高二排列组合.docx
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高二排列组合
子轩书院一对一回执单
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课题
排列组合及二项式
学习目标与分析
学习重难点
学习内容与过程
教师分析与作业
排列与排列数
“排列”的定义包含两个基本内容:
一是“取出元素;二是“按一定的顺序排列。
“排列数”是指“从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数”,它是所有排列的个数,是一个数值。
或
(其中m≤nm,n?
Z)
例.下列各式中与排列数
相等的是()
(A)
(B)n(n-1)(n-2)……(n-m)(C)
(D)
例.若S=
,则S的个位数字是()
(A)0(B)3(C)5(D)8
学习内容与过程
教师分析与批改
组合与组合数
“一个组合”是指“从n个不同元素中取出m个元素合成一组”,它是一件事情,不是一个数;(隐含n≥m)
“组合数”是指“从n个不同元素中取出m个元素的所有组合的个数”,它是一个数值。
基本公式:
或
组合数公式具有的两个性质:
(1)
(3)
(由二项式定理知)
式
(1)说明从n个不同元素中取出m个元素,与从n个不同元素中取出n-m个元素是一一对应关系,即“取出的”与“留下的”是一一对应关系;
式
(2)说明从a,b,c……(n+1个元素)中取出m个元素的组合数可以分为两类:
第一类含某个有元素(
),第二类不含这个元素(
)。
例.求值:
(1)
;
(2)
例.有11名外语翻译人员,其中5名英语翻译员,6名日语翻译员,从中找出8人,使他们组成两个翻译小组,其中4人翻译英文,另4人翻译日文,这两个小组能同时工作,问这样的分配名单共可开出几张?
排列与组合的综合应用
1. 分组(堆)问题
分组(堆)问题的六个模型:
①无序不等分;②无序等分;③无序局部等分;(④有序不等分;⑤有序等分;⑥有序局部等分.)
处理问题的原则:
①若干个不同的元素“等分”为m个堆,要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以m!
②若干个不同的元素局部“等分”有m个均等堆,要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以m!
③非均分堆问题,只要按比例取出分完再用乘法原理作积.
④要明确堆的顺序时,必须先分堆后再把堆数当作元素个数作全排列.
例有四项不同的工程,要发包给三个工程队,要求每个工程队至少要得到一项工程.共有多少种不同的发包方式?
变式:
12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查,若每个路口4人,则不同的分配方案有多少种?
2.插空法:
解决一些不相邻问题时,可以先排“一般”元素然后插入“特殊”元素,使问题得以解决.(几个元素不能相邻时,先排一般元素,再让特殊元素插孔。
)
♀ ♀ ♀ ♀ ♀
↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑
例2.7人排成一排.甲、乙两人不相邻,有多少种不同的排法?
变式:
8人排成一排照相,若要求甲、乙、丙三人不相邻,有多少种不同的排法?
3.捆绑法
相邻元素的排列,可以采用“局部到整体”的排法,即将相邻的元素局部排列当成“一个”元素,然后再进行整体排列.几个元素必须相邻时,先捆绑成一个元素,再与其它的进行排列
例3.6人排成一排.甲、乙两人必须相邻,有多少种不的排法?
变式:
五人并排站成一排,如果
必须相邻且
在
的右边,那么不同的排法种数有多少种?
4.消序法(留空法)
几个元素顺序一定的排列问题,一般是先排列,再消去这几个元素的顺序.或者,先让其它元素选取位置排列,留下来的空位置自然就是顺序一定的了.
例4. 5个人站成一排,甲总站在乙的右侧的有多少种站法?
变式:
由数字0、1、2、3、4、5、组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数字的共有()个。
(A)210(B)300(C)464(D)600
5.剪截法(隔板法):
n个相同小球放入m(m≤n)个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球串成一串从间隙里选m-1个结点剪截成m段.
例某校准备参加今年高中数学联赛,把16个选手名额分配到高三年级的1-4个教学班,每班至少一个名额,则不同的分配方案共有___种.
变式:
某校准备参加今年高中数学联赛,把16个选手名额分配到高三年级的1-4个教学班,每班的名额不少于该班的序号数,则不同的分配方案共有___种
变式:
求方程x+y+z=10的正整数解的个数。
(求方程x+y+z=10的非负整数解的个数。
)
6.错位法:
编号为1至n的n个小球放入编号为1到n的n个盒子里,每个盒子放一个小球.要求小球与盒子的编号都不同,这种排列称为错位排列.
特别当n=2,3,4,5时的错位数各为1,2,9,44.
例编号为1至6的6个小球放入编号为1至6的6个盒子里,每个盒子放一个小球,其中恰有2个小球与盒子的编号相同的放法有____种.
7.剔除法
从总体中排除不符合条件的方法数,这是一种间接解题的方法.
排列组合应用题往往和代数、三角、立体几何、平面解析几何的某些知识联系,从而增加了问题的综合性,解答这类应用题时,要注意使用相关知识对答案进行取舍.
例从集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax+By+C=0中的A、B、C,所得的经过坐标原点的直线有_________条.
8..可重排列求幂法:
允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象,元素不受位置的约束,可逐一安排元素的位置,一般地
个不同元素排在
个不同位置的排列数有
种方法.
例.把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法?
变式:
5名运动员争夺3个项目的冠军(没有并列),所以可能的结果有多少种?
练习:
1、已知
,那么n的值是()
2、从5名男生中挑选3人,4名女生中挑选2人,组成一个小组,不同的挑选方法共有()
(A)
种(B)
种(C)
种(D)
种
3、把5件不同的商品在货架上排成一排,其中a,b两种必须排在一起,而c,d两种不能排在一起,则不同排法共有()
(A)12种(B)20种(C)24种(D)48种
4、一场晚会有5个唱歌节目和3个舞蹈节目,要求排出一个节目单
(1)前4个节目中要有舞蹈,有多少种排法?
(2)3个舞蹈节目要排在一起,有多少种排法?
(3)3个舞蹈节目彼此要隔开,有多少种排法?
5、三个女生和五个男生排成一排.
(1)如果女生必须全排在一起,有多少种不同的排法?
(2)如果女生必须全分开,有多少种不同的排法?
(3)如果两端都不能排女生,有多少种不同的排法?
(4)如果两端不能都排女生,有多少种不同的排法?
(5)如果三个女生站在前排,五个男生站在后排,有多少种不同的排法?
二项式定理
注意区分“二项式系数”与“各项系数”这两个概念!
展开式中的第r+1项公式:
二项式系数的性质:
1)对称性:
与首末两端等距离的两个二项式系数相等,即
。
2)增减性与最大值:
当n是偶数时,中间一项的二项式第项取得最大值;当n是奇数时,中间两项的二项式系数第,项相等,且同时取得最大值。
3)各二项式的系数和:
Cn0+Cn1+…+Cnn=2n;其中Cn0+C2n+…=Cn1+C3n+…=2n-1。
例1设
则
中奇数的个数为()
A.2B.3C.4D.5
例2若(x+
)n的展开式中前三项的系数成等差数,则展开式中x4项的系数为()
(A)6(B)7(C)8(D)9
例3)
展开式中的常数项为()
A.1B.
C.
D.
例4若
的展开式中
的系数是80,则实数a的值是()
A.-2 B.
C.
D.2
- 配套讲稿:
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- 关 键 词:
- 排列组合
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