三角形面积的计算典型例题.docx
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三角形面积的计算典型例题
典型例题
☆例.冬冬家盖的新房中,有一面山墙的平面图形如下(单位:
米).如果砌这山墙每平方
米用红砖195块,则两面这样的山墙大约要红砖多少块?
分析:
山墙由一个三角形与一个长方形组成.根据三角形和长方形的面积计算公式,可求得
两面这样的山墙的面积,进而就可求得需要的红砖块数.
解:
(6.2×1.5÷2+6.2×3.6)×2
=(4.65+22.32)×2
=53.94(平方米)………………两面山墙面积
195×53.94≈10519(块)………两面山墙的红砖块数
答:
大约需要红砖10519块.
注:
算得的红砖块数10518.3块一般不用四舍五入法得10518块,而用“直一法”(或“收
尾法”)得10519块.
典型例题
☆☆例.如图所示,三角形ABC是一等腰直角三角形,D是AB的中点,DE⊥BC,AB=12
厘米.求三角形DEC的面积.
分析1:
△DEC的面积=△DBC的面积-△DBE的面积,而D是AB的中点,所以△DBC
与△DAC等底、等高,故有△DBC的面积=△DAC的面积=
△ABC的面积=
(AB×AC÷2)=
(12×12÷2)=36(平方厘米).现在的关键是要求出△DBE的面积.
因为∠BAC=∠BED=90°,AB=AC,故可求出∠B=45°,于是∠BDE=45°,所以BE=DE,而BD=
AB=6厘米.可以推出等腰直角三角形BDE的面积等于以BD为边长的正方形面积的四分之一,即△BDE的面积=
×BD×BD=
×6×6=9(平方厘米).由此可得△DEC的面积.
解法1:
因为D是AB的中点,所以△DBC的面积=
△ABC的面积=
(12×12÷2)=
36(平方厘米).
因为△ABC为等腰直角三角形,D是AB的中点,且DE⊥BC,所以△DBE也是等腰直角三角形.
△DBE的面积=
×BD×BD=
×6×6=9(平方厘米)
△DEC的面积=△DBC的面积-△DBE的面积=36-9=27(平方厘米)
答:
三角形DEC的面积是27平方厘米.
分析2:
要求△DEC的面积,就需要通过已知条件求出它的底和高.因为△ABC为等腰直
角三角形,AB=AC=12(厘米),∠BAC=90°,又D是AB的中点,DE⊥BC,,作出△ABC的高AH,可推出:
∠B=45°,∠BAH=45°,AH=BH,BH=CH,BE=DE,BE=EH.于是DE=BE=
BH=
BC=
AH.我们可运用等量代换的方法求得△DEC的面积.
解法2:
△DEC的面积=DE×EC÷2
=
h×(
BC)÷2=0.5h×0.75BC÷2
=0.5×0.75×(h×BC÷2)=0.5×0.75×(12×12÷2)
=27(平方厘米)
答:
三角形DEC的面积是27平方厘米.
典型例题
例.求下面图形阴影部分的面积.(单位:
厘米)
分析1:
已知两个直角三角形的一直角边都是25厘米,另一条直角边的和为60厘米,要直
接求出另一条直角边的长是不可能的,但若把一直角三角形的未知边看成
厘米,那么另一直角三角形的未知边就为(60-
)厘米.这样阴影部分的面积就可以求出来.你可能会说,怎么求?
算式中还含有未知数
,数学就是这么地奇妙.!
通过计算,
竟然奇迹般地消失了!
解法1:
设BE=
厘米,则CE=(60-
)厘米.
25×
÷2+25×(60-
)÷2
=25×
÷2+(25×60-25×
)÷2
=25×
÷2+25×60÷2-25×
÷2
=25×60÷2
=750(平方厘米)
答:
阴影部分的面积是750平方厘米.
