七年级数学竞赛辅导材料上.docx
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七年级数学竞赛辅导材料上
七年级数学竞赛辅导材料(上)
数的整除
(一)
一、内容提要:
如果整数A除以整数B(B≠0)所得的商A/B是整数,那么叫做A被B整除。
0能被所有非零的整数整除。
一些数的整除特征
除数
能被整除的数的特征
2或5
末位数能被2或5整除
4或25
末两位数能被4或25整除
8或125
末三位数能被8或125整除
3(或9)
各位上的数字和被3(或9)整除(如771能被3整除,54324能被9整除)
11
奇数位上的数字和与偶数位上的数字和相减,其差能被11整除(如143,1859,1287,908270等)
7,11,13
从右向左每三位为一段,奇数段的各数和与偶数段的各数和相减,其差能被7或11或13整除(如1001,22743,17567,21281等)
能被7整除的数的另一特征:
①抹去个位数;②减去原个位数的2倍;③其差能被7整除。
如:
1001,100-2=98(能被7整除);又如:
7007,700-14=686,68-12=56(能被7整除)
能被11整除的数的又一特征:
①抹去个位数;②减去原个位数;③其差能被11整除。
如:
1001,100-1=99(能11整除);又如:
10285 1028-5=1023,102-3=99(能11整除)。
二、例题:
例1已知两个三位数
和
的和仍是三位数
且能被9整除。
求x,y的值。
解:
x、y都是0到9的整数,∵
能被9整除,∴y=6,∵328+
=567,∴x=3。
例2己知五位数
能被12整除,求X。
解:
∵五位数能被12整除,必然同时能被3和4整除,
当1+2+3+4+X能被3整除时,x=2,5,8;当末两位
能被4整除时,X=0,4,8。
∴X=8。
★例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数。
解:
五位数字都不相同的最小五位数是10234,但(1+2+4)-(0+3)=4,不能被11整除,只调整末位数仍不行。
调整末两位数为30,41,52,63,均可,
∴五位数字都不相同的最小五位数是10263。
三、练习题:
1分解质因数(写成质因数为底的幂的连乘积):
①924 ②1859 ③1287 ④3276 ⑤10101 ⑥10296
2若四位数
能被3整除,那么a=_______________。
3若五位数
能被11整除,那么 X=__________。
4当 m=_________时,
能被25整除。
5当n=__________时,
能被7整除。
6能被11整除的最小五位数是________,最大五位数是_________。
7能被4整除的最大四位数是____________,能被8整除的最小四位数是_________。
88个数:
①125,②756,③1011,④2457,⑤7855,⑥8104,⑦9152,⑧70972中,能被下列各数整除的有(填上编号):
6________,8__________,9_________,11__________。
9从1到100这100个自然数中,能同时被2和3整除的共_____个,能被3整除但不是5的倍数的共______个。
10由1,2,3,4,5这五个自然数,任意调换位置而组成的五位数中,不能被3整除的数共有几个?
为什么?
11己知五位数
能被15整除,试求A的值。
12求能被9整除且各位数字都不相同的最小五位数。
13在十进制中,各位数码是0或1,并能被225整除的最小正整数是____(1989年全国初中联赛题)。
【数的整除
(一)】练习题参考答案:
序号
1①
1②
1③
1④
1⑤
答案
3×4×7×11
11×132
32×11×13
22×32×7×13
3×7×13×37
序号
1⑥
2
3
4
5
答案
23×32×11×13
0或3或6或9
0
2或7
3
序号
6
7
8
9
答案
10010,99990
9996,9992
6:
②/8:
⑥⑦/9:
②④/11:
⑦⑧
16,27
