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最优柱体及其制作书稿
第三章初等几何模型
第三节最优柱体容器及其制作
日常生活中,我们经常看到许多无盖或有盖的柱体(含棱柱与圆柱)容器。
这些柱体,我们希望在一定的条件下,其体积或表面积达到最优(最大或最小),我们把这类柱体称作最优柱体。
关于最优柱体,主要有两类问题,一是在柱体表面积为定值的情况下,体积最大的柱体其形状与大小如何;二是在体积为定值的情况下,表面积最小的柱体其形状与大小如何。
另外,从制作的角度来看,给定一平面封闭图形,是否可以在尺规作图,即通常所说的图形割补的情况下,制作最优柱体呢?
哪些平面图形是可以的,哪些是不可以的?
一最优柱体的形状与大小
1.表面积为定值体积最大的柱体
在柱体容器中,有些是无盖的(即上底开着),有些是有盖的(即封闭的)。
以下我们先研究有盖的最优柱体,然后再把相关结论运用到无盖柱体中去。
1.1表面积为定值体积最大的有盖n棱柱是正n棱柱
不妨设表面积为定值s体积最大的n棱柱(底面是n边形,且n≥3)是棱柱C,以下证明分两步来说明棱柱C必是正n棱柱。
首先证明棱柱C是直棱柱。
用反证法。
假设棱柱C不是直棱柱,即棱柱C是斜棱柱,则棱柱C的侧面展开图是一个非矩形的平行四边形。
构造一个底面与棱柱C的底面全等且表面积仍为s的直棱柱A,则直棱柱A的侧面积与棱柱C的侧面积相等。
由于棱柱的侧面展开图是一个平行四边形,其中一边是底面周长,因此直棱柱A的侧面展开图的另一边(即直棱柱A的高)与棱柱C的斜高相等。
又由假设棱柱C是斜棱柱,知其高小于其斜高,所以直棱柱A的体积大于棱柱C的体积。
这与棱柱C是体积最大的矛盾。
所以棱柱C必是直棱柱。
然后证明棱柱C是正棱柱。
仍用反证法。
假设棱柱C的底面n边形P不是正n边形,将它的底面改成一个与其等面积的正n边形Q,由等周定理,知正n边形Q的周长比n边形P的周长小。
作一个正棱柱B,其表面积为s,底为正n边形Q,则棱柱B与棱柱C的侧面积相等,于是正棱柱B的高大于棱柱C的高,故正棱柱B的体积大于棱柱C的体积,这与棱柱C是体积最大的矛盾,所以棱柱C必是正棱柱。
综上所述,表面积为定值体积最大的n棱柱是正n棱柱。
1.2表面积为定值体积最大的有盖n棱柱的大小
设表面积为定值s,体积最大的n棱柱是正n棱柱C,其底面边长为a,高为h,体积为v。
由底面积
=k1a2,
=
=k2a2h
因为
2k1a2=
2k1a2,
而
(其中k1,k2,k3均为大于0的常数),
故当
=2k1a2,即
时,正n棱柱C的体积最大。
也就是说,表面积为定值s体积最大的有盖正n棱柱C,其底面积为
,侧面积为
,即侧面积是底面积的4倍。
1.3表面积为定值体积最大的有盖圆柱的大小
设该圆柱的表面积为定值s,底半径为r,高为h,则体积为
,
。
由算术-几何平均值不等式,得
=
,
当且仅当
,即h=2r时取等号,此时体积v最大。
由于
,得体积最大的圆柱的底面积
=
,侧面积为
,即侧面积是底面积的4倍。
1.4表面积为定值体积最大的有盖柱体
上述讨论表明,表面积为定值s,体积最大的正n棱柱C和圆柱D,其底面积相等,侧面积也相等,且侧面积是底面积的4倍。
由等周定理,知正n棱柱C的底面周长比圆柱D的底面周长大,故棱柱C的高比圆柱D的高小,所以棱柱C的体积比圆柱D的体积小。
由此说明,在表面积为定值的所有有盖柱体容器中,以其侧面积是底面积4倍的圆柱体积最大。
1.5表面积为定值体积最大的无盖柱体