分析2:
采用作辅助线法,也是添助法.连接AD.原图形增添了一个三角形,变成了一个
长方形.阴影部分的面积等于长方形的面积减去增添的三角形面积.
解法2:
60×25-60×25÷2
=1500-750
=750(平方厘米)
答:
阴影部分的面积是750平方厘米.
分析3:
由解法1和解法2,我们可以联想,这阴影部分的面积与E点在BC上的位置没有
关系,也就是说,不管E点在BC上的何处,这阴影部分的面积是不变的,如果小朋友能这样动脑筋,勤探索,我相信你的数学一定是很棒的!
若我们取BC上的一个特殊点,例如取中点M,连接AM,DM,显然BM=30(米),CM=30(米),于是三角形ABM与三角形DCM的面积可以求出来,而三角形AME与三角形DME同底(ME),等高(AB与DC),所以三角形AME的面积=三角形DME的面积.于是得出阴影部分的面积=三角形ABM的面积+三角形DCM的面积.问题得到圆满的解决.
解法3:
取BC的中点M,则BM=60÷2=30(米),CM=30(米),三角形ABM的面积=
30×25÷2=375(平方厘米),三角形DCM的面积=30×25÷2=375(平方厘米).
因为三角形AME与三角形DME同底(ME),等高(AB与DC),所以它们的面积相等.
于是可以得到
阴影部分的面积=三角形ABM的面积+三角形DCM的面积=375+375=750(平方厘米)
答:
阴影部分的面积是750平方厘米.
典型例题
☆☆例1.一个等腰直角三角形的斜边长是6分米,这个等腰直角三角形的面积是多少?
分析:
按常规方法,只有找出三角形的底和高才能求出三角形的面积,显然此种途径用小学
所学的数学知识是行不通的.我们可以把四个完全一样的等腰直角三角形拼成一个正方形(如图)
边长是6分米的正方形是一个等腰直角三角形面积的4倍.
解:
6×6÷4=9(平方分米)
答:
这个等腰直角三角形的面积是9平方分米.
☆☆例2.下图中
平方厘米,D、E、F分别是BC、AC、AD的中点,求
分析:
三角形ABD和三角形ADC是两个等底等高的三角形,所以它们的面积相等,三角形
ADC的面积占三角形ABC的一半,面积是24÷2=12平方厘米.在三角形ADC中,三角形ADE和三角形CDE等底等高,所以三角形ADE的面积占三角形ACD面积的一半,是12÷2=6平方厘米.在三角形ADE中,AEF和DEF是两个等底等高的三角形,它们的面积相等,所以三角形DEF的面积相当于三角形ADE的一半,即6÷2=3平方厘米.
解:
24÷2÷2÷2=3(平方厘米)
答:
三角形DEF的面积是3平方厘米.
典型例题
例1.一个三角形的底是18厘米,面积是126平方厘米,高是多少厘米?
分析:
两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形,三角形与拼成的平行四边形等底等
高.(如下图)先用三角形面积乘2,求出平行四边形面积,再用平行四边形面积除以底(18厘米),就是平行四边形的高,也就是三角形的高.
解:
126×2÷18=14(厘米)
答:
三角形的高是14厘米.
☆例2.如图,正方形ABCD,三角形
(1)的面积比三角形
(2)的面积大8平方厘米,
厘米,求DE的长.
分析:
正方形中包括梯形AOCD,三角形ADE中也包括梯形AOCD.三角形
(1)的面积比
三角形
(2)大8平方厘米,说明三角形ADE的面积比正方形ABCD的面积大8平方厘米.正方形面积是10×10=100(平方厘米),那么三角形ADE的面积就是100+8=108(平方厘米),已知三角形ADE的面积和高,就可以求出三角形的底(DE).
解:
10×10+8=108(平方厘米)
108×2÷10=21.6(厘米)
答:
DE的长为21.6厘米.