序号
10
11
12
13
答案
没有一个
、A=5
10269
11111111100
初一(上)数学竞赛辅导资料
(2)
倍数 约数
一、内容提要:
1、两个整数A和B(B≠0),如果B能整除A(记作B|A),那么A叫做B的倍数,B叫做A的约数。
例如3|15,15是3的倍数,3是15的约数。
2、因为0除以非0的任何数都得0,所以0被非0整数整除。
0是任何非0整数的倍数,非0整数都是0的约数。
如0是7的倍数,7是0的约数。
3、整数A(A≠0)的倍数有无数多个,并且以互为相反数成对出现,0、±A、±2A、……都是A的倍数,例如5的倍数有±5、±10、……。
4、整数A(A≠0)的约数是有限个的,并且也是以互为相反数成对出现的,其中必包括±1和±A。
例如6的约数是±1,±2,±3,±6。
5、通常我们在正整数集合里研究公倍数和公约数,几个正整数有最小的公倍数和最大的公约数。
6、公约数只有1的两个正整数叫做互质数(例如15与28互质)。
7、在有余数的除法中,被除数=除数×商数+余数。
若用字母表示可记作:
A=BQ+R,当A,B,Q,R都是整数且B≠0时,A-R能被B整除。
例如23=3×7+2,则23-2能被3整除。
二、例题:
例1写出下列各正整数的正约数,并统计其个数,从中总结出规律加以应用:
2,22,23,24,3,32,33,34,2×3,22×3,22×32 。
解:
列表如下:
正整数
正约数
个数计
正整数
正约数
个数计
正整数
正约数
个数计
2
1、2
2
3
1、3
2
2×3
1、2、3、6
4
22
1、2、4
3
32
1、3、32
3
22×3
1、2、3、
4、6、12
6
23
1、2、4、8
4
33
1、3、
32、33
4
22×32
1、2、3、
4、6、9、
12、18、36
9
24
1、2、4、
8、16
5
34
1、3、32、
33、34
5
其规律是:
设A=ambn (a、b是质数,m、n是正整数),那么合数A的正约数的个是(m+1)(n+1)
例如:
求360的正约数的个数。
解:
分解质因数:
360=23×32×5,360的正约数的个数是(3+1)×(2+1)×(1+1)=24(个)
例2用分解质因数的方法求24,90最大公约数和最小公倍数。
解:
∵24=23×3,90=2×32×5
∴最大公约数是2×3,记作(24,90)=6
最小公倍数是23×32×5=360,记作[24,90]=360。
例3己知32,44除以正整数N有相同的余数2,求N。
解:
∵32-2,44-2都能被N整除,∴N是30,42的公约数。
∵(30,42)=6,而6的正约数有1,2,3,6,经检验1和2不合题意,∴N=6,3。
例4一个数被10余9,被9除余8,被8除余7,求适合条件的最小正整数。
分析:
依题意如果所求的数加上1,则能同时被10,9,8整除,所以所求的数是10,9,8的最小公倍数减去1。
解:
∵[10,9,8]=360,∴所以所求的数是359。
三、练习题:
1、12的正约数有_________,18的所有约数是_________________。
2、分解质因数300=_________,300的正约数的个数是_________。
3、用分解质因数的方法求20和250的最大公约数与最小公倍数。
4、一个三位数能被7,9,11整除,这个三位数是_________。
5、能同时被3,5,11整除的最小四位数是_______;最大三位数是________。
6、己知14和23各除以正整数A有相同的余数2,则A=________。
7、写出能被2整除,且有约数5,又是3的倍数的所有两位数。
答________。
8、一个长方形的房间长1.35丈,宽1.05丈要用同一规格的正方形瓷砖铺满,问正方形最大边长可以是几寸?
若用整数寸作为边长,有哪几种规格的正方形瓷砖适合?
9、一条长阶梯,如果每步跨2阶,那么最后剩1阶,如果每步跨3阶,那么最后剩2阶,如果每步跨4阶,那么最后剩3阶,如果每步跨5阶,那么最后剩4阶,如果每步跨6阶,那么最后剩5阶,只有每步跨7阶,才能正好走完不剩一阶,这阶梯最少有几阶?