对于表面积为定值s的无盖柱体,可用这样两个相同的柱体,沿无盖的一面拼成一个表面积是2s的有盖柱体。
有上述讨论可知,表面积是定值2s的有盖柱体,体积最大的n棱柱是底面积为
,侧面积为
的正n棱柱;同理,体积最大的圆柱也是底面积为
,侧面积为
的圆柱。
而在同为表面积为定值s体积最大的无盖n棱柱和无盖圆柱中,又以圆柱的体积大一些。
综上所述,在表面积为定值的所有无盖柱体容器中,以其侧面积是底面积2倍的圆柱体积最大。
2.体积为定值表面积最小的柱体
类似于“表面积为定值体积最大的n棱柱形状”的研究,可知体积为定值表面积最小的n棱柱是正n棱柱。
由于有盖的正n棱柱和圆柱的体积v与侧面积
、底面积
和表面积s有如下关系:
s=
+2
,而
(其中k是常数),因此,当柱体(正n棱柱和圆柱)的体积为定值时,由算术平均值-几何平均值不等式,可得柱体的表面积s有最小值,当且仅当
,即该柱体的侧面积是底面积4倍的时候,该柱体的表面积最小。
而且,在同为体积为定值表面积最小的有盖正n棱柱和有盖圆柱中,又以圆柱的表面积小一些。
因此,在体积为定值的所有有盖柱体容器中,以侧面积是底面积的4倍的圆柱其表面积为最小。
同样,在体积为定值的所有无盖柱体容器中,以侧面积是底面积的2倍的圆柱其表面积为最小。
二表面积一定体积最大的柱体容器的制作
用一已知的平面封闭图形P制作体积最大的柱体C,其问题本质在于将图形P借助于直尺圆规剪拼成柱体C的表面展开图。
为探讨方便,我们先给出“两个图形组成相等”的概念:
用尺规作图剪拼的方法,把两个平面图形中的一个剖分成有限个部分以后,将这些部分重新配置剪拼,组成另一个图形,那么这两个图形叫组成相等。
1.波尔约一盖尔文定理
显然,任意两个组成相等的平面图形面积相等。
自然,人们会想到它的逆命题:
任意两个面积相等的平面封闭图形组成相等。
由于平面封闭图形范围太宽泛,我们很容易举出一个逆命题不成立的反例:
面积相等的圆与正方形不能组成相等。
因为这实际上是已被人们证明了的三大几何作图不能问题之一——化圆为方。
但是,如果我们对平面图形进行一些限制,就可以得到一个非常著名的定理,这就是由匈牙利数学家W.F.波尔约(1832年)与德国数学爱好者盖尔文(1833年)几乎同时发现的一个命题——波尔约一盖尔文定理:
任意两个面积相等的多边形组成相等。
由于组成相等具有对称性(若图形A和B组成相等,则图形B和A也组成相等)和传递性(若图形A和B组成相等,图形B和C组成相等,则图形A和C也组成相等),因此波尔约一盖尔文定理的证明的关键在于能否使一个多边形与一个特殊的平面图形组成相等。
这里的特殊的平面图形有两种,即矩形和正方形,相应的有以下两个证明思路。
证明思路一:
先考虑几个辅助定理:
引理1:
任何三角形与一个矩形组成相等。
图1
略证假设AB是△ABC的最长边,如图1,移动标记数码相同的三角形,就得到△ABC与矩形ABFE组成相等。
引理2:
有公共底边且面积相等的两个平行四边形组成相等。
图2
略证:
假设AB是平行四边形ABCD与平行四边形ABFE的公共边,如图2,移动标记数码相同的三角形或平行四边形,就得到平行四边形ABCD与平行四边形ABFE
组成相等。
引理3:
面积相等的两个矩形组成相等。
图3
略证:
假设ABCD与EFGH是两个面积相等的矩形,如图3,AB是这两个矩形中AB、BC、EF、FG这四条边中的最长边,因为AB≥EH,所以可作EL等于AB,截取LK等于EF,则EFKL为平行四边形,于是平行四边形EFKL与矩形ABCD、矩形EFGH都是有一条等长的边的平行四边形,根据引理2,矩形ABCD与矩形EFGH组成相等。
