1991真题及解析.docx
- 文档编号:12899245
- 上传时间:2023-04-22
- 格式:DOCX
- 页数:25
- 大小:328.80KB
1991真题及解析.docx
《1991真题及解析.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《1991真题及解析.docx(25页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
1991真题及解析
1991年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
一、填空题(本题满分15分,每小题3分.把答案填在题中横线上.)
(1)设z=es咖,则dz=.
⑵设曲线fX]=X3・ax与gXj=bx2都通过点-1,0,且在点-1,0有公共切线
贝Ha=,b=,c=.
⑶设f(x)=xeX,则fCXx)在点x=处取极小值.
<0a、
⑷设A和B为可逆矩阵,X=为分块矩阵,则X」=.
0丿
(5)设随机变量X的分布函数为
‘0,X£-1,
0.4,一1兰xc1,
F(x)=P{X^x}=
0.8,1兰xc3,
1,x_3.
则X的概率分布为.
设A和B是任意两个概率不为零的不相容事件,则下列结论中肯定正确的是(
⑸对于任意两个随机变量X和Y,若E(XY)二E(X)・E(Y),则
三、(本题满分5分)
四、(本题满分5分)
域,a0,b0.
五、(本题满分5分)
求微分方程xyd^=x2+y2满足条件yx卡=2e的特解.dxx=e
六、(本题满分6分)
假设曲线L1:
y=1-X20乞x乞1、x轴和y轴所围区域被曲线L2:
y=ax2分为面积相等的两部分,其中a是大于零的常数,试确定a的值.
售价分别为卩!
和p2;销售量分别为q!
和
七、(本题满分8分)
某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售
q2;需求函数分别为q=24-0.2®和q?
=10-0.05p?
,总成本函数为3540q1q2.
试问:
厂家如何确定两个市场的售价,能使其获得的总利润最大?
最大利润为多少?
八、(本题满分6分)
1
试证明函数f(x)=
(1)x在区间(0,•:
:
)内单调增加.
x
九、(本题满分7分)设有三维列向量
问•取何值时,
(1):
可由〉1,〉2,〉3线性表示,且表达式唯一?
(2)[可由?
i/-2/'3线性表示,且表达式不唯一?
(3)一:
不能由宀,〉2,〉3线性表示?
十、(本题满分6分)
222
考虑二次型f^Xi4x24x3•2,X1X2-2X1X3•4X2X3.问,取何值时,f为正定次型.
十一、(本题满分6分)
试证明n维列向量组线性无关的充分必要条件是
0(:
0(2
III
«1T«n
D=
T
«2«1
卡
卡
T
a2a2
III
T
a2«n
i
式0,
T
«na1
T
«na2
III
T
Ot„Ctnnn
其中GT表示列向量C(i的转置,i
=1,2,111,n.
十二、(本题满分5分)
一汽车沿一街道行驶,需要通过三个均设有红绿信号灯的路口,每个信号灯为红或绿与
其他信号灯为红或绿相互独立,且红绿两种信号显示的时间相等,以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数.求X的概率分布.
十三、(本题满分6分)
222
假设随机变量X和Y在圆域Xy (1)求X和Y的相关系数: : ; (2)问X和Y是否独立? 十四、(本题满分5分) 设总体X的概率密度为 ■a a-1--x 了“axe,xaO, P(x;)= I0,x^0, 其中0是未知参数,a0是已知常数.试根据来自总体X的简单随机样本 X1,X2」l(,Xn,求'的最大似然估计量? . 1991年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析 、填空题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】esinxycosxyydxxdy 【解析】方法一: 先求出两个偏导数 和一,然后再写出全微分dz, : x刊 sinxy cosxyy二yecosxy sinxy cosxyx二xecosxy 所以dz-dx_dy=yesinxycosxydx■xesinxycosxydy excy =esinxycosxy(ydxxdy). 