【倍数、约数】练习题参考答案:
序号
倍数、约数参考答案
序号
倍数、约数参考答案
1
1、2、3、4、6、12;±1、±2、±3、±6、±9、±18
2
22×3×52; 18
3
2×5; 22×53
4
693
5
[3,5,11]=165,1155;990
6
A=3(即求14-2与23-2的公约数)
7
30、60、90
8
(135,105)=15,正约数有1,3,5,15
9
119[2,3,4,5,6]=60,60×2-1=119
初一(上)数学竞赛辅导资料(3)
质数、合数
1
质数
合数
一、内容提要:
1、正整数的一种分类:
质数的定义:
如果一个大于1的正整数,只能被1和它本身整除,那么这个正整数叫做质数(质数也称素数)。
合数的定义:
一个正整数除了能被1和它本身整除外,还能被其他的正整数整除,这样的正整数叫做合数。
2、根椐质数定义可知:
Ⅰ、质数只有1和本身两个正约数;Ⅱ、质数中只有一个偶数2,如果两个质数的和或差是奇数那么其中必有一个是2,如果两个质数的积是偶数那么其中也必有一个是2。
3、任何合数都可以分解为几个质数的积。
能写成几个质数的积的正整数就是合数。
二、例题:
例1两个质数的和等于奇数a(a≥5)。
求这两个数。
解:
∵两个质数的和等于奇数,∴必有一个是2
所求的两个质数是2和a-2。
例2己知两个整数的积等于质数m,求这两个数。
解:
∵质数m只含两个正约数1和m,又∵(-1)(-m)=m
∴所求的两个整数是1和m或者-1和-m.。
例3己知三个质数a,b,c它们的积等于30,求适合条件的a,b,c的值。
解:
分解质因数:
30=2×3×5
适合条件的值共有:
应注意上述六组值的书写排列顺序,本题如果改为4个质数a,b,c,d它们的积等于210,即abcd=2×3×5×7那么适合条件的a,b,c,d值共有24组,试把它写出来。
★★例4试写出4个连续正整数,使它们个个都是合数。
解:
(本题答案不是唯一的)
设N是不大于5的所有质数的积,即N=2×3×5,那么N+2,N+3,N+4,N+5就是适合条件的四个合数,即32,33,34,35就是所求的一组数。
本题可推广到n个。
令N等于不大于n+1的所有质数的积,那么N+2,N+3,N+4,……N+(n+1)就是所求的合数。
三、练习题:
1、小于100的质数共___个,它们是__________________________________。
2、己知质数P与奇数Q的和是11,则P=,Q=。
3、己知两个素数的差是41,那么它们分别是。
4、如果两个自然数的积等于19,那么这两个数是。
如果两个整数的积等于73,那么它们是。
如果两个质数的积等于15,则它们是。
5、两个质数x和y,己知 xy=91,那么x=,y=,或x=,y=。
6、三个质数a,b,c它们的积等于1990,那么
7、能整除311+513的最小质数是。
8、己知两个质数A和B适合等式A+B=99,AB=M。
求M及
+
的值
9、试写出6个连续正整数,使它们个个都是合数。
10、具备什么条件的最简正分数可化为有限小数?
11、求适合下列三个条件的最小整数:
1大于1 ②没有小于10的质因数 ③不是质数
12、某质数加上6或减去6都仍是质数,且这三个质数均在30到50之间,那么这个质数是。
13、一个质数加上10或14减去这个质数都仍是质数,这个质数是。
质数、合数练习参考答案:
1
25
2
2,9
3
43 、2
4
1、19;1、73或-1、-73;3、5
5
13、7或7、13
6
1900=2×5×199 有6组
7
2
8
1949413/194
9
令N=2×3×5×7=210,则N+2,N+3,…
10
分母只含2和5的质因数
11
11×11
12
37
13
3
初一(上)数学竞赛辅导资料(4)
零的特性
一、内容提要
(一)、零既不是正数也不是负数,是介于正数和负数之间的唯一中性数。
零是自然数、是整数、是偶数。
1、零是表示具有相反意义的量的基准数。
例如:
海拔0米的地方表示它与基准的海平面一样高;收支平衡可记作结存0元。
2、零是判定正、负数的界限。
若a>0,则a是正数;反过来也成立,若a是正数,则a>0。
记作:
a>0
a是正数 读作a>0等价于a是正数;
b<0
b是负数;
c≥0
c是非负数(即c不是负数,而是正数或0);
d
0
d是非正数(即d不是正数,而是负数或0);
e
0
e不是0
(即e不是0,而是负数或正数)。
3、在一切非负数中有一个最小值是0。
例如:
绝对值、平方数都是非负数,它们的最小值都是0。
记作:
|a|≥0,当a=0时,|a|的值最小,是0;
a2≥0,a2有最小值0(当a=0时)。
4、在一切非正数中有一个最大值是0。
例如 -|X|≤0,当X=0时,-|X|值最大,是0(∵X≠0时都是负数);
-(X-2)2
0,当X=2时,-(X-2)2的值最大,是0。
(二)、零具有独特的运算性质:
1、乘方:
零的正整数次幂都是零。
2、除法:
零除以任何不等于零的数都得零;零不能作除数。
从而推出:
0没有倒数、分数的分母不能是0。
3、乘法:
零乘以任何数都得零。
即a×0=0,
反过来:
如果 ab=0,那么a、b中至少有一个是0。
要使等式xy=0成立,必须且只需x=0或y=0。
4、加法:
互为相反数的两个数相加得零;反过来也成立。
即a、b互为相反数
a+b=0
5、减法:
两个数a和b的大小关系可以用它们的差的正负来判定。
若a-b=0,则a=b;; 若a-b>0,则a>b; 若a-b<0,则a<b。
反过来也成立,当
a=b时,a-b=0;当a>b时,a-b>0;当a
(三)、在近似数中,当0作为有效数字时,它表示不同的精确度。
例如 近似数1.6米与1.60米不同,前者表示精确到0.1米(即1分米),误差不超过5厘米;后者表示精确到0.01米(即1厘米),误差不超过5毫米。
可用不等式表示其值范围如下:
1.55
近似数1.6<1.65 1.595≤近似数1.60<1.605
二、例题
例1两个数相除,什么情况下商是1?
