格与布尔代数.docx
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格与布尔代数
授课时间第十三周第1/2次课
授课章节
6.2环合域
任课教师
及职称
唐新华
讲师
教学方法
与手段
板书和电子课件结合
课时安排
2课时
使用教材和
主要参考书
1、教材:
耿素云等,离散数学,清华大学出版社,2008
2.参考书
左孝琳、李为槛、刘永才,离散数学(上海科技文献版)2006
教学与目的要求:
1、判别给定代数系统是否为环、交换环、含幺环、无零因子环、整环和域;
2、了解环的运算性质,能进行环中的运算;
3、能判别环的子集是否为子环;
4、能判别映射φ是环R1到R2的同态映射。
教学重点、难点:
重点:
环的定义及其运算规则、子环、交换环、含幺环、无零因子环、整环。
难点:
环的同态、整环和域
教学内容:
6.3格与布尔代数
一、本节主要内容
格的定义与实例
格的性质
对偶原理
交换律、结合律、幂等律、吸收律
格的等价定义
子格
格的同构
特殊的格:
分配格、有界格、有补格、布尔格
二、教学内容
格的定义
定义设是偏序集,如果∀x,y≼S,{x,y}都有
最小上界和最大下界,则称S关于偏序≼构成一个格。
由于最小上界和最大下界的惟一性,可以把求{x,y}
的最小上界和最大下界看成x与y的二元运算∨和
∧,即x∨y和x∧y分别表示x与y的最小上界和
最大下界.
注意:
这里出现的∨和∧符号只代表格中的运算,
而不再有其他的含义.
格的实例
例设n是正整数,Sn是n的正因子的集合.D为
整除关系,则偏序集
x∨y是lcm(x,y),即x与y的最小公倍数.x∧y
是gcd(x,y),即x与y的最大公约数.
下图给出了格
格的实例(续)
例判断下列偏序集是否构成格,并说明理由.
(1)
,其中P(B)是集合B的幂集.
(2)
(3)偏序集的哈斯图分别在下图给出.
格的性质:
对偶原理
定义设f是含有格中元素以及符号=,≼,≽,∨和∧的
命题.令f*是将f中的≼替换成≽,≽替换成≼,∨替换成
∧,∧替换成∨所得到的命题.称f*为f的对偶命题.
例如,在格中:
f是(a∨b)∧c≼c,f*是(a∧b)∨c≽c.
格的对偶原理:
设f是含格中元素以及符号=,≼,≽,∨
和∧等的命题.若f对一切格为真,则f的对偶命题
f*也对一切格为真.
例如,若对一切格L都有∀a,b∈L,a∧b≼a,那么对一
切格L都有∀a,b∈L,a∨b≽a
格的性质:
算律
定理设
合律、幂等律和吸收律,即
(1)∀a,b∈L有
a∨b=b∨a,a∧b=b∧a
(2)∀a,b,c∈L有
(a∨b)∨c=a∨(b∨c),
(a∧b)∧c=a∧(b∧c)
(3)∀a∈L有
a∨a=a,a∧a=a
(4)∀a,b∈L有
a∨(a∧b)=a,a∧(a∨b)=a
算律的证明
证
(1)交换律.
a∨b是{a,b}的最小上界
b∨a是{b,a}的最小上界
{a,b}={b,a}
⇒a∨b=b∨a.
由对偶原理,a∧b=b∧a得证.
算律的证明(续)
(2)结合律.由最小上界的定义有
(a∨b)∨c≽a∨b≽a(I)
(a∨b)∨c≽a∨b≽b(II)
(a∨b)∨c≽c(III)
由式(II)和(III)有
(a∨b)∨c≽b∨c(IV)
由式(I)和(IV)有(a∨b)∨c≽a∨(b∨c).同理可证
(a∨b)∨c≼a∨(b∨c).根据偏序的反对称性得到
(a∨b)∨c=a∨(b∨c).由对偶原理,(a∧b)∧c=
a∧(b∧c)得证.
算律的证明(续)
(3)幂等律.显然a≼a∨a,又由a≼a得a∨a≼a.
由反对称性a∨a=a.用对偶原理,a∧a=a得证.
(4)吸收律.显然有
a∨(a∧b)≽a(V)
由a≼a,a∧b≼a可得
a∨(a∧b)≼a(VI)
由式(V)和(VI)可得a∨(a∧b)=a
根据对偶原理,a∧(a∨b)=a得证.
格作为代数系统的定义
定理设是具有两个二元运算的代数系统,
若对于∗和ο运算适合交换律、结合律、吸收律,则
可以适当定义S中的偏序≼,使得构成格,且
∀a,b∈S有a∧b=a∗b,a∨b=a∘b.
根据定理,可以给出格的另一个等价定义.
定义设是代数系统,∗和∘是二元运算,如果
∗和∘运算满足交换律、结合律和吸收律,则
构成格.
子格的定义及判别
定义设
关于L中运算∧和∨仍构成格,则称S是L的子格.
例设格L如图所示.令
S1={a,e,f,g},
S2={a,b,e,g}
S1不是L的子格,
S2是L的子格.因为对于
e,f∈S1,e∧f∉S1.