方法二: 利用一阶全微分形式不变性和微分四则运算法则直接计算 sinxysinxysinxysinxy dz二deedsinxy=ecosxydxy二ecosxyydxxdy. ⑵【答案】a=-1,b=-1,c=1 【解析】由于曲线fx与gx都通过点-1,0,则 lf「1=-1-a=0 g-1=bc=0 又曲线fx与gx在点-1,0有公切线,则「-1,即 f"(-1)=(3x? +a{=3+a=g"(-1)=2bxx_j=—2b, 亦即3•a二-2b,解之得a=-1,b=-1,c=1. ⑶【答案】x二一n•1;—e」1 n 【解析】由高阶导数的莱布尼兹公式uvn=7C: ukvn“可知, k=0 f(n)(x)=c0x(ex)(n)Cx(ex)zdx(ex)(2-C: x(n)ex 二xexnex011(0=(xn)ex. 对函数gx=fnx求导,并令gx=0,得 gx二f(n°(x)=(xn1)ex=0, 解之得驻点n1,且g(x): : °,x_(nO函数g(x)严格单调递减; g(x): >0,x>—(n+1),函数g(x)严格单调递增; 故x=-(n+1)是函数g(x)=f(nXx)的极小值点,极小值为 g(_n_1)=f()(_n_1)=(_n_1■n)e-_e 【解析】利用分块矩阵,按可逆矩阵定义有 巾A 筑X2、 'E0” 1X3X4」 <0E」 fAX^E, 由对应元素或块相等 *=0, BX^0, BX2二E. 11 从A和B均为可逆矩阵知X3=A—,X4=0,Xi=0,X2=B—.故应填 ⑸【答案】 x -11 3 P{X=x} 0.40.40.2 【解析】因为随机变量X的分布函数F(x)在各区间上的解析式都与自变量x无关,所以 在F(x)的连续点,P{X=x}=0,只有在F(x)的间断点处X取值的概率才大于零,且 P{X=x}=P{X^x}-P{X: : x}=F(x)-F(x-0),则 P{X--1}=F(-1)-F(-1-0)=0.4, P{X=1}=F (1)—F(1—0)=0.8—0.4=0.4, P{X=3}=F(3)-F(3-0)=1-0.8二0.2. x -11 3 P{X=x} 0.40.40.2 15分,每小题3分.) 因此X的概率分布为 二、选择题(本题满分 (1)【答案】(A) 1 令t,则 x limxln(1丄)lim―洛lim—=0, xT•xt—.: 「’tt—.: ,'1t 都不正确. 1 (n=1,2川),则可知(B)不正确. 4n (B). ⑶【答案】 【解析】由■为A的特征值可知,存在非零向量X,使得AX二■X• 两端同时乘以A*,有A*(九X)二A*AX,由公式A*A=A得到九A*X=AX•于是 按特征值定义知■」A是伴随矩阵A*的特征值.故应选(B). 【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义: 设A是n阶矩阵,若存在数•及非零的n维 列向量X使得AX二,X成立,则称■是矩阵A的特征值,称非零向量X是矩阵A的特征向量• ⑷【答案】(D) 【解析】AB=AUB,如果aUB-门,则AB-,即A与B互不相容;如果 AUBI.;,则A-,即A与B相容•由于A、B的任意性,故选项(A)(B)均不正确• 任何事件A一定可以表示为两个互不相容事件AB与AB的和•又因AB=、,从而 A-B=AB=A,另外要注意区分独立与互不相容两个概念,不要错误地把A、B互不相容 等同于A、B相互独立而错选(C). A,B不相容,PA,PB均不为零,因此 PABiuPd〔=0,PAB-PAPB. 即(C)不正确•用排除法应选(D). 事实上,PA-B]=PA-PAB]=PA• ⑸【答案】(B) 【解析】由于E(XY)二E(X)E(Y),因此有 cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0, D(XY)=D(X)2cov(X,Y)D(Y)=D(X)D(Y). 故应选(B). 【相关知识点】若两个随机变量X,Y的方差都大于零,则下面四个命题是等价的: 1)E(XY)二E(X)E(Y); 2)D(XY)=D(X)D(Y); 3)cov(X,Y)二0; 4)X和Y不相关,即X和Y的相关系数r=0. 三、(本题满分5分) 【解析】方法一: 这是1: : 型未定式极限. lim x=0 exe2x71e ln =lime x_0 exe2 Z0宀2 x0,x 讪山住e2x诃』x)」nn -ex0 屛皿e2x川「inn ^—0 x2xnx e+2e+川+ne ex+e2x+川+enx 所以lim x]0 exe2^l|enx 方法二: 由于 x2x 记y=e— ex-e2xIII nx e 1 X丄2x丄舁]丄nxv_x e+e+I+e彳x -1 理—,则当x> 0时y>0,从而 lim x0 fX、2x.j. e+e+川+e 而四1+y)^e,所以叫] (1y) 划—四(1+y) xlimy=ex0x. 