引理4:
任何多边形与一个矩形组成相等。
图4
略证:
任何多边形可以剖分为有限个三角形,用数码1、2、3、…来表示;选定任意一条线段AB,在AB的两个端点上作两条垂线。
如图4,据引理3,不难作出一些矩形,也用数码1、2、3、…来表示,这些数码相同的三角形和矩形的面积分别相等。
波尔约一盖尔文定理:
两个面积相等的多边形组成相等。
证明:
根据引理4,两个多边形中的每一个和一个矩形组成相等,因而得到面积相等的两个矩形,因此它们组成相等。
由组成相等的对称性和传递性,可得最初面积相等的两个多边形组成相等。
思路二:
该思路的核心是证明:
“任意一个多边形与其面积相等的正方形组成相等。
”证明步骤是:
图1
(1)将一个三角形割补重拼为一个矩形(如图5);
图5
(2)将一个矩形经过尺规作图割补重拼为一个正方形。
如图6,设矩形的两边长分别为a、b,用尺规作出线段
,再作出边长为
的正方形,然后将三角形P1,P2分别平移到P1/,P2/,于是原矩形变形为与之面积相等的正方形。
图6
(3)两个正方形割补重拼为一个正方形(如图7)。
依此,把若干个正方形割补重拼为一个正方形。
图7
(4)任意一个多边形可分割成若干个不重叠的三角形,每个三角形均可以割补重拼为一个正方形,再将这些正方形割补重拼为一个正方形。
由此可知,任意一个多边形与其面积相等的正方形组成相等。
当多边形P1与多边形P2面积相等时,由上述结论,可知多边形P1与正方形Q1组成相等,多边形P2与正方形Q2组成相等,而多边形P1与P2面积相等,所以正方形Q1与Q2全等。
这样,可先将多边形P1割补重拼为正方形Q1(即Q2),再将多边形P2割补重拼为正方形Q2的过程逆过来,即由正方形Q2割补重拼为多边形P2,这就证明了“任意两个面积相等的多边形组成相等。
”
2.最大体积的柱体的制作
图8
上述讨论表明,给定一块面积为s的多边形材料,用尺规一定可以制成一个体积最大的n棱柱。
对于一般情况,具体制作过程是:
先将原多边形面积三等分,取其中的一份,制成一个(无盖的)或两个(有盖的)正n边形作为底,再用剩下的两份制成一边长为底面周长的矩形,将它作为侧面,最后折合制成表面积为s的一个体积最大的正n棱柱。
当然,对于给定的特殊的多边形,制作时应具体问题具体分析。
例如,要用一块两边长分别为6与8的矩形,制成一个体积最大的无盖长方体。
如图8,先作出面积为16即边长为4的正方形作为底,再作出4个边长分别为2和4的矩形作为侧面,折合便得体积最大的长方体。
但是,要用给定的面积为s的多边形材料,仅借助尺规制成一个体积最大的圆柱,这是不可能做到的。
因为这相当于用面积为
的多边形制成一个正方形,然后用这个正方形制成一个面积为
的圆,这是上文中提到的“化圆为方”,用尺规作图是不能实现的。
当然,如果要用一平面封闭图形制成一个体积最大的无盖(或有盖)圆柱,原先给定的材料要有特别的限制。
比如,这一平面封闭图形能割出一个(或两个相等的)圆,剩下的是一个多边形,而且这一个圆的面积(或两个圆的总面积)是多边形面积的一半,这时可以制成一个体积最大的无盖(或有盖)圆柱。
除此之外,从尺规作图制作的角度来看,制成体积最大的无盖(或有盖)圆柱一般是不可能的。
三体积一定的“最好”的有盖圆柱形桶的制作
问题:
制作一个体积一定的某种圆柱形的桶(有盖),若不考虑卷边的宽度和原材料的损耗,那么最好的圆桶应当怎样设计?
