第九课时求两个数的最大公约数.docx

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第九课时求两个数的最大公约数

第九课时求两个数的最大公约数

教学内容：

P66-67页例1、2

教学目标：

1、知道并记住公约数、最大公约数、互质数的概念。

2、能正确判断两个数是否互质数。

3、理解求两个数最大公约数的算理，能用分解质因数的方法求出两个数的最大公约数。

4、会用短除法求两个数的最大公约数。

4、培养学生的抽象概括能力。

教学重点：

掌握求两个数的最大公约数的一般方法。

教学难点：

理解用短除法求两个数的最大公约数算理。

教学准备：

课件

教学过程：

一、复习

1、提问：

什么叫约数、质因数和分解质因数？

怎样求一个数的约数，怎样把一个合数分解质因数、

2、填空：

①12÷3=4，所以12能被4（）。

4能（）12，12是3的（），3是12的（）。

②把18和30分解质因数是18=（），它们公有的质因数是（）。

30=（），

③10的约数有（）。

二、新授

1、导入：

我们已经会求一个数的约数了，这节课我们学习怎样求两个数公有的约数。

2、教学例1

（1）出示例题：

8和12各有哪些约数？

它们公有的约数有哪几个？

最大的公有的约数是多少？

（2）找出8、12的约数来。

8的约数：

1248

12的约数：

1234612

（3）观察并回答。

①有无相同的约数？

各是几？

②1、2、4是8和12的什么？

③其中最大的一个是几？

知道叫什么吗？

（4）归纳并板书

①8和12公有的约数是：

1、2、4，其中最大的一个是4。

②还可以用下图来表示。

（演示）

813

24612

8和12的公约数

（5）抽象、概括。

你能说说什么是公约数、最大公约数吗？

几个数公有的约数，叫做这几个数的公约；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。

例如：

124是8和12的公约数；4是8和12的最大公约数。

（6）尝试练习。

P67页上面的“做一做”第1题。

把15和18的约数、公约数分别填在下面的圈里，再找出它们的最大公约数。

15的约数18的约数15和18的公约数

3、学习互质数的概念

（1）做P67页“做一做”第2题。

5和7的公约数是1，7和9的公约数是1。

（2）这两组数的公约数有什么特点？

（公约数只有1）

（3）出示概念：

公约数只有1的两个数，叫做互质数。

（4）学生讨论8和9是不是互质数，并说明理由。

（5）小结：

判断两个数是不是互质数，只要看这两个数的公约数是不是只有1。

（6）质数和互质数有什么不同？

（使学生明确：

质数和互质数意义不同，质数是对一个数说的，互质数是对两个数的关系说的，互质的两个数可以是质数，也可以是合数。

）

4、教学例2

（1）出示例2并说明：

我们通常用分解质因数的方法来求两个数的最大公约数。

（2）引导学生用短除法把18和30分解质因数，再把它们分别写成质因数相乘的形式。

（指名板演）18=2×3×330=2×3×5

（3）观察、分析。

①从18和30分解质因数的式子中，你能看出18和30各有哪些约数吗？

（使学生明确：

根据分解质因数的方法可以求一个数的约数）

②18和30的公约数就必须包含18和30公有的什么？

③18和30公有的质因数有哪些？

④18和30的公约数和最大公约数是哪些？

（1、2、3、6（2×3））

⑤最大公约数6是怎样得出来的？

根据学生汇报师生共同归纳：

18和30的公约数，要能整除18，又能整除30，就必须包含18和30公有的质因数。

最大公约数是公约数中最大的，它就必须包含18和30全部公有的质因数2和3。

2×3=6，所以18和30的最大公约数是6。

（4）归纳板书。

18和30的最大公约数6是这两个数全部公有质因数的乘积。

（5）求最大公约数的一般书写格式。

为了简便，我们把两个短除式合并成一个如：

1830

让学生分组讨论合并后该怎样做？

①每次用什么作除数去除？

②一直除到什么时候为止？

③再怎样做就可以求出最大公约数？

④为什么不把商也连乘进去？

（6）尝试练习。

P68页的“做一做”：

求12和20的最大公约数。

学生独立解答后点几名学生讲每步是怎样做的，最后集体订正。

（7）抽象概括求最大公约数的方法。

①谁能说说求最大公约数的方法。

②引导学生看P68页求两个数的最大公约数的方法。

三、巩固运用

1、填空：

（1）（）叫做这两个数的公约数，其中（）叫做这几个数的最大公约数。

（2）（）叫做互质数。

