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投资买房和租房论文

投资买房和租房论文

摘要

在住房问题日益紧张的今天，无论是发达国家，还是发展中国家，都不同程度地存在着城市住房问题。

各国住房问题的特点和程度有所不同。

对于很多人来说，买房还是租房是困扰很多人的问题。

这里我们将通过对城市住房数据的调查和统计，并通过精密的计算和建立合理的数学模型去比较租房和买房问题的选择。

首先我们对问题1：

从住房者的角度考虑，问题2：

从投资者角度我们通过对买房的各个元素进行考虑例如（家庭收入、租金收入、储蓄及贷款利率、房屋折旧率、房屋空置率等）建立数学模型，通过题意我们分析出判断买房还是租房

问题1：

从居住着的角度考虑：

判断标准为回报净现值，建立决策变量，对一些比较复杂的决策变量做出假设，简化计算过程，通过对房租和房屋的升值等因素建立简单的线性规划模型，用一些简单的数学公式和定理对一些明显的数据或表达式简化，通过C++编写代码对复杂的部分模型求解和模型检验，再通过matlab作图工具编写简单的matlab程序画图，从图中便于观察模型的特点。

问题2：

从投资者的角度考虑：

在比较时我们因更加的切合实际，以确保模型的合理性。

所以我们需要考虑其他能影响模型的因素，例如（家庭收入、租金收入、储蓄及贷款利率、房屋折旧率、房屋空置率等）建立更加合理，精确的线性规划模型，在求总房租和总贷款时我们科一用等比数列求和。

等差数列求和公式简化部分表达式。

关键词：

线性规划、决策变量、等比数列求和、等差数列求和、matlab，C++

题目的分析………………………………………………………………3

模型的假设………………………………………………………………4

模型的建立并求解………………………………………………………5

计算和算法………………………………………………………………10

模型的测试………………………………………………………………12

给买房和租房者的一封信………………………………………………16

模型的改进………………………………………………………………18

参考文献…………………………………………………………………18

附录………………………………………………………………………19

题目的分析

问题的叙述：

对于很多人来说，买房还是租房是困扰很多人的问题。

从租售比的角度看，目前北上广（北京、上海和广州）以及其它沿海大中城市的房价过高，存在泡沫，因此比较理性的行为应该是租房。

但是，从投资的角度看，很多人对于房价都有看涨心理，认为房产从长远来看是升值的，是投资，而房租却是消费，因此应该买房。

问题的分析：

我们需要了解：

1芜湖市多个小区的房产价格

2还需要了解银行的贷款利率

3各个小区的房屋租售比

问题1：

从居住着的角度来想是肯定在买房和租房之中选择较低的，我们需要了解芜湖市多个小区的房产价格等，买房的主要收入是房租和房产升值，主要成本是按揭的债务成本和投入本金的机会成本，外加房屋持有成本。