判断题
1.由三条边围成的图形叫做三角形.()
2.锐角三角形有三条高.()
3.直角三角形有两条高.()
4.钝角三角形有一条高.()
5.任何一个三角形都有三条高.()
6.等腰三角形有两条边相等,它的两个底角也相等.()
7.等边三角形一定是锐角三角形.()
8.从三角形一个顶点向它的对边只能画出一条垂线.()
9.两个面积相等的三角形,一定能拼成一个平行四边形.()
10.三角形的面积等于平行四边形面积的一半.()
参考答案
1.由三条边围成的图形叫做三角形.(×)
2.锐角三角形有三条高.(√)
3.直角三角形有两条高.(×)
4.钝角三角形有一条高.(×)
5.任何一个三角形都有三条高.(√)
6.等腰三角形有两条边相等,它的两个底角也相等.(√)
7.等边三角形一定是锐角三角形.(√)
8.从三角形一个顶点向它的对边只能画出一条垂线.(√)
9.两个面积相等的三角形,一定能拼成一个平行四边形.(×)
10.三角形的面积等于平行四边形面积的一半.(×)
填空题
1.三角形有()条边,()个角,它具有()性,这种特性在实践中有广泛的应用.
2.按角的不同情况可以把角分为()三角形,()三角形和()三角形这三类.
3.三角形还可以按边的情况分类.()的三角形叫做不等边三角形.()的三角形叫做等腰三角形,()的三角形叫做等边三角形,又叫().
4.等腰三角形的两个底角().等边三角形的三个角都().
5.等腰三角形是()的三角形,而()又是()的等腰三角形.
6.我们可以用()的方法,把三角形转化成()来计算它的面积.
7.根据三角形的底和高,算出每个三角形的面积,填在空格里.
底(厘米)
9
8.5
16
75
0.25
高(厘米)
7
6
12.5
40
0.4
面积(平方厘米)
参考答案
1.三角形有(3)条边,(3)个角,它具有(稳定)性,这种特性在实践中有广泛的应用.
2.按角的不同情况可以把角分为(钝角)三角形,(锐角)三角形和(直角)三角形这三类.
3.三角形还可以按边的情况分类.(三条边都不相等)的三角形叫做不等边三角形.(两条边相等)的三角形叫做等腰三角形,(三条边都相等)的三角形叫做等边三角形,又叫(正三角形).
4.等腰三角形的两个底角(相等).等边三角形的三个角都(相等).
5.等腰三角形是(特殊)的三角形,而(等边三角形)又是(特殊)的等腰三角形.
6.我们可以用(拼摆)的方法,把三角形转化成(平行四边形)来计算它的面积.
7.根据三角形的底和高,算出每个三角形的面积,填在空格里.
底(厘米)
9
8.5
16
75
0.25
高(厘米)
7
6
12.5
40
0.4
面积(平方厘米)
31.5
25.5
100
1500
0.05
应用题
1.一块三角形麦地,量得它的底是84米,高23.5米,求这块地的面积.
2.一块三角形水田,它的底长180米,高是底的1.05倍,这块水田的面积是多少?
3.一块三角形塑料板(如图).现在要用一块长104厘米、宽39厘米的长方形塑料板裁成这样的三角板,最多可以裁出多少块?
4.下图三角形的一条边长21厘米,高12厘米.它的另一条边长18厘米,这条边上的高是多少厘米?
参考答案
1.84×23.5÷2=987(平方米)
答:
这块地的面积是987平方米.
2.180×(180×1.05)÷2=17010(平方米)
答:
这块水田的面积是17010平方米.
3.(104×39)÷(13×13÷2)=48(块)
答:
最多可以裁出48块.
4.(21×12÷2)×2÷18=14(厘米)或21×12÷18=14(厘米)
答:
这条边上的高是14厘米.
提高题
1.计算下面图形中阴影部分的面积.
2.计算下面图形中阴影部分的面积.