又因lim—imC1)(/")川(几1x〕0Xx「0 nx 所以lim x—0 」lim—1lim n||^x)0xx刃 ex■e2^J|J■e 2x n-1 =e2 入A 「5 讥2 四、(本题满分5分)【解析】 f=〔,得y=b1_ x 由 a 积分区域D如图阴影部分所示. 一、2 x x 因此 =ydxdy- D ab1_xa tdxV E 2 12 ydydxy •012 dx' 令t=1 x,有x=a(1-t)2,dx=—2a(1-t)dt,故 b2 I 2 a 01- x4 dx=^ft42a(t-1)dt ab2 五、(本题满分5分) 【解析】将原方程化为 dy_x2y2 dxxy <56J 030 由此可见原方程是齐次微分方程 x 令y=ux,有二u dx du •q,将其代入上式 2 dydu1u 得u•x— dxdxu du1,dx12. 化简得x,即udu.积分得u=InxC. dxux2 将u=丫代入上式,得通解y2=2x2(lnx+C). x 由条件yx』=2e,即4e2=2e2(Ine+C)求得C=1. 所以y2=2x2(lnx1)所求微分方程的特解. 六、(本题满分6分) 【解析】先求出曲线L1和L2的交点,然后利用定积分求出平面图形面积3和S2,如图: 2 y=1-x0_x_1 由2得 [y=axa0 11 S=[尹[(1_x2)_ax21dx=严「1—(1+a)x2〕dx 1 1+a3"|齐2 二xx二 _3o3.FI 22 又因为S=23,所以—=2’,即+a=2,解得a=3. 33j1+a 七、(本题满分8分) 【解析】方法1: 总收入函数为 22R=pgP2q2=24P1-0.2p110p2-0.05p2, 总利润函数为 L=R_C=伽1P2q2】;-(3540qq? —— =32p1-0.2p112p2-0.05p2-1395. 由极值的必要条件,得方程组 礼 —=32-0.4山=0, 即i : L 12-0.1p2=0, 4 即p,=80,p2=120. 因驻点的唯一,且由问题的实际含义可知必有最大利润.故当p^80,p^120时,厂 家所获得的总利润最大,其最大总利润为 L」0」20=(32山-0.2p: +12p2-0.05p22-1395)=605 P1=80,P2=420'r1r1L2L2丿p^=80,p^420 方法2: 两个市场的价格函数分别为 p<)=120-5q,p2=200-20q2, 总收入函数为 R二pgp? q2二120-5qq「200-20q2q? 总利润函数为 L=R-C二120-5qq「200-20q2q: -||3540qq? 22 —80q1-5q1'160q^~20q? …35. 由极值的必要条件,得方程组 cL =80-10q 角1='q1=8,q2二4. : L 160—40q2=0, 因驻点的唯一,且由问题的实际含义可知必有最大利润.故当q=8,q2=4,即山=80, P2=120时,厂家所获得的总利润最大,其最大总利润为Llq^qm=605. 八、(本题满分6分) 1 【解析】因为x(0,: : ),所以f(x)=(V-)x0. x 1 1xxln(1七) f(x)= (1)=ex,两边对x求导,得 x 11 令g(x)=1n(「一),为证函数f(x)为增函数,只需f(x).O在(0,•: : )上成 x1+X 立”即g(x)O,X.(0,: : )• 方法一: 利用单调性 1 f(x)= (1)xg(x)0,x(0, x 于是函数f(x)在(0,: : )单调增加. 方法二: 利用拉格朗日中值定理. 1X+1 令ln (1)=1n()=1n(1x)-Inx=u(x1)-u(x),xx 所以在区间(X,X・1)存在一点,使得 u(x1)-u(x)二u()(x1-x)二u()二丄, 11 即ln (1).又因为0: : : x: : : x 111 故对一切x•(0,■: : ),有f(x)= (1)x[ln (1)]0.函数f(x)在(0,■: : )单调 XX1+x 增加•九、(本题满分7分) 【解析】设Xr^-X^2X3〉3二: 将分量代入得到方程组 (1+扎)X1+X2+X3=0, X11X2X3Y;, X1+X2+(1+入)X3=入. 对方程组的增广矩阵作初等行变换. 第一行分别乘以有(-1、-■[I『加到第二行和第三行上,有 ~1+& 1 1B - 1+& 110"1 1 1+兀 1泳 T 一& 扎0;& “龍r2 龍2— _亠・a2 〕1 1 1+k: 丸 1' 一丸一2丸 —k0: 扎 再第二行加到第三行上,所以有 1■110 T—九丸0: 丸 2-2 ■一九一3九00: 人+扎」 若■-0且23-0,即■-0且„-3,则rA=rA=3,方程组有唯一解,即 [可由m/'2/'3线性表示且表达式唯一. 