租房的主要收入是省下来的买房首付款加上每月房租低于按揭款部分的投资收益，主要成本就是房租。

我们要通过房屋的租售比和房屋的升值率画图，当租售比和升值率达到某个值是租房和买房的回报净现值相同，这样就可以直观的从图中看出租房和买房那个更划算。

因此我们需要求出两者的回报净现值，通过比较这两组值判断是买房还是租房。

如何求出回报净现值？

我们需要建立相关的数学模型。

（房屋持有成本：

房屋的折旧、物业管理及维护费用,这里我们设为定值）

问题2：

从投资者的角度看，买房的主要收入是房租和房产升值，主要成本是按揭的债务成本和投入本金的机会成本，外加房屋持有成本。

但我们应考虑市场房屋价格的变化情况，综合考虑各种因素（如家庭收入、租金收入、储蓄及贷款利率、房屋折旧率、房屋空置率等）。

最终我们评定投资者的决策标准是如何让投资者的利益最大化。

如何求出利益最大化？

我们需要通过数学模型来看。

注：

居住着和投资者的区别是，居住着是要得到自己的房屋，而投资者的目的是如何才能通过买房获取最大的利益，所以二者的数学模型不同。

利润最大化问题我们可以用线性规划来求得最优解问题，在根据模型是否有约束条件分为约束优化和无约束优化问题；

模型的假设

模型的假设：

1房屋持有成本/房租为20%

2银行贷款利率二十年维持不变

3房租每年按照6%增长

4购买的房子贷款20年内还清

5每年的通货膨胀率固定,，以相对于第一年，每年增长3%

6家庭收入增长率稳定（相对于第一年每年增长10%）

7房屋的平均空置率为95%

（租房和买房的面积相同）

r

银行年贷款利率6%

g

房子的价格增长率（年）

p

房子的租售比

b

房价的首付款所占房价的比例20%

s

房子的面积

u

房屋持有成本/房租

m

投资回报率为3%

M2

每月需要按揭的贷款额

n

固定的通货膨胀率3%

Y1

买房的回报净现值

Y2

租房的回报净现值

W

投资者的所获利润

D

芜湖市房屋的租售比

Q

单位面积房子的价格（元/平方米）

W0

房屋的实际价格（不加贷款利息）

Vi

为每个月还的贷款利息

t

房屋折旧率1.75%（每年）

savei

家庭年平均收入10%

K

房屋的平均空置率

Y

房子投资的利润率

模型的建立并求解

模型的建立与求解：

问题一：

（本模型采取等额本金还款法）

投资者，买房：

买房时考虑的房子的面积和单位价格，和银行的贷款利率。

所以，

房子的总付款=房子本身价格+银行的贷款利息

买房的收入（第i年的收入）=房子升值+房租

房子在第i年升值：

W（i）-W（i-1）=W0（1+g）^i-W0（1+g）^（i-1）i>0

第i年房租收入：

因为居住着买房是为了自己居住的，所以房租为0

买房的成本（第i年的成本）=投入本金的机会成本+一年的贷款利息+房屋持有成本表达式为：

成本=W0*b*m+Vi+u

房子的持有成本/房租=20%

u=20%*W0*p（1+6%）^（i-1）

每年按揭贷款的金额=W0（1-b）/20

第i年还未还的贷款：

W0（1-b）（21-i）/20

第i年需要还的贷款利息：

Vi=s*Q（1-b）（21-i）*r/20=W0*（1-b）（21-i）*r/20

投入本金的机会成本=首付*投资回报率=W0*b*m

由于通货膨胀率按照每年3%的速度增加，第i年（年尾）相对于第一年（年初）的通货膨胀率ni=3*i%

买房的回报净现值=∑{[Wi-W（i-1）]/（（W0*b*m+Vi+u）*（1+ni）））

（i=1,2,3…………19,20）

注：

该式的具体算法会在后面解释

买房的回报净现值等于二十年，（收益/成本）*通货膨胀率相加得出；

租房：

租房的主要收入是省下来的买房首付款加上每月房租低于按揭款部分的投资收益

每月房租低于按揭部分=W0（1-b）/20-W0*p（1+6%）^（i-1）

首付款：

W0*b

租房的收入=[W0*b+（W0（1-b）/20）-W0*p（1+6%）^（i-1）]*m

主要成本就是房租

由于房租每年会按照6%的增长率而增加，房租为=W0*p（1+6%）^（i-1）单位（元/年）

第一年房租为：

W0*p

第二年房租为：

W0*p（1+6%）

第三年房租为：

W0*p（1+6%）^2

………………

………………

第十八年房租为：

W0*p（1+6%）^17

第十九年房租为：

W0*p（1+6%）^18

第二十年房租为：

W0*p（1+6%）^19

租房的成本=∑W0*p（1+6%）^（i-1）（i=1,2,3…………19,20）

租房的回报净现值=（收益/成本）*通货膨胀率

=（W0*b+W0（1-b）/20-W0*p（1+6%）^（i-1））*m/（（1+ni）*W0*p（1+6%）^（i-1））（i=1,2,3…………19,20）