（3）求两个数的最大公约数，一般先用这两个数（）连续去除，一直除到所得的商是（）为止，然后把（）连乘起来。

2、P70页第1题。

直接在书上填空再说说做题思路。

3、P70页第2题。

4、判断对错，并说明判断根据（P70页第2题）。

3和5是互质数（）

6和8是互质数（）

1和6是互质数（）

11和44是互质数（）

14和15是互质数（）

四、小结：

五、作业

1、P70页第4题。

2、P71页第10题。

教学后记：

第十课时求两种特殊情况的最大公约数方法

教学内容：

P68页例3

教学目标：

1、知道两个数互质的几种特殊情况。

2、进一步掌握用短除法求两个数的最大公约数。

3、掌握两数有倍数关系或两数互质的求最大公约数的特殊方法。

4、提高学生根据实际情况灵活计算的能力。

教学重点：

掌握求两个数的最大公约数的方法。

教学难点：

能根据实际情况，用不同的方法求两个数的最大公约数。

教学准备：

课件

教学过程：

一、复习

１、什么是公约数？

什么是最大公约数？

什么是互质数？

２、把36、54分解质因数并找出它们的公有质因数，36、54的最大公约数是多少？

它和36、54的公有质因数有什么关系？

３、找出下面哪些数是质数？

哪两个数是互质数？

（P70页第5题）

238911

４、指出下面哪一组中的两个数是互质数？

2和76和91和815和167和2125和27

小结：

1、两个质数一定互质

2、1和任何自然数一定互质

3、相邻两个数一定互质

4、相邻两个奇数一定互质

二、新授

１、求36和54的最大公约数

（1）告诉学生：

求两个数最大公约数时，也可以用两个数的公约数去除。

如：

求36和54的最大公约数时，也可以用两个数的公约数来6或9去除，再看所得的商还有没有其他公有的质因数。

6365493654

369246

2323

36和54的最大公约数是6×3＝1836和54的最大公约数是9×2＝18

（2）和分解质因数进行比较

2、教学例3

（1）我们已经学会求两个数的最大公约数，这节课我们继续学习求这两种特殊情况的最大公约数（板书课题）

（2）出示例3：

求出下列几组数的最大公约数：

7和218和15

（3）学生独立完成。

（4）观察结果：

通过求这几组数的最大公约数，你发现了什么？

（5）归纳方法：

先让学生讲，再指导学生看P69页的结论。

如果较小数是较大数的约数，那么较小数就是这两个数的最大公约数。

如果两个数是互质数，它们的最大公约数就是1。

（6）尝试练习。

P69页的“做一做”。

3、数学小知识介绍，对学生进行爱国主义教育。

三、巩固运用

1、P70页第7题，学生独立观察看哪几组数是倍数关系，哪几组数是互质关系，再解答出来。

2、P70页第6题，先让学生独立作出判断后再让学生讲明判断的理由。

3、P71页第9题，学生口答集体订正。

四、小结

五、作业

1、P70页第8题。

2、P71页第11题。

3、有兴趣、有余力的同学可做P71页第12、13题和思考题。

教学后记：

第十一课时求两个数的最小公倍数

教学内容：

P72-73页例1、2

教学目标：

1、知道并记住公倍数、最小公倍数的概念。

2、理解求两个数最小公倍数的算理，会用短除法求两个数的最小公倍数。

3、培养学生的抽象概括能力。

教学重点：

掌握求两个数的最小公倍数的一般方法。

教学难点：

理解用短除法求两个数的最小公倍数的算理。

教学准备：

课件

教学过程：

一、复习

1、求下面每组数的最大公约数。

（口答）

3和86和913和2617和51

2、什么叫倍数？

一个数的倍数有什么特点？

二、新授

1、导入：

前面我们已研究过两个数的约数和最大公约数，现在我们来研究两个数的倍数。

2、教学例1。

（1）出示例1及画好的数轴。

（2）学生口述4和6的倍数，在数轴上动态演示。

（3）观察并回答。

①4和6公有的倍数是哪几个？

②其中最小的一个是多少？

有无最大的？

为什么？

（4）归纳并板书。

①4和6公有的倍数有：

12、24、36……

其中最小的一个是12。

②也可以用图来表示。

4的倍数6的倍数

48162012246830

………………

4和6的公倍数

（5）小结。

①什么是公倍数、最小公倍数？

（让学生说）

②指导学生理解公倍数、最小公倍数的概念。

几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。

例如：

12、24、36……这些数都是4和6的公倍数，12是4和6的最小公倍数。

（6）尝试练习：

P73页的“做一做”

