初中数学部分规律性质总结.docx
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初中数学部分规律性质总结.docx
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初中数学部分规律性质总结
不等式的性质:
(1)不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变;
(2)不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变;
(3)不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变.
二元一次方程组的解法,方程组中未知数的系数较小时可用代入法,当未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法较简单.
俯视图打地基,正视图疯狂盖,左视图拆违章
平均速度=总路程÷总时间=往返路程÷(上坡时间+下坡时间).
四舍五入取近似值时,由精确的那个数位起,如果后面一位上的数字大于等于5,则向前入一个,如果后面一位上的数字小于5,则马上舍去
两站之间的往返车票各一种,即两种,n个车站每两站之间有两种,则n个车站的票的种类数=n(n-1)种,但是票价只有1/2票数.
数轴上两点间的距离等于表示两个点的数的差的绝对值,或直接让较大的数减去较小的数。
众数是指一组数据中出现次数最多的数据,中位数是将一组数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列,如果数据的个数是奇数,则处于中间位置的数就是这组数据的中位数;如果数据的个数是偶数,则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.
绝对值的性质:
①当a是正有理数时,a的绝对值是它本身a;②当a是负有理数时,a的绝对值是它的相反数-a;③当a是零时,a的绝对值是零.
相反数的意义:
一个正数的相反数是负数,一个负数的相反数是正数,0的相反数是0.
|x-a|表示数轴上一点到a的距离
有理数的加法运算法则:
异号的两个数相加,取绝对值较大的数的符号,再让较大的绝对值减去较小的绝对值.
数轴上点的坐标变化和平移规律:
左减右加.
初中阶段有三种类型的非负数:
(1)绝对值;
(2)偶次方;(3)二次根式(算术平方根).当它们相加和为0时,必须满足其中的每一项都等于0.
绝对值的性质:
一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.互为相反数的性质:
互为相反数的两个数的和为0.
任何非0数的0次幂都是1,负指数幂则是这个数的幂的倒数.
倒数的定义:
若两个数的乘积是1,我们就称这两个数互为倒数.
非负数的性质,两个非负数的和等于0,则每个数等于0。
互为相反数的两个数的和为0;互为倒数的两个数的积为1;0的任何不等于0的次幂都等于0;1的任何次幂都等于1.
绝对值规律总结:
一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.
相反数的定义:
只有符号不同的两个数互为相反数,0的相反数是0;
|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离,即|x|=|x-0|,也就是说|x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离;这个结论可以推广为:
|x-y|表示在数轴上数x、y对应点之间的距离;在解题中,我们常常运用绝对值的几何意义.
同类项定义中的两个“相同”:
(1)所含字母相同;
(2)相同字母的指数相同
根据单项式的定义进行选择.数与字母的积的形式的代数式是单项式,单独的一个数或一个字母也是单项式.
数与字母的积的形式的代数式是单项式,单独的一个数或一个字母也是单项式,分母中含字母的不是单项式.
整式是有理式的一部分,在有理式中可以包含加,减,乘,除四种运算,但在整式中除式不能含有字母.单项式和多项式统称为整式.判断整式时,分母中含有字母的式子一定不是整式.
一元一次方程的标准形式为ax=b,它的解有三种情况:
①当a≠0,b为任意数时,方程有唯一一个解;②当a=0,b≠0时,方程无解;③当a=0,b=0时,方程有无数个解.
1.a不等于0,则方程有唯一的解(这时,方程两边可以同时除以a,则方程的解为x=b/a)
2.a=0并且b不等于0,方程无解(方程左边恒等于0,而右边不等于0,找不出x以让方程两边相等,故无解)
3.a=0并且b=0,方程有无数个解。
(方程两边都恒等于0,不管x取任何值,即x可以取任何值,有无数解)
不等式的性质:
(1)不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变.
(2)不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.
(3)不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.