租房的回报净现值等于二十年，（收益/成本）*通货膨胀率相加得出；

问题二：

投资者买房最终是求得利益最大化，我们可以用线性规划区求得最优解（这组解就使得利益最大化的一组或多组解）注：

家庭收入和租金收入必须大于每月的按揭贷款

首先我们构造目标函数：

其次分析题意是否对目标函数有约束条件，很显然得出一个约束条件：

家庭收入和租金收入必须大于每月的按揭贷款

房租：

每年的租金收入额=W0*p*k（1+6%）^（i-1）

第一年房租为：

W0*p*K

第二年房租为：

W0*p（1+6%）*K

第三年房租为：

W0*p*K（1+6%）^2

………………

………………

第十八年房租为：

W0*p*K（1+6%）^17

第十九年房租为：

W0*p*K（1+6%）^18

第二十年房租为：

W0*p*K（1+6%）^19

贷款利息：

每个年还的贷款（不含利息）=W0*（1-b）/20

每年还贷款的利息=W0*（21-i）（1-b）*r/20（r=6%）

总利润=二手房价+总房租-买房子价格-房贷利息-房屋持有成本

=65%*W0*（1+g）^20+36.79*W0*p-W0-1.008*W0-7.358*W0*p

年收入租金+家庭收入>按揭贷款部分+贷款利息+房屋持有成本

W0*p*k（1+6%）^（i-1）+save（i）>W0*（1-b）/20+W0*（21-i）（1-b）*r/20+0.2*36.79*W0*p*K

模型的求解：

问题一

由题意可知，当买房和租房的回报净现值相等时，租房和买房没有区别

在建立模型时，我们分析出买房和租房的成本与利益各由什么组成

买房:

收入=房子升值+房租

成本=投入本金的机会成本+一年的贷款利息+房屋持有成本

房子第i年升值额：

W（i）-W（i-1）=W0（1+g）^i-W0（1+g）^（i-1）i>0

第i年的房租额：

0

投入本金的机会成本：

首付*投资回报率=W0*b*m

第i年贷款利息：

W0*（1-b）（21-i）*r/20

房屋持有成本：

20%*W0*p（1+6%）^（i-1）

租房：

收入=买房首付款加上每月房租低于按揭款部分的投资收益

成本=房租

买房的回报净现值=租房的回报净现值，根据这个等式我们可以得到一个关于g（房屋价格的平均增长率）和p（买房时的租售比）的一个方程；

1我们可以利用matlab作图工具画出一个以g为自变量，p为因变量的一个二维图形；

2我们可以取若干点将对应的点在图中描出，再用平滑的曲线连接

在这里我们采取第二种作图方法

由方程可知，该图上所有点所对应的g和p都是的等式成立；即：

在房屋的增长率为g，租售比为p时，买房和租房时一样的。

问题二

总利润=二手房价+总房租-买房子价格-房贷利息-房屋持有成本

求总房租：

用等比数列求和可以得出所有的房租之和

总房租=36.79*W0*p*K

二手房价：

我们假设房租以每年g的速度增长

二十年后房价为：

W0*（1+g）^20

由于房屋的折旧率影响（房屋折旧率2%），二十年后房子只有6成新，所以房屋

以二手房出售

二手房的价格=65%*W0*（1+g）^20

买房子价格：

房价=面积*单位面积房价

=s*Q=W0

房贷利息（r=6%）：

第一年贷款利息：

（W0*（1-b）*r/20）*（21-1）

第二年贷款利息：

（W0*（1-b）*r/20）*（21-2）

第三年贷款利息：

（W0*（1-b）*r/20）*（21-3）

………………

………………

第十七年贷款利息：

（W0*（1-b）*r/20）*（21-17）

第十八年贷款利息：

（W0*（1-b）*r/20）*（21-18）

第十九年贷款利息：

（W0*（1-b）*r/20）*（21-19）

第二十年贷款利息：

（W0*（1-b）*r/20）*（21-20）

观察发现：

每年的贷款利息构成一个等差数列，可以通过等差数列求和公式得：

总利息=1.008*W0

房屋持有成本：

房屋持有成本/房租=20%

房屋持有成本=0.2*房租

=0.2*36.79*W0*p*K

总利润=二手房价+总房租-买房子价格-房贷利息-房屋持有成本

=65%*W0*（1+g）^20+36.79*W0*p*K-W0-1.008*W0-7.358*W0*p*K

=65%*W0*（1+g）^20+29.432*W0*p-2.008*W0

=W0*（65%*（1+g）^20+29.432*p*K-2.008）（K=95%）

=W0*（65%*（1+g）^20+27.960*p-2.008）

约束条件：

W0*p*k（1+6%）^（i-1）+save（i）>W0*（1-b）/20+W0*（21-i）（1-b）*r/20+0.2*36.79*W0*p*K

计算和算法

采用的软件名称：

matlab，vs2012

数学定理和公式：

等差数列求和公式，等比数列求和公式

在建立和简化模型中所用到的数学知识和公式：

在计算总房租和总贷款利息额时，我们观察得出，房租和贷款利息额各承等比数列和等差数列；所以在求总和是我们可以通过数学公式，等比等差数列求和公式和等比数列求和公式求得我们所需要的简化模型

等差求和公式：

（A1+An）*n/2A1为等差数列首项，An为最后一项，n为元素的个数；

等比数列求和公式：

B1（1-q^（n+1））/（1-q）B1为等比数列首项，q为等比（q！

=1）

在建立和简化模型时所编写的C++代码的算法思想；

在一些不能用等比和等差数列求和公式直接的出结果时，可以用C++

编写代码来解决求和问题，在建模中用到的有:

买房的回报净现值=∑（Wi-W（i-1））/（（W0*b*m+Vi+u）*（1+ni））

（i=1,2,3…………19,20）

租房的回报净现值=（W0*b+W0*（1-b）/20-W0*p（1+6%）^（i-1））*m/（（1+ni）*W0*p（1+6%）^（i-1））（i=1,2,3…………19,20）

Wi-W（i-1）=W0（1+g）^i-W0（1+g）^（i-1）=W0（1+g）^（i-1）*g

Vi=W0*（21-i）（1-b）*r/20

u=20%*W0*p（1+6%）^（i-1）

ni=3%*i

b

m

r

ni

20%

3%

6%

3%*i

初步化简得：

买房的回报净现值=（（1+g）^（i-1）*g）/（（0.006+0.0024*（21-i）+20%*

p（1+6%）^（i-1））*（1+0.03*i））

对于W0（1+g）^（i-1）*g（i=1,2,3……19,20）

租房的回报净现值=（0.2+0.04-p*（1+6%）^（i-1））*0.03/（（1+0.03*i）*

p（1+6%）^（i-1））

我们可以在C++代码里用for循环或者递归的方法来实现，控制循环变量i设为1~20，每次循环i都对应一个值（第i年的收益/成本*通货膨胀率），再用一个变量sum1求加法，经过20次循环后求得变量值sum1，即为买房回报净现值，租房求回报净现值的方法相同。

在求解第二个模型时最终化简模型得出一个利润关于房价增值率和租售比的一个二元方程，我们在matlab中利用作图工具画出关于利润，房价增值率，租售比的三维图形，这样我们可以从图形中直接看出利润与房价增值率和租售比成正比；也可以明显看出利润受增长率的影响更大。