是-1?
答:
两个数相等且不是0时,相除商是1;两数互为相反数且不是0时,相除商是-1。
例2绝对值小于3的数有几个?
它们的和是多少?
为什么?
答:
绝对值小于3的数有无数多个,它们的和是0。
因为绝对值小于3的数包括大于-3并且小于3的所有数,它们都以互为相反数成对出现,而互为相反数的两个数相加得零。
例3要使下列等式成立X、Y应取什么值?
为什么?
①X(Y-1)=0, ② |X-3|+(Y+2)2=0
答:
①根据任何数乘以0都得0,可知当X=0时,Y可取任何数;
当Y=1时,X取任何数等式X(Y-1)=0都是能成立。
②∵互为相反数相加得零,而|X-3|≥0,(Y+2)2≥0
,
∴它们都必须是0,即X-3=0且Y+2=0,
故当X=3且Y=-2时,等式|X|+(Y+2)2 =0成立。
三、练习题:
1、有理数a和b的大小如数轴所示:
···
b0a
比较下列左边各数与0的大小(用>、<、=号连接)
2a0, -3b0,
0, -
0, -a20,-b30,
a+b0,a-b0, ab0, (-2b)30,
0,
0
2、a表示有理数,下列四个式子,正确个数是几个?
答:
__个。
|a|>a, a2>-a2, a>-a, a+1>a
3、x表示一切有理数,下面四句话中正确的共几句?
答:
__句。
①(x-2)2有最小值0, ③ -|x+3|有最大值0,
22-x2有最大值2, ④ 3+|x-1|有最小3。
4、绝对值小于5的有理数有几个?
它们的积等于多少?
为什么?
5、要使下列等式成立,字母X、Y应取什么值?
①
=0; ②X(X-3)=0; ③|X-1|+(Y+3)2=0。
6、下列说法正确吗?
为什么?
① a的倒数是
; ②方程(a-1)X=3的解是X=
;
3n表示一切自然数,2n-1表示所有的正奇数;
4如果a>b,那么m2a>m2b(a、b、m都是有理数)。
7、X取什么值时,下列代数式的值是正数?
① X(X-1); ② X(X+1)(X+2)。
【零的特性】练习题参考答案:
序号
零的特性参考答案
序号
零的特性参考答案
2
一
3
4
4
无数多个,0
5
①x≠0②0或3③X=0且y=5
6
都不正确,0没有倒数
7
①x>1或x<0②-2
初一(上)数学竞赛辅导资料(5)
an的个位数
一、内容提要:
1、整数a的正整数次幂an,它的个位数字与a的末位数的n次幂的个位数字相同。
例如20023与23的个位数字都是8。
2、末位数为0、1、5、6的任何正整数次幂的个位数字都是它们本身。
例如57的个位数是5,620的个位数是6。
3、末位数为2、3、7的正整数次幂的个位数字的规律见下表:
指 数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
……
底
数
2
2
4
8
6
2
4
8
6
2
4
……
3
3
9
7
1
3
9
7
1
3
9
……
7
7
9
3
1
7
9
3
1
7
9
……
其规律是:
2的正整数次幂的个位数是按2、4、8、6四个数字循环出现,即24k+1与21、24K+2与22、24K+3与23、24K+4与24的个位数是相同的(K是正整数)。
3和7也有类似的性质。
4、末位数为4、8、9的正整数次幂的个位数,可仿照上述方法,也可以用4=22,8=23,9=32转化为以2、3为底的幂。
5、综上所述,整数a的正整数次幂的个位数有如下的一般规律:
a4K+m与am的个位数相同(k,m都是正整数)。
二、例题:
例1:
20032003的个位数是多少?