角的平分线的定义:
一条射线把一个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的平分线。
角平分线的性质:
角平分线上的点,到角两边的距离相等
定理:
角平分线上的任意一点,到角两边的距离相等。
垂直于两边为最短距离。
角平分线能得到相同的两个角。
三角形三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等。
逆定理:
到角两边的距离相等的点在角平分线上。
有理数乘方的定义:
求n个相同因数的积的运算叫做乘方,乘方的结果叫做幂。
在an中,a叫做底数,n叫做指数。
22、73也可以看做是乘方运算的结果,这时它们表示数,分别读作“2的2次幂”、“7的3次幂”,其中2、7叫做底数,6、3叫做指数。
①习惯上把22叫做2的平方,把23叫做2的立方;
②当地鼠是负数或分数时,要先用括号将底数括上,再在其右上角写指数,指数要写得小些。
乘方的性质:
乘方是乘法的特例,其性质如下:
(1)正数的任何次幂都是正数;
(2)负数的偶次幂是正数,负数的奇次幂是负数;
(3)0的任何(除0以外)次幂都是0;
(4)a2是一个非负数,即a2≥0。
有理数乘方法则:
①负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数。
例如:
(-2)3=-8,(-2)2=4
②正数的任何次幂都是正数,0的任何正整数次幂都是0.例如:
22=4,23=8,03=0
点拨:
①0的次幂没意义;
②任何有理数的偶次幂都是非负数;
③由于乘方是乘法的特例,因此有理数的乘方运算可以用有理数的乘法运算完成;
④负数的乘方与乘方的相反数不同。
乘方示意图:
相反数
相反数的定义:
像2和-2,5和-5这样,只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
相反数的几何意义:
在数轴上到原点距离相等的两个点表示的两个数叫做互为相反数。
相反数的代数意义:
如果两个数的和为零,其中一个数是另一个数的相反数,这两个数称为互为相反数。
相反数的特性:
1、若a,b互为相反数,则a+b=0;反之,若a+b=0,则a,b互为相反数;
2、在数轴上,互为相反数(0除外)的两个点位于原点的两旁,并且关于原点对称;
3、此时,b的相反数为﹣b=﹣(﹣a)=a,那么我们就说“相反数具有互称性”。
4、相反数的规律:
正数的相反数是负数,负数的相反数是正数,0的相反数是0。
5、相反数的表示方法:
a的相反数是-a,-a的相反数是a;a-b的相反数是b-a,b-a的相反数是a-b;a+b的相反数是-(a+b),即-a-b。
(互为)相反数的代数意义:
1、只有符号不同的两个数称互为相反数。
a和-a是一对互为相反数,a叫做-a的相反数,-a叫做a的相反数。
注意:
-a不一定是负数。
a不一定是正数。
(a不等于0)
2、若两个实数a和b满足b=﹣a。
我们就说b是a的相反数。
3、两个互为相反数的实数a和b必满足a+b=0。
也可以说实数a和b满足a+b=0,则这两个实数a,b互为相反数。
相反数的判别:
我们在利用相反数的概念进行化简时,很多情况下,把括号里的部分看成一个整体(即想象成一个数a),问题就容易解决。
因此要求一个数的相反数,只要在这个数前面叫上“-”,再化简即可。
多重符号的化简:
1、在一个数前面添加一个“+”好,所得的数与原数相同。
2、在一个数前面添加一个“-”号,所得的数就成为原数的相反数。
3、对于有三个火三个以上符号的数的化简,首先要注意,一个数前面不管有多少个“+”号,可以把正号去掉,其次要看“-”号的个数,当“-”号的个数为偶数个时,结果取正,当“-”号的个数为奇数个时,结果取“-”号。
绝对值
绝对值定义:
在数轴上,表示一个数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。
绝对值用“||”来表示。
在数轴上,表示一个数a的点到数b的点之间的距离的值,叫做a-b的绝对值,记作|a-b|。
绝对值的意义:
1、几何的意义:
在数轴上,一个数到原点的距离叫做该数的绝对值.如:
5指在数轴上表示数5的点与原点的距离,这个距离是5,所以5的绝对值是5。
2、代数的意义:
非负数(正数和0,)
非负数的绝对值是它本身,非正数的绝对值是它的相反数。
互为相反数的两个数的绝对值相等。
a的绝对值用“|a|”表示.读作“a的绝对值”。
实数a的绝对值永远是非负数,即|a|≥0。
互为相反数的两个数的绝对值相等,即|-a|=|a|。
若a为正数,则满足|x|=a的x有两个值±a,如|x|=3,,则x=±3.
绝对值的有关性质:
①任何有理数的绝对值都是大于或等于0的数,这是绝对值的非负性;
②绝对值等于0的数只有一个,就是0;
③绝对值等于同一个正数的数有两个,这两个数互为相反数;
④互为相反数的两个数的绝对值相等。
绝对值的化简:
绝对值意思是值一定为正值,按照“符号相同为正,符号相异为负”的原则来去绝对值符号。
①绝对值符号里面为负,在去掉绝对值时必须要加一个负的符号老确保整个值为正值,也就是当:
│a│=a(a为正值,即a≥0时);│a│=-a(a为负值,即a≤0时)
②整数就找到这两个数的相同因数;
③小数就把这两个数同时扩大相同倍数成为整数,一般都是扩大10、100倍;
④分数的话就相除,得数是分数就是分子:
分母,要是得数是整数,就这个数比1。
余角和补角:
如果两个角的和等于90°(直角),就说这两个角互为余角.即其中一个角是另一个角的余角;如果两个角的和等于180°(平角),就说这两个角互为补角.即其中一个角是另一个角的补角.
方程的解与k无关,则k的系数为0
“凤凰方程”的定义推知x=-1是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个解.