模型的测试

模型的误差分析：

在建立数学模型的时候我们假设房租按照每年6%的速度固定增长，房子按照每年g的增长率固定增长，但是在实际生活中房租和房价的增长率是不固定的，如果考虑到这些因素的话，在模型中就要将每年的增长率用gi，pi（i=1,2，……20）来代替，这样模型中的变量增加，模型中会出现求和符号，不利于我们对模型的分析，计算量也会大大增加。

问题一：

对模型的分析：

最简模型：

买房的回报净现值=租房的回报净现值

（（1+g）^（i-1）*g）/（（0.006+0.0024*（21-i）+20%*p（1+6%）^（i-1））*（1+0.03*i））=（0.2+0.04-p*（1+6%）^（i-1））*0.03/（（1+0.03*i）*p（1+6%）^（i-1））

从我们所建立的数学模型中可以分析出一下三种情况：

1买房的回报净现值>租房的回报净现值

2买房的回报净现值=租房的回报净现值

3买房的回报净现值<租房的回报净现值

当符合第一种情况时，买房比租房划算

当符合第二种情况时，买房和租房相同

当符合第三种情况时，租房比买房划算

对模型的检验：

对模型进行检验时我们采取模型二中的部分数据

国贸天琴湾

柏庄跨界

绿地·镜湖世纪城

世茂滨江花园

万科城

金都檀宫

房价增长率

-0.063

-0.015

-0.001

-0.042

0.009

0.058

租售比

0.024

0.063

0.019

0.040

0.027

0.017

表一

根据已建立好的数学模型对表一数据进行求解，并对解进行说明

国贸天琴湾

柏庄跨界

绿地·镜湖世纪城

世茂滨江花园

万科城

金都檀宫

买房和租房回报净现值关系

租房大于买房的回报净现值

租房大于买房的回报净现值

租房大于买房的回报净现值

租房大于买房的回报净现值

买房大于租房的回报净现值

买房大于租房的回报净现值

居住者的建议

租房

租房

租房

租房

买房

买房

对检验结果的分析：

我们从表中可以看出，在前四个地方都比较适合租房，在万科城和金都檀宫比较适合买房，这是因为在前四个地区的房价增值率都为负数，这是根据我们所建的模型所得出的结论

问题二：

对模型的分析：

因为在具体模型中决策变量没有明显的约束；所以无法求得最优的增值率和租售比

目标函数：

W（总利润）=W0*（65%*（1+g）^20+27.960*p-2.008）

从所建立的数学模型中可以分析出：

买房的利润与以下三点有关

1买房时的价格

2房子的年升值率

3房子的租售比

当房价一定时，我们可以看出（65%*（1+g）^20+27.960*p-2.008）为买房的利润率

Y=65%*（1+g）^20+27.960*p-2.008

利润与房价的增值率成正比，与房子的租售比成正比

当房子的租售比一定时，利润与房价和增值率成正比

当房子的增值率一定时，利润与房价和租售比成正比

模型的检验：

对于模型我们给出数据检验，以下是芜湖市的一些房价：

房子地址

房价（万元）

面积（m2）

单位面积价格（元/m2）

租售比（租金/房价）

房价增长率

弋江区

国贸天琴湾

75

100

7500

0.024

-0.063

柏庄跨界

34.45

53

6500

0.063

-0.015

镜湖区

绿地·镜湖世纪城

59.85

105

5700

0.019

-0.001

世茂滨江花园

74.7

90

8300

0.040

-0.042

鸠江区

万科城

76.38

114

6700

0.027

0.009

金都檀宫

43.2

90

4800

0.017

0.058

（房价的增长率可能出入较大，请根据实际需要给定值求解）

表三

根据已经建立好的数学模型求得最大利润（万元）

国贸天琴湾

柏庄跨界

绿地·镜湖世纪城

世茂滨江花园

万科城

金都檀宫

-87.0075

8.0579

-50.2501

-45.8658

-36.3187

20.5070

表四

对检验结果的分析：

从上述表中，可以看出，在芜湖市投资房屋很多都是亏本，只有在少数地方买房才会赚，但是获得的利润想对于成本和时间来说较少，所以不适合在芜湖市买房投资。

可能导致实验结果的原因有：

最主要的原因就是面对目前“高烧”的房价政府采取了一定的措施制约价格上涨幅度和速度，就其主要原因是从2009年4月份开始房地产价格的涨价速度太快，政府不愿意看到房地产成为投机品，这是有违政府本意。