解:
20032003与32003的个位数是相同的,
∵2003=4×500+3,∴32003与33的个位数是相同的,都是7,
∴2003的个位数是7。
例2:
试说明632000+1472002的和能被10整除的理由。
解:
∵2000=4×500,2002=4×500+2
∴632000与34的个位数相同都是1,1472002与72的个位数相同都是9,
∴632000+1472002的和个位数是0,
∴632000+1472002的和能被10整除。
例3:
K取什么正整数值时,3k+2k是5的倍数?
解:
列表观察个位数的规律:
K=
1
2
3
4
……
3的个位数
3
9
7
1
……
2的个位数
2
4
8
6
……
3k+2k的个位数
5
5
……
从表中可知,当K=1,3时,3k+2k的个位数是5,
∵am与a4n+m的个位数相同(m,n都是正整数,a是整数),
∴当K为任何奇数时,3k+2k是5的倍数。
三、练习题:
1、在括号里填写各幂的个位数(K是正整数)。
220的个位数是;45的个位数是;330的个位数是;
87的个位数是;74K+1的个位数是;311+79的个位数是;
216×314的个位数是;32k-1+72k-1的个位数是;72k-32k的个位数是;
74k-1-64k-3的个位数是;7710×3315×2220×5525的个位数是;
2、目前知道的最大素数是2216091-1,它的个位数是。
3、说明如下两个数都能被10整除的理由。
①5353-3333;②19871989-19931991。
4、正整数m取什么值时,3m+1是10的倍数?
5、设n是正整数,试说明2n+7n+2能被5整除的理由。
6、若a4的个位数是5,那么整数a的个位数是;
若a4的个位数是1,那么整数a的个位数是;
若a4的个位数是6,那么整数a的个位数是;
若a2k-1的个位数是7,那么整数a的个位数是。
7、12+22+32+……+92的个位数是;12+22+32+……+192的个位数是;
12+22+32+……+292的个位数是。
8、a,b,c是三个连续正整数,a2=14884,c2=15376,那么b2是( )
A、15116,B、15129,C、15144,D、15321
an的个位数练习参考答案:
序号
参考答案
序号
参考答案
1
6,4,9,2,7,4,4,0,0,7,0要注意3,7为底的正奇数次幂的和为0,正偶数次幂的差为0
2
7
3
算出个位数的差为零
4
m=2+4k(k为非负整数)
5
可用列表观察其规律
6
5;1,3或7,9;2,4,6,8;3,7
7
5;0;5
8
B
初一(上)数学竞赛辅导资料(6)
数学符号
一、内容提要:
数学符号是表达数学语言的特殊文字。
每一个符号都有确定的意义,即当我们把它规定为某种意义后,就不再表示其他意义。
数学符号一般可分为:
1、元素符号:
通常用小写字母表示数,用大写字母表示点,用⊙和△表示圆和三角形等。
2、关系符号:
如等号“=”、不等号“≠”、相似“∽”、全等“≌”、平行“∥”、垂直“⊥”等。
3、运算符号:
如加、减、乘、除、乘方、开方、绝对值等。
4、逻辑符号:
略。
5、约定符号和辅助符号:
例如我们约定正整数a和b中,如果a除以b的商的整数部分记作Z(
),而它的余数记作R(
),那么Z(
)=3,R(
)=1;又如设
表示不大于x的最大整数,那么
=5,
=-6,
=0,
=-3。
说明:
正确使用符号的关健是明确它所表示的意义(即定义);对题设中临时约定的符号,一定要扣紧定义,由简到繁,由浅入深,由具体到抽象,逐步加深理解;在解题过程中为了简明表述,需要临时引用辅助符号时,必须先作出明确的定义,所用符号不要与常规符号混淆。
二、例题:
例1:
设[Z]表示不大于Z的最大整数,〈n〉为正整
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