先让学生分别填写出6和8的倍数，再让学生说：

两个圈交叉部分应该填什么数？

为什么不打省略号？

填好后集体订正。

3、教学例2。

（1）指出：

求两个数的最小公倍数，除了上面的找倍数法外，通常我们用分解质因数的方法来求几个数的最小公倍数。

（2）出示例2：

把18和30分解质因数，写出短除的竖式并指出它们公有的质因数是哪些？

218230

39315

35

18=2×3×3

30=2×3×5

（3）观察、分析。

①18（或30）的倍数必须包含哪些质因数？

（18的倍数必须包含18的所有质因数，30的倍数必须包含30的所有质因数）

②把18的所有质因数（2、3、3）和30的所有质因数（2、3、5）连乘起来，得到540。

观察讨论：

540是18的倍数吗？

是30的倍数吗？

③18和30的公倍数必须包含哪些质因数？

引导学生明确：

540既包含18的所有质因数，是18的倍数；又包含30的所有质因数，是30的倍数。

由此可得，18和30的公倍数既要包含18的所有质因数，又要包含30的所有质因数.

（4）归纳：

18和30的公倍数是18的倍数，必须包含18所有的质因数2、3、3，也必须包含30所有的质因数2、3、5，也就是说，必须同时包含18和30的全部质因数，而两个数里相同的质因数可以各取一个，所以18和30的最小倍数是只要包含它们全部公有质因数2、3及各自独有的质因数3、5就行了，它们的最小公倍数是2×3×3×5＝90。

（5）教学求最小公倍数的一般方法。

为了简便，我们通常用短除分解质因数的方法，写成下面的形式，求最小公倍数，如：

1830

让学生分组讨论写成这种形式后该怎样做。

①每次用什么作除数去除？

②一直除到什么时候为止？

③再怎样做就可以求出最小公倍数了？

让学生知道：

方法和求最大公约数一样，但要注意，最后要把所有的除数和最后的商都乘起来。

（6）尝试练习：

P74页上面的“做一做”，求30和45的最小公倍数。

学生解答后，点几名学生说说是怎样做的，然后集体订正。

（7）小结求最小公倍数的方法。

①谁能说说求最小公倍数的方法。

②指导学生看P74页求两个数的最小公倍数的方法。

求两个数的最小公倍数，先用这两个数公有的质因数连续去除（一般从最小的开始），一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数和最后的两个商连乘起来。