分析:
首先应当弄清:
什么样的圆柱形的桶才算最好?
圆柱形桶最优化的标准是什么?
由于考虑问题的角度不同,达到优化的标准就不同,限于中学生的知识水平,我们不可能提出一个全面的、综合的最优方案,但可以利用现有知识去解决局部的、某一方面的最优问题。
思考:
如下几种方案。
方案1:
最好的圆桶应当具有最小的表面积,即制作时所需的原材料最少,使得成本费最少;
方案2:
最好的圆桶应当具有最短的接缝,即接缝处需要卷边或压边,接缝长度减小会使得工时费用降低;
方案3:
有时桶底和桶壁材料费用不同,这时最好的圆桶应当使桶底和桶壁材料费用总和最小;
方案4:
最好的圆桶应当比较美观,即圆桶的底面直径与高的比在
范围内,比值接近黄金分割数尤佳。
方案5:
最好的圆桶壁不易弯曲。
解决:
设圆桶的底面半径为x,高为y,体积为V,表面积为S,接缝总长度为l。
考虑方案3的设计。
方案3:
因为体积V为定值,要求出材料的总费用最少,需列出费用关于底半径的函数关系式。
设桶底材料费用为m元/平方单位,桶壁的材料费用为n元/平方单位,总费用为W元,则
.
当且仅当
,即
时取等号,此时
,
所以当圆桶的底面直径为
,而且圆桶的高是底面直径的
倍时,原材料总费用最少。
同理,对于方案1,如果圆桶体积是定值,当圆桶的高等于底面直径时,则其表面积最小,即制作时所需的原材料最少,使得成本费最少。
事实上,方案1是方案3当m=n时的特殊情形。
思考:
解决方案2。
答案:
当圆桶的高是底面直径的
倍时,接缝最短(工时费用最少)。
实例:
以易拉罐为例。
由于易拉罐上底的强度必须要大一点,因而在制造上其厚度比罐的其他部分要厚,一般是三倍左右。
用解决方案3的方法,可知当罐高为底面直径2倍的时候,饮料罐制造用材最省。
不妨拿起可口可乐、百事可乐、健力宝等饮料罐头测量一下,你会发现高和直径的比几乎与上述计算完全一致。
问题延伸:
(1)能否有一种方案尽可能地兼顾上述三种方案呢?
即能否设计一种方案使制作一个圆桶的成本费及工时费总和最少?
(2)如果圆桶表面积一定,如何设计才能使其体积最大?
(3)如果把已知条件的圆柱形改为圆台形、圆锥形,结论又将如何?
四“最优柱体容器及其制作”教学设计
在中学开展数学建模活动,关键在于问题的选择。
问题应力求与日常生活和其他学科的联系,具有实际背景,以体现实践性,同时问题解决应充分体现探索性。
而在日常生活中,我们见到了许多有盖或无盖的柱体容器(比如饮料罐等),这自然会促使我们思考,在满足某种要求之下,遵循某种标准,如何使得该柱体容器最优?
近年来,在新课程数学教材、课堂教学和高考试题中,经常看到有关柱形容器的制作问题,比如,北师大版教材七年级上册“课题学习——制成一个尽可能大的无盖长方体”、2000年首届全国高中青年数学教师优秀观摩与评比活动中北京五中李颖老师开的《不等式的应用》,以及2002年全国高考(文)第22题,2002年北京春季高考应用型选择题等等,都涉及到柱体的优化与制作问题。
为此,有关柱体容器的优化设计,是中学开展数学建模教学活动的一个合适的案例(或素材)。
1.制作容积最大的无盖长方体(适合初中)
(1)提出问题:
1用一张边长为a的正方形纸板,怎样才能制成一个无盖的长方体?
2怎样才能使制成的无盖长方体的容积最大?
