y0）B，fyy（x0,Yq）c，

则:

（1）当

1B2

AC

0时，函数f（x,y）在点（Xq,Yq）处取得极值，且当A

0

时有极大值，

当A

0时有极小值。

（2）当

1B2

AC

0时，函数f（x,y）在点（Xq,Yq）处无极值。

（3）当

兰B2

AC

0时，函数f（x,y）在点（Xq,Yq）处是否有极值不能确定,

要用其它方

法另作讨论。

平面与直线

1平面方程

（1）平面的点法式方程：

在空间直角坐标系中，过点M0（x0,y0,z0），以n｛代B,C｝为法向量的平面方程为

A（xx0）B（yy0）C（zz0）0称之为平面的点法式方程

（2）平面的一般式方程

AxByCzD0称之为平面的一般式方程

2、特殊的平面方程

AxByCz0表示过原点的平面方程

AxByD0表示平行于Oz轴的平面方程

AxBy0表示过Oz轴的平面方程

CzD0表示平行于坐标平面xOy的平面方程

3、两个平面间的关系

设有平面i：

AiXBiyCizDi0

2:

A?

xB2yC2zD20

平面i和2互相垂直的充分必要条件是：

AiA2BiB2CiC20

4、直线的方程

（i）直线的标准式方程过点M0（X0，y°,Z0）且平行于向量s｛m,n,p｝的直线方程

x—x^y———z^称之为直线的标准式方程（又称点向式方程、对称式方程）mnp

常称s｛m,n,p｝为所给直线的方向向量

（2）直线的一般式方程

AxRyGzD10称之为直线的一般式方程

A2xB2yC2zD20

5、两直线间关系

设直线丨1,丨2的方程为

xX1yy1z乙

|1:

m1

Pi

I：

XX2

II:

m2

yy2zZ2

n2

P2

直线h，I2平行的充分必要条件为-

m2n2

直线I1,丨2互相垂直的充分必要条件为口1口2门小2P1P20

6、直线l与平面间的关系

设直线I与平面的方程为

I:

xx°y_y0zz°

mn

:

A（xXo）B（yyo）C（zz°）0

ABC

直线I与平面垂直的充分必要条件为：

ABC

一AmBnCp0

直线I与平面平行的充分必要条件为：

p

Am0BnoCp0D0

直线l落在平面上的充分必要条件为AmBnCP0

Am0Bn。

Cp0D0

将初等函数展开成幕级数

1、定理：

设f（X）在U（Xo，）内具有任意阶导数，且

2、几个常用的标准展开式

称上式为f（x）在点X。

的泰勒级数。

或称上式为将f（x）展开为xX。

的幕级数。

2n1

④sinx

（1）n

n0（2n1）!

常微分方程

1、一阶微分方程

（1）可分离变量的微分方程I

f（x）g（y）

若一阶微分方程F（x,y,y）0通过变形后可写成g（y）dyf（x）dx或

则称方程F（x,y,y）0为可分离变量的微分方程.

2、、可分离变量微分方程的解

方程g（y）dyf（x）dx必存在隐式通解G（y）F（x）C。

其中：

G（y）g（y）dy,F（x）f（x）dx.

即两边取积分。

（2）一阶线性微分方程

1、定义：

方程yP（x）yQ（x）称为一阶线性微分方程.

（1）非齐次方程一一Q（x）0；

⑵齐次方程——yP（x）y0.

（1）先求齐次方程yP（x）y0的通解:

P（x）dx

yCe

其中C为任意常数。

2、求解一阶线性微分方程

丄e2xcosxC1；

4

p乎,

dy

（2）将齐次通解的C换成u（x）。

即yu（x）e

（3）代入非齐次方程yP（x）yQ（x）,得

P（x）dxP（x）dx

yeq（x）edxC

2、二阶线性常系数微分方程

（1）可降阶的二阶微分方程

1、yf（x）型的微分方程

1

例3：

求方程ye2xsinx的通解.分析：

yydx

2

yydx-e2xsinxC1xC2.

8

2、yf（x,y）型的微分方程

解法：

⑴令py，方程化为pf（x,p）；

（2）解此方程得通解p（x,cj；

（3）再解方程y（x,CJ得原方程的通解

y（xQ）dxC2.

3、yf（y,y）型的微分方程

解法：

⑴令py,并视p为y的函数，那么y—ddxdydx

⑵代入原方程，得p—f（y,p）

dy

（3）解此方程得通解p（y,G）；

（4）再解方程y（y,CJ得原方程的通解

dy-

xC2.

（y,Ci）

例4:

求方程yyy20的通解.

分析：

（1）令py,

并视p

为y

的函数，

那么

dpy

dp

dy

dx

dy

dx

⑵

代入原方程，得

dpyp-

2

p

0或

dp

dy

dy

p

y

⑶

解上方程，得In

|p|ln

|y|

InC

p

Gy，

（C1

C）

⑷

再解方程yC

iy

y_

Ci

ln|：

y1Ox

C2.

y

于是原方程的通解为y

CiX

C2e，（C

2

C2

e2）

（2）常系数线性微分方程

（1）、二阶常系数齐次线性方程ypyqy0的解。

写出特征方程并求解

2

rprq0.

2

下面记p4q,ri,r2为特征方程的两个根.

2

（1）p4q0时，则齐次方程通解为：

rixr2x

yGeC2e。

（2）p24q0时，则齐次方程通解为

rixrixrix

yCieC2xee（CiC2X）.

2

（3）p4q0时，有rii,ai（0）,则齐次方程通解为

x

ye（CicosxC2sinx）.

（2）二阶常系数非齐次方程解法

方程的形式：

ypyqyf（x）解法步骤：

2

（1）写出方程的特征方程rprq0；

（3）原方程的通解如下表所示

特征方程的根

方程的通解

riG

C1erixC2er2x

rriD

rx

（C1C2x）e

ri

x

e（C1cosxC2sinx）（0）

（4）再求出非齐次方程的一个特解y*（x）；

⑸那么原方程的通解为yC1y1（x）C2y2（x）y（x）。

11

f（-）-ydx

xx