形如ax+by=c(a、b、c都是整数,且ab≠0)的方程称为二元一次不定方程,二元一次不定方程是最简单的不定方程。
一些复杂的不定方程(组)常常转化为二元一次不定方程问题加以解决,设a、b、c、d为整数,则不定方程ax+by=c有如下两个重要命题:
(1)若(a,b)=d,且d不能整除c(即d不是c的约数),则不定方程ax+by=c没有整数解。
(2)若x0,y0是不定方程ax+by=c且(a,b)=1一组整数解(即特解),则x=x0+bt,y=y0-at,(t为整数)是方程的全部整数解(即通解)
求整系数不定方程ax+by=c的整数解,通常有以下几个步骤:
(1)判断有无整数解
(2)求一个特解
(3)写出通解
(4)由整数t同时要满足条件(不等式组),代入
(2)中表达式,写出不定方程的正整数解。
解不定方程组的基本方法:
(1)视某个未知数为常数,将其他未知数用这个未知数的代数式表示
(2)通过消元,将问题转化为不定方程求解
(3)运用整体思想方法求解。
求:
方程5x-3y=-7的正整数解.
解:
原方程X=(3y-7)/5即X=-2+[3(y+1)]/5
(1)Y=4时,x=1即X=1Y=4为原方程的一组整数解,因此,原方程的所有整数解为X=1-3k(k为任意整数)Y=4-5k再令X大于0,y大于0,即有不等式组1-3k大于04-5k大于0解得K小于1/3,所以当k取0,-1,-2,„时原方程可得到无穷多组正整数X=1-3k(k=0,-1,-2,„)Y=4-5k
三角形的内角和定理及推论:
三角形的内角和定理:
三角形三个内角和等于180°。
推论:
(1)直角三角形的两个锐角互余。
(2)三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。
(3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
注:
在同一个三角形中:
等角对等边;等边对等角;大角对大边;大边对大角。
平行公理:
过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
推论(平行线的传递性):
平行同一直线的两直线平行。
∵a∥c,c∥b
∴a∥b。
平行线的性质:
1.两条平行被第三条直线所截,同位角相等。
简单说成:
两直线平行,同位角相等。
2.两条平行线被第三条直线所截,内错角相等。
简单说成:
两直线平行,内错角相等。
3.两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补。
简单说成:
两直线平行,同旁内角互补。
平行线的性质公理注意:
①注意条件“经过直线外一点”,若经过直线上一点作已知直线的平行线,就与已知直线重合了;
②平行公理体现了平行线的存在性和唯一性;
③平行公理的推论体现了平行线的传递性。
④在两直线平行的前提下才存在同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的结论。
这是平行线特有的性质。
不要一提同位角或内错角就认为他们相等,一提同旁内角就认为互补,若没有两直线平行的条件,他们是不成立的。
三角形的中线:
在三角形中,连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。
由于三角形有三条边,所以一个三角形有三条中线。
且三条中线交于一点。
这点称为三角形的重心。
每条三角形中线分得的两个三角形面积相等。
角平分线:
三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。
三角形的角平分线不是角的平分线,是线段。
角的平分线是射线。
高线:
从三角形一个顶点向它的对边做垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线(简称三角形的高)。
线段的垂直平分线:
经过某一条线段的中点,并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线。
注意:
要证明一条线为一个线段的垂直平分线,应证明两个点到这条线段的距离相等且这两个点都在要求证的直线上才可以证明
巧计方法:
点到线段两端距离相等。
三角形中线性质定理:
1、三角形的三条中线都在三角形内。
2、三角形的三条中线长:
ma=(1/2)√2b2+2c2-a2;
mb=(1/2)√2c2+2a2-b2;
mc=(1/2)√2a2+2b2-c2。
(ma,mb,mc分别为角A,B,C所对的中线长)
3、三角形的三条中线交于一点,该点叫做三角形的重心。
4、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
5.三角形中线组成的三角形面积等于这个三角形面积的3/4.
定理内容:
三角形一条中线两侧所对边平方和等于底边的一半平方与该边中线平方和的2倍。
角平分线线定理:
定理1:
在角平分线上的任意一点到这个角的两边距离相等。
逆定理:
在一个角的内部(包括顶点),且到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。
定理2:
三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例,
如:
在△ABC中,BD平分∠ABC,则AD:
DC=AB:
BC
注:
定理2的逆命题也成立。
三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等!
(即内心)。
垂直平分线的性质:
1.垂直平分线垂直且平分其所在线段。
2.垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等。
3.三角形三条边的垂直平分线相交于一点,该点叫外心,并且这一点到三个顶点的距离相等。
垂直平分线的逆定理:
到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。
垂直平分线的尺规作法:
方法一:
1、取线段的中点。
2、分别以线段的两个端点为圆心,以大于线段的二分之一长度为半径画弧线。
得到一个交点。
3、连接这两个交点。
原理:
等腰三角形的高垂直等分底边。
方法二:
1、分别以线段的两个端点为圆心,以大于线段的二分之一长度为半径画弧线,得到两个交点。
原理:
圆的半径处处相等。
2、连接这两个交点。
原理:
两点成一线。
垂直平分线的概念:
经过某一条线段的中点,并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线(中垂线)
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