(2)小组讨论:
四人一组,讨论第①个问题。
小组成员议议,剪剪,折折。
(3)全班交流:
各小组把制作的结果与想法在全班交流,汇总之后得出结论:
正方形每个角要剪去一个小正方形,这些小正方形边长相等,否则折出的图形就不是长方体;所折的长方体的高等于剪掉的小正方形的边长,底面是一个正方形;剪掉的四个小正方形没有用,白白浪费。
(4)小组讨论
怎样才能使制成的无盖长方体的体积最大?
先要求学生量量所准备的正方形纸板的边长(a=20cm),让学生剪去不同大小的小正方形,比如,剪去的小正方形的边长依次为1cm,2cm,…,9cm,研究所折成的长方体体积如何变化?
要求做好统计表,并在小组交流。
(5)全班交流
各小组递交统计表(如下),提出看法。
表1-无盖长方体体积与小正方形边长关系表
小正方形边长b
1
2
3
4
5
6
7
8
9
长方体体积v=b(a-2b)2
324
512
588
576
500
384
252
128
36
小组1:
小正方形边长改变时,制成的长方体容积也会改变。
小组2:
当小正方形边长从1增加到3时,长方体体积由324增加到588;当小正方形边长再增加时,长方体体积开始减少。
小组3:
当小正方形边长为3时,长方体体积最大。
小组4:
小正方形边长为3时,长方体体积不一定最大。
其他小组也提出自己的看法。
(6)小组探索
剪去的小正方形边长按0.5cm的间距取值,折成的无盖长方体的体积将如何变化?
请制作统计表(可使用计算器)。
(7)全班交流
各小组递交如下统计表2,并发表看法。
表2-无盖长方体体积与小正方形边长关系表
小正方形边长b
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
长方体体积v=b(a-2b)2
324
433.5
512
562.5
588
591.5
576
544.5
小组1:
当小正方形边长为3.5cm时,制成的长方体体积最大。
小组2:
小正方形边长为3.5cm时,制成的长方体体积不一定最大。
当小正方形边长从1增加到3时,长方体体积由324增加到588;当小正方形边长再增加时,长方体体积开始减少。
小组3:
当小正方形边长取3.0~3.5cm间某个数时,制成的长方体体积可能最大。
小组4:
小正方形边长按0.5cm间隔从1.0到3.5cm时,长方体体积由324增加到591.5,小正方形边长再往后面取值时,长方体体积变小了。
教师:
如何进一步确定小正方形的边长,使制成的长方体体积最大呢?
我们可以将小正方形的边长按0.1cm的间隔取值,计算看看有什么发现?
你能进一步作出猜想吗?
这个问题留待学生课后思考。
点评:
给学生提供富有挑战性的问题环境,让学生在动手实践、自主探索、合作交流中进行学习,使学生掌握数学研究的方法,促进学生发展。
2.表面积为定值体积最大的柱体及其制作(适合高中)
(1)提出问题
用一张边长为2a的正方形纸板,怎样制成一个体积最大的无盖长方体?
(2)小组讨论,得到初步方案
问题1:
根据能够制成一个体积无盖长方体的要求,应该如何制作?
方案1:
将正方形每个角剪去一个边长相等的小正方形。
问题2:
该方案折成的无盖长方体体积v取决于什么量?