若’=0,则rA]=rA[=1: : : 3,方程组有无穷多解,一: 可由线性表示,且表达式不唯一. 若’=3,则rA[=2,rAi;=3,方程组无解,从而不能由: d^,: 线性表示• 【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理: 设A是mn矩阵,线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广 矩阵A-iAb的秩,即是r(A)=r(Z)(或者说,b可由A的列向量rrNlFn线表出,亦等同于〉1,〉2」l(,〉n与〉1,〉2」l(,〉n,b是等价向量组)• 设A是mn矩阵,线性方程组Ax二b,则 (1) 有唯一解 — r(A)二r(A)二n. ⑵ 有无穷多解 — r(A)二r(A): : : n. ⑶ 无解 r(A)1=r(A).: =b不能由A的列向量[“dlllLn线表出 十、(本题满分6分) 【解析】关于判定二次型正定这类题目时,用“顺序主子式全大于0”的方法最为简捷 1■-1 二次型f的矩阵为A=人42,其顺序主子式为 「124一 1&、2、2、 心1=1,心2==4—人,心3=A=—4丸一4丸+8. 九4 正定的充分必要条件是各阶顺序主子式都大于0,所以有 1z,, 鸟>0,己2==(2-扎)(2中入)a0,A3=|A=-4(扎一1)(九十2)>0. 丸4 解出其交集为(-2,1),故…(一2,1)时,f为正定二次型. 【相关知识点】二次型的定义: 含有n个变量x^,x2^|,xn的二次齐次多项式(即每项都是二次的多项式) nn f(X1,X2,川,Xn)=EEajXXj,其中aij=aji, 称为n元二次型,令x=(Xi,X2,lil,XnT,A=(aij),则二次型可用矩阵乘法表示为 fXi,X2,|",Xn二XTAX, 其中A是对称矩阵AT=A,称A为二次型fx1,x2^|,Xn的矩阵. 卜一、(本题满分6分) 【解析】记A=(〉1,〉2」ll,〉n),则: SdJldn线性无关的充分必要条件是A=0. 由于 从而取行列式,有D= 有非零解.特别地,n个n维向量〉1「2」l(」n线性相关的充分必要条件是行列式 十二、(本题满分5分) 【解析】首先确定X的可能值是0,1,2,3,其次计算X取各种可能值的概率.设事件A二“汽车在第i个路口首次遇到红灯”,i=1,2,3,且A相互独立. 1 p(A)=p(A)=2. 事件Ai发生表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数为i-1.所以有 p「x=oiaJ, pfx=1.;=P入A二pA1pA=122, pfx=pA1入A3=pA;pA2pa^=123, 2 Sd是区域D的面积,Sd=曲,所以(X,Y)的联合密度 由连续型随机变量边缘分布的定义,X和Y的概率密度f1(x)和f2(y)为 2II f2(八【(“dxjf"T(八r). 由一维连续型随机变量的数学期望的定义: 4^0r-七◎ EX二xf(x)dx,E[g(X)]-g(x)f(x)dx. r 若f(x)为奇函数,积分区间关于原点对称,则积分为零,即是f(X)dx二0. .r 故EX=■r2「x2dx,EY二二^」yr2「y2dy, 二rt二rr 由于被积函数为奇函数,故EX=EY=0. cov(X,Y)=EXY-EXEY^dxdy, x2心Mnr 因为此二重积分区域关于x轴对称,被积函数为y的奇函数,所以积分式为0. cov(X,Y)=0.由相关系数计算公式t二cov(X,Y)_,于是x和丫的相关系数: -=0. JdxVdy (2)由于f(x,y)=fi(x)f2(y),可见随机变量X和Y不独立. 十四、(本题满分5分) 【解析】最大似然估计,实质上就是找出使似然函数最大的那个参数,问题的关键在于构造似 然函数. 现题设给出概率密度函数f(x;■),则似然函数 n 垃濟n L(X1,X2」l|,Xn;■)=(■: •)neV-: X「‘, im nn InL=nln(': )Ini]-■'、X「. i#iT (由于InL是单调递增函数,L取最大与InL取最大取到的二是一致的,而加对数后能把连乘转换成累加,这样求导,找极值比较方便). 由对数似然方程二皿=n一Jx<=0, n n 、Xi: i好 「•/.i2 得•的最大似然估计值■? 二.所以得•的最大似然估计量为 ZXia i=1 【相关知识点】 设X1,X2,…,Xn是相应于样本X1,X2,…,Xn的一组观测值,则似然函数为: n L⑺二f(治出,|l|,Xn;: I丨f化;二)二f(X1;^)f&2门川丨f(Xn;T. i=1 17 精品文档
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 1991 解析