格同态
定义设L1和L2是格,f:
L1→L2,若∀a,b∈L1有
f(a∧b)=f(a)∧f(b),
f(a∨b)=f(a)∨f(b)
成立,则称f为格L1到L2的同态映射,简称格同态.
分配格定义
定义设
a∧(b∨c)=(a∧b)∨(a∧c)
a∨(b∧c)=(a∨b)∧(a∨c)
则称L为分配格.
注意:
以上条件互为充分必要条件
这两个等式中只要有一条成立,另一条一定成立.
在证明L为分配格时,只须证明其中的一个等式即可.
分配格的定义(续)
分配格的判定及其性质
定理设L是格,则L是分配格当且仅当L不含有
与钻石格或五角格同构的子格.
证明省略.
定理格L是分配格当且仅当∀a,b,c∈L,
a∧b=a∧c且a∨b=a∨c⇒b=c.
推论
(1)小于五元的格都是分配格.
(2)任何一条链都是分配格.
分配格的判定(续)
解L1,L2和L3都不是分配格.
{a,b,c,d,e}是L1的子格,并且同构于钻石格;
{a,b,c,e,f}是L2的子格,并且同构于五角格;
{a,c,b,e,f}是L3的子格,也同构于钻石格.
全上界与全下界
定义设L是格,
若存在a∈L使得∀x∈L有a≼x,则称a为L的全
下界;
若存在b∈L使得∀x∈L有x≼b,则称b为L的全
上界.
说明:
格L若存在全下界或全上界,一定是惟一的.
一般将格L的全下界记为0,全上界记为1.
有界格定义及其性质
定义设L是格,若L存在全下界和全上界,则称L为
有界格,全下界记为0,全上界记为1.有界格L记为
注意:
有限格L={a1,a2,…,an}是有界格,a1∧a2∧
…∧an是L的全下界,a1∨a2∨…∨an是全上界.0
是关于∧运算的零元,∨运算的单位元.1是关于∨
运算的零元,∧运算的单位元.
对于涉及有界格的命题,如果其中含有全下界0或全
上界1,求其对偶命题时,必须将0与1互换.
补元的定义
定义设
使得
a∧b=0和a∨b=1
成立,则称b是a的补元.
注意:
若b是a的补元,那么a也是b的补元.a和b
互为补元.
实例:
求补元
有界分配格中补元惟一性
定理设
存在补元,则存在惟一的补元.
证假设b,c是a的补元,则有
a∨c=1,a∧c=0,
a∨b=1,a∧b=0
从而得到a∨c=a∨b,a∧c=a∧b,由于L是分配格,
b=c.
有补格的定义
定义设
有补元存在,则称L为有补格.
例如,下图中的L2,L3和L4是有补格,L1不是有补格.
布尔代数的定义
定义
如果一个格是有补分配格,则称它为布尔格或布尔
代数.
在布尔代数中,如果一个元素存在补元,则是惟一
的.可以把求补元的运算看作是布尔代数中的一元
运算.布尔代数标记为,其中’为求补
运算
布尔代数的实例
例设S110={1,2,5,10,11,22,55,110}是110的正
因子集合.
gcd表示求最大公约数的运算
lcm表示求最小公倍数的运算.
则
布尔代数的等价定义
定义设是代数系统,∗和∘是二元运算.若∗
和∘运算满足交换律、结合律、幂等律、吸收律,即
(1)∀a,b∈B有a∗b=b∗a,a∘b=b∘a
(2)∀a,b,c∈B有
a∗(b∘c)=(a∗b)∘(a∗c), a∘(b∗c)=(a∘b)∗(a∘c)
(3)即存在0,1∈B,使得∀a∈B有a∗1=a,a∘0=a
(4)∀a∈B,存在a'∈B使得a∗a'=0,a∘a'=1
则称是一个布尔代数.
可以证明,布尔代数的两种定义是等价的.
布尔代数的性质
定理设是布尔代数,则
(1)∀a∈B,(a')'=a.
(2)∀a,b∈B,
(a∧b)'=a'∨b',(a∨b)'=a'∧b'(德摩根律)
注意:
德摩根律对有限个元素也是正确的.
证明
证
(1)(a')'是a'的补元.a是a'的补元.由补元惟一性得(a')'=a.
(2)对任意a,b∈B有
(a∧b)∨(a'∨b')=(a∨a'∨b')∧(b∨a'∨b')
=(1∨b')∧(a'∨1)=1∧1=1,
(a∧b)∧(a'∨b')=(a∧b∧a')∨(a∧b∧b')
=(0∧b)∨(a∧0)=0∨0=0.
所以a'∨b'是a∧b的补元,根据补元惟一性可得
(a∧b)'=a'∨b'.
同理可证(a∨b)'=a'∧b'.
有限布尔代数的表示定理
定理设L是有限布尔代数,则L含有2n个元素
(n∈N),且L与
同构,其中S是
一个n元集合.
结论:
含有2n个元素的布尔代数在同构意义下只有
一个.
复习思考题、作业题:
6.11121214
下次课预习要点:
习题和6.4例题分析
实施情况及教学效果分析:
院系部审核意见:
院系部负责人签字
年月日
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- 关 键 词:
- 布尔 代数
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