二重积分的应用.docx
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二重积分的应用
§9.3二重积分的应用
定积分应用的元素法也可推广到二重积分,使用该方法需满足以下条件:
1、所要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性(即:
当闭区域D分成许多小
闭区域d时,所求量U相应地分成许多部分量U,且UU)。
2、在D内任取一个直径充分小的小闭区域d时,相应的部分量U可近似地表示为f(x,y)d,其中(x,y)d,称f(x,y)d为所求量u的元素,并记作dU。
(注:
f(x,y)d的选择标准为:
Uf(x,y)d是d直径趋于零时较d
更高阶的无穷小量)
Uf(x,y)d
3、所求量U可表示成积分形式D
一、曲面的面积
设曲面S由方程zf(x,y)给出,Dxy为曲面S在xoy面上的投影区域函数f(X,y)在Dxy上具有连续偏导数fx(X,y)和fy(x,y),现计算曲面的面积A。
所以
dcr
在闭区域Dxy上任取一直径很小的闭区域d(它的面积也记作d),在d内取一点P(x,y),对应着曲面S上一点M(x,y,f(x,y)),曲面S在点M处的切平面设为T。
以小区域d的边界为准线作母线平行于z轴的柱面,该柱面
在曲面S上截下一小片曲面,在切平面T上截下一小片平面,由于d的直径很小,那一小片平面面积近似地等于那一小片曲面面积。
曲面S在点M处的法线向量(指向朝上的那个)为
n{fx(x,y),fy(x,y),1}
它与z轴正向所成夹角的方向余弦为
1
COS22
1fx(x,y)f:
(x,y)
这就是曲面S的面积元素,故
A,1fx2(x,y)fy2(x,y)d
dA
1f)2(x,y)fy(x,y)d
Dxy
A
故
dxdy
【例1】求球面x
y2
z2
222
a含在柱面xy
ax(a0)内部的
面积
解:
所求曲面在xoy面的投影区域Dxy
{(x,y)|x2
y2ax}
222
曲面方程应取为Zaxy,则
x
Zxa2x2y2
zy
x2
a
a2x2y2
曲面在xoy面上的投影区域Dxy为
据曲面的对称性,有
A2Dxy—a2—x2—y2dxdy
2acos
a
2drdr
/22
_ovar
2
2
22acos
2a.ar0d
2
2
2a(aasin)d
2
2
4a(aasin)d
0
2a2
(2)
若曲面的方程为xg(y,z)或yh(乙x),可分别将曲面投影到y°z
面或zox面,设所得到的投影区域分别为Dyz或Dzx,类似地有
r
1
2
x
2
A
1
x
dydz
Dyz■-
y
z
或
r~
2
y
2
A
:
1
y
dzdx
Dzx'
z
x
zx
、平面薄片的重心
1、平面上的质点系的重心
设卞划面上有幵个质嵐分别位于点⑴(七>盹)」…』(耳>%)
处,质量分别为砂,叫,…,叫,由力学知直质点系对x軸』y轴的力矩分别为
总质量为加=工叫
2、平面薄片的重心
设有一平面薄片,占有xoy面上的闭区域D,在点(x,y)处的面密度为
(x,y),假定(x,y)在d上连续,如何确定该薄片的重心坐标(x,y)。
这就是力矩兀素,于是
(x,y)d
又平面薄片的总质量D
从而,薄片的重心坐标为
特别地,如果薄片是均匀的,即面密度为常量,则
十分显然,这时薄片的重心完全由闭区域的形状所决定,因此,习惯上将均匀薄片的重心称之为该平面薄片所占平面图形的形心。
【例2】设薄片所占的闭区域D为介于两个圆racos,rbcos
(0ab)之间的闭区域,且面密度均匀,求此均匀薄片的重心(形心)c
解:
由D的对称性可知:
y°
2
bcos
;(b2a2)
A
d
d
rdr
D
acos
4
2
2
bcos
My
xd
d
2
rcos
dr
D
acos
而
2
-(b3a3)
8
-Myb2baa2
x
故A2(ba)
三、平面薄片的转动惯量
1、平面质点系对坐标轴的转动惯量
设平面上有n个质点,它们分别位于点(xi,%),(x2,y2),,(X门,%)
处,质量分别为"1,叩2,,mn。
设质点系对于x轴以及对于y轴的转动惯量依次为
2yim*i1
2
IyXjg
i1
2、平面薄片对于坐标轴的转动惯量
设有一薄片,占有xoy面上的闭区域d,在点(x,y)处的面密度为(x,y).
假定(x,y)在d上连续。
现要求该薄片对于x轴、y轴的转动惯量山,与平面薄片对坐标轴的力矩相类似,转动惯量元素为
y
%=y2p(x,y)dcr
di、、=x2p(x.y)da从而,
D
D
2
【例3】求由抛物线yX及直线y1所围成的均匀薄片(面密度为常数)
对于直线y1的转动惯量
=-1
解:
转动惯量元素为
dl(y1)2d
I(y1)2d
D
16
3
64
35
368
105
四、平面薄片对质点的引力
设有一平面薄片,占有xoy面上的闭区域D,在点(x,y)处的面密度为
(x,y),假定(x,y)在d上连续,现计算该薄片对位于z轴上点m。
©0,1)处
的单位质量质点的引力。
在闭区域D上任取一个小的闭区域曲"〔该不区域的面积也记作应7)■
0』)是風7内的一点,它的质量近似等于p(x7yjdcr.可将小闭区域Nb的质量近似地看作集中在点〔兀了)处于是薄片对质点的引力近锁值为
kp(x,y)d 引力的方向与向量生,”0-1}一致其中尸=J护+/+,,片为弓|力常数。 于是,薄片对质点的引力F在三个坐标轴上的分力Fx,Fy,Fz的力元素为 dFx k(x,y)xd 3 r dFy dFz Fy Fz k(x,y)yd 3 r k(x,y)(O1)d 3 r k D k D (X,y)xd 3 r (x,y)yd 3 r (x,y)d 3 r
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