参考答案
1.8×6÷2×2=48(平方米)
6×4÷2×2=24(平方米)
48-24=24(平方米)
答:
阴影部分的面积是24平方米.
2.30×20÷2=300(平方厘米)
答:
阴影部分的面积是300平方厘米.
综合练习
一、填空
1.270平方厘米=()平方分米1.4公顷=()平方米
2.一个三角形的底是4分米,高是30厘米,面积是()平方分米.
3.一个三角形的高是7分米,底是8分米,和它等底等高的平行四边形的面积是()
平方分米.
4.一个三角形的面积是4.8平方米,与它等底等高的平行四边形的面积是()
5.一个三角形的面积比它等底等高的平行四边形的面积少12.5平方分米,平行四边形的
面积是()平方分米,三角形的面积是()平方分米.
6.一个三角形和一个平行四边形的面积相等,底也相等,如果三角形的高是10米,那么
平行四边形的高是()米;如果平行四边形的高是10米,那么三角形的高是()米.
二、判断题.
1.两个面积相等的三角形可以拼成一个平行四边形.()
2.等底等高的两个三角形,面积一定相等.()
3.三角形面积等于平行四边形面积的一半.()
4.三角形的底越长,面积就越大.()
5.三角形的底扩大2倍,高扩大3倍,面积就扩大6倍.()
三、根据三角形的已知条件和问题填表.
底(厘米)
6
4
高(厘米)
5
3
面积(平方厘米)
6
12.6
四、应用题.
1.一块三角形地,底长38米,高是27米,如果每平方米收小麦0.7千克,这块地可以
收小麦多少千克?
2.人民医院用一块长60米,宽0.8米的白布做成底和高都是0.4米的包扎三角巾,一共
可做多少块?
3.如图,一个三角形的底长5米,如果底延长1米,那么面积就增加1.5平方米.那么
原来三角形的面积是多少平方米?
参考答案
一、填空
1.270平方厘米=(2.7)平方分米1.4公顷=(14000)平方米
2.一个三角形的底是4分米,高是30厘米,面积是(6)平方分米.
3.一个三角形的高是7分米,底是8分米,和它等底等高的平行四边形的面积是(56)
平方分米.
4.一个三角形的面积是4.8平方米,与它等底等高的平行四边形的面积是(9.6平方米)
5.一个三角形的面积比它等底等高的平行四边形的面积少12.5平方分米,平行四边形的
面积是(25)平方分米,三角形的面积是(12.5)平方分米.
6.一个三角形和一个平行四边形的面积相等,底也相等,如果三角形的高是10米,那么
平行四边形的高是(5)米;如果平行四边形的高是10米,那么三角形的高是(20)米.
二、判断题.
1.两个面积相等的三角形可以拼成一个平行四边形.(×)
2.等底等高的两个三角形,面积一定相等.(√)
3.三角形面积等于平行四边形面积的一半.(×)
4.三角形的底越长,面积就越大.(×)
5.三角形的底扩大2倍,高扩大3倍,面积就扩大6倍.(√)
三、根据三角形的已知条件和问题填表.
底(厘米)
6
4
8.4
高(厘米)
5
3
3
面积(平方厘米)
15
6
12.6
四、应用题.
1.0.7×(38×27)=820.8(千克)
答:
这块地可以收小麦820.8千克.
2.(60×0.8)÷(0.4×0.4÷2)=600(块)
答:
一共可做600块.
3.1.5×(5÷1)=7.5(平方米)
答:
原来三角形的面积是7.5平方米.
计算题
计算下面每个图形的面积.(单位:
分米)
参考答案
1.20×24÷2=240(平方分米)
答:
面积是240平方分米.
2.14.5×8.6÷2=62.35(平方分米)
答:
面积是62.35平方分米.
3.17.2×6.5÷2=55.9(平方分米)
答:
面积是55.9平方分米.
4.2.3×1.7=3.91(平方分米)
答:
面积是3.91平方分米.
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