小正方形的边长。
设小正方形的边长为x,则v(x)=x(2a-2x)2(0 问题3: 如何求函数v(x)的最大值? 法1: 求导,当 ,即 时,v(x)最大。 法2: 利用算术-几何平均值不等式。 由 v(x)=x(2a-2x)2= , 当且仅当4x=2a-2x,即 时取等号。 所以,当 时,v(x)最大。 (3)问题拓广,考虑长方形纸板 问题4: 怎样将一张长2a、宽2b的矩形纸板制成一只体积最大的无盖长方体纸盒呢? 参照上述方案,设正方形每个角都剪掉边长为x的四个小正方形,则 v(x)=x(2a-2x)(2b-2x),运用导数求得最大值点。 (4)改进方案,解决具体问题 方案1具有明显的缺陷,那就是四个角的小正方形白白浪费了。 能否不浪费材料制作体积最大的无盖长方体呢? 先来解决一个具体问题。 问题5: 如何用一张长8、宽6的长方形纸板制作一个体积最大无盖长方体纸盒? 分析: 要制作一个表面积为48而体积最大的无盖长方体纸盒,首先必须知道这个体积最大的无盖长方体三边的长。 解: 设制成的无盖长方体三边的长分别为x,y,z,体积为v,由于其表面积等于已知长方形的面积,故得48=xy+2yz+2zx,由算术-几何平均值不等式,得 由上式得v≤32,当且仅当xy=2yz=2zx,即x=y=2z=4时,体积v最大,最大体积为32。 问题6: 如何将原长方形制成体积最大的无盖长方体? 也就是,将长8、宽6的长方形割成4个长4、宽2的长方形和一个边长为4的正方形。 而这是很容易做到的。 (5)高考题链接一 问题7: (2002年北京春季高考题)用一块钢板制作一个容积为4m3的无盖长方体水箱,可用的长方形钢板有四种不同的规格,若既要够用,又要所剩最少,则应选择的钢板规格(单位均为m)是() A.2×5B.2×5.5C.2×6.1D.3×5 分析: 首先要知道容积为4m3的无盖长方体水箱表面积最少是多少? 解: 设长方体水箱的长、宽、高分别为am,bm,cm,则abc=4. 于是 , 当且仅当 ,即 =2时取等号。 图9 然后考虑能否由2×6.1的长方形钢板制成三边分别为2、2、1的无盖长方体。 最终得到图纸设计如图9。 故选(C) (6)高考题链接二 问题8: (2002年全国高考(文)第22题)(I)给出两块相同的正三角形纸片,要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型,另一块剪拼成一个正三棱柱模型,使它们的全面积都与原三角形的面积相等,请设计一种剪拼方法,并作简要说明; 图10 ( )求出( )中正三棱锥模型和正三棱柱模型的体积, 并比较大小。 (III)如果给出的是一块任意三角形的纸片,要求剪拼成一个直三棱柱模型,使它的全面积与原三角形的面积相等,请设计一种剪拼方法,并作简要说明. 问题9: 问题8( )中正三棱锥模型和正三棱柱模型体积最大是多少? 哪个更大点? 图11 问题10: 问题8( )中,若一个直三棱柱模型的表面积为s,那么体积最大的这样的直三棱柱模型其形状如何? 大小又如何? 问题10极富挑战性,需要拓展一些数学知识,如借助等周定理来解决。 (7)延伸与思考 问题11: 表面积为定值s,体积最大的有盖(或无盖)的正 棱柱的底面积是多少? 问题12: 表面积为定值s,体积最大的有盖(或无盖)的圆柱的底面积是多少? 问题13: 表面积为定值s,体积最大的有盖(或无盖)的正 棱柱和体积最大的有盖(或无盖)的圆柱的体积比较,哪个更大? (8)有关体积最大的无盖长方体容器的制作问题 将问题5一般化,得到: 问题14: 在不浪费材料的情况下,如何用一张长2a、宽2b的长方形纸板制作一个体积最大无盖长方体纸盒? 问题解决: 参照问题5,首先求得体积最大的无盖长方体的三边长分别为 。 然后思考: 如何将长2a、宽2b的长方形割补重组成4个两边长分别为 和 的矩形和一个边长为 的正方形呢? 这样的制作对一般的情况是否都可实施? (9)课后查找有关“波尔约一盖尔文定理”的资料 课后查找资料,了解“波尔约一盖尔文定理”: 任意两个面积相等的多边形都可以通过有限次的割补将一个重拼成另一个。 从而解决问题14。 评注: 该案例根据不同阶段学生的知识水平进行设计,使学生经历从具体到抽象、从特殊到一般,并进而将问题拓广的数学研究过程,是一个体现课内外结合开展数学建模活动的合适的教学案例。 参考文献: [1]张广祥著,数学中的问题探究[M],上海: 华东师范大学出版社,2003。 [2]卜月华主编,中学数学建模教与学[M],南京: 东南大学出版社,2002。
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