国家出台这一系列的政策，也是对市场发出的一个“预警信号”，但绝对不会在短期内快速打压房地产。

因此，房产的价格平均来说是略有下降，而对投资者来说，房产升值是最大的的利润来源之一，所以才会导致表四的结果。

给买房和租房的一封信

在这个物欲横流的现代生活中，买房，成为我们生活中的一大难题，而且关于买房的一些注意事项是我们值得思考的。

对于这些蠢蠢欲动的人们，购房要理性不

可以盲目跟从，今天小编将提供你关于买房的十大建议供大家参考

1、还是可以继续观望。

降了息，也免了税，房价也合理许多，现在买房确实是成本低了不少。

但在宏观经济没有明显好转的情况下，这些政策还将会继续加大力度。

应该说利率还有一定的下浮空间，而税费的减免甚至补贴还有巨大的空间。

最关键的房价估计还有5%-10%的下降空间。

一般来说，货币政策的显效需要6个月的周期，“双降”是始于去年9月中旬，所以到今年3-4月份效果才会明显，所以建议至少观望到4月。

2、尽量回避一些问题开发商的期房。

目前大部分开发商资金链状况还是比较安全的。

但近段时间以来，关于各个楼盘延期交房或者交房质量问题的现象也越来越多。

对于某些盲目扩张以及实力弱

小的开发商，资金链断裂的危险在加大，楼盘烂尾的危险也在加大。

所以买期房的时候一定要选品牌开发商，这样安全性要高一些。

3、尽量考虑二手次新房。

二手房，看得见，摸得着，实实在在。

相比期房来要安全许多。

在国家将二手房营业税征收从5年降至2年以后，这些次新房的优势明显体现出来。

最近和裕兴等大的二手房中介公司老总聊过，他们透露这个政策出台以后对市场的影响相当明显。

这样的次新房既可以避免期房烂尾的危险，又有新房的品质，受捧是

自然的。

4、可以通过售楼部以外的其他渠道购买新房。

由于销售不利，开发商都在绞尽脑汁寻找各种销售渠道。

除了二手房中介外，有的开发商还会通过媒体、银行、大企业等进行一些团购活动。

这些渠道一般都可以比售楼部优惠许多，这也是目前这个尴尬情况下开发商

“暗降”的主要方式。

5、对于所谓内部价、关系价，提高警惕

目前确实有许多团购价和内部价存在，但许多不法分子也在趁此机会招摇撞骗。

所以大家在希望通过这些渠道购房时一定要提高警惕。

还有就是注意价格，价格

不可能低的太离谱，当心骗局。

6、买二手房要敢于“砍价”

既然推荐大家买二手房，那就告诉大家一些买二手房的技巧。

看上一个区域后

，先对这个区域的基本房价有个了解。

在一家中介看上一套房子后，千万不要又找另外的中介看同一套房子。

这样会使房东以为有很多人要买他的房子，这样讲不下价。

看到中意的房子后，要敢于砍价，为了获得溢价收益，中介往往会把价格报的比较高，最好摆出一种有好几套房子可选择的态度，这样容易促使房东降价。

7、投资性购房关注市中心区域的小户型。

小户型总价低，好出手。

而且市场供应比较少，供求关系上占优势。

但一定要注意地段。

一般中心区域，及医院、学校、车站等流动人口多的区域的小户型会比

较受捧。

这些小户型可租可售，而且租金收益一般较高，投资价值比较大。

8、注意区域性的投资价值机会。

虽然是弱市