三、巩固运用

1、P76页第1题。

2、P76页第2题（第一行）

3、P76页第4题，先让学生也按要求去做，再回答谁做得对，谁做错了，错在什么地方？

四、小结

五、作业

P76页第2题（第二行）

P76页第3题。

教学后记：

第十二课时求两种特殊情况的最小公倍数方法

教学内容：

P74页例3

教学目标：

1、能正确判断两个数之间的关系（互质、倍数、一般）。

2、进一步掌握用短除法求两个数的最小公倍数。

3、知道成倍数关系的两个数的最小公倍数是较大数，互质的两个数的最小公倍数是它们的积。

4、提高学生根据实际情况灵活计算的能力。

教学重点：

掌握求两个数的最小公倍数的方法。

教学难点：

求两个数的最小公倍数时能正确判断两个数的相互关系，再用不同的方法求出它们的最小公倍数。

教学准备：

课件

教学过程：

一、复习

1、口算：

P76页第5题

做在书上，做完后集体修订正。

2、什么是公倍数？

什么是最小公倍数？

3、求24和32的最小公倍数。

4、说说下面每组中的两个数有什么关系？

12和364和58和110和5

二、新授

1、导入：

我们已经学会求两个数的最小公倍数，这节课我们将继续学习求特殊情况下两个数的最小公倍数。

（板书课题：

求特殊情况下两个数的最小公倍数）

2、教学例3。

（1）出示例3：

求12和36、4和5的最小公倍数。

（2）先让学生用上节课学的方法分别求出这两组数的最小公倍数。

（3）观察结果：

通过求这两组数的最小公倍数，你发现了什么？

（4）归纳方法：

先让学生讲，再指导学生填空。

如果较大数是较小数的倍数，那么（）就是这两个数的最小公倍数。

如果两个数是互质数，那么（）就是它们的最小公倍数。

（5）尝试练习：

P74页下面的“做一做”。

先让学生判断每组中两个数的关系，再解答出来集体订正。

三、巩固运用

1、P76页第6题，先让学生写，再让学生说，最后集体订正。

2、P76页第7题，先让学生观察每组中两个数的关系，再让学生正确、熟练地说出它们的最小公倍数，并订正。

3、P77页第9题。

先让学生独立判断，对的打√，错的打×，再讲打√或×的理由。

4、P77页第8题。

四、小结

求两个数的最小公倍数时，要先判断这两个数之间的相互关系，如果是倍数关系，较大数就是它们的最小公倍数；如果是互质关系，它们的积就是最小公倍数；既不是倍数关系，又不是互质关系，可以用短除法来求最小公倍数。

五、作业

P76页第10题。

教学后记：

第十三课时求三个数的最小公倍数

教学内容：

P75页例4

教学目标：

1、知道求三个数的最小公倍数与求两个数的最小公倍数的区别。

2、理解求三个数最小公倍数的算理，会用短除法求三个数的最小公倍数。

3、培养学生的抽象概括能力。

教学重点：

掌握求三个数的最小公倍数的一般方法。

教学难点：

1、理解用短除法求三个数的最小公倍数算理。

2、正确判断三个数是否每两个数都是互质数。

教学准备：

课件

教学过程：

一、复习

求下面各组数的最小公倍数。

（学生做完后，集体订正时，点几名学生说怎样求两个数的最小公倍数）

5和87和2812和16

二、新授

1、导入：

我们已经学会求两个数的最小公倍数，怎样求三个数的最小公倍数呢？

现在我们一起来学习。

（板书课题：

求三个数的最小公倍数）

2、教学例4。

（1）请同学们把8、12、和30分解质因数，并指出公有质因数是哪些？

（教师根据学生的回答板书如下）

8=2×2×2

12=2×2×3

30=2×3×5

（2）分组讨论。

①8、12、30的最小公倍数必须包含哪些质因数？

②如果先取这三个数公有质因数1个2，再取每两个数公有质因数1个2和1个3，最后取各自独有的质因数2和5，（2×2×2×3×5）这些质因数是否包含了8、12和30所有的质因数？

③8、12和30的最小公倍数是多少？

（3）归纳：

8、12和30的最小公倍数，必须包含这三个数全部公有的质因数（1个2）和每两个数公有的质因数（1个2和1个3）以及各自独有的（2和5），这些质因数积（2×2×2×3×5=120）就是8、12和30的最小公倍数。

（4）求三个数的最小公倍数的方法。

求三个数的最小公倍数与求两个数的最小公倍数的方法大同小异。

（板书短除式）

81230

①先用什么数作除数去除？

②再用什么数作除数去除？

（重点指导：

另一个数要移下来）

③一直除到什么时候为止？

④最后怎样做就可以求出三个数的最小公倍数？

（5）比较求三个数的最小公倍数与求两个数的最小公倍数有什么不同？

（先可让学生说，然后老师归纳）

相同点：

都是用短除的形式分解质因数，都是把所有的除数和商连乘起来。

不同点：

求两个数的最小公倍数时，除到两个商是互质数这止；而求三个数的最小公倍数时，要先用三个数公有的质因数去除，再用两个数的公有的质因数去除，一直除到三个商中每两个数都是互质数（两两互质）为止。

三、巩固运用

1、P75页的“做一做”。

2、P78页第13题。

3、P77页第11题（第一行）。

四、小结

五、作业

1、P77页第11题（第二行）。

2、P78页第14题。

教学后记：

第十四课时求几个数最小公倍数（练习）

教学内容：

教学目标：

1、使学生正确、熟练地求几个数的最小公倍数。

2、知道能用大数翻倍的方法求几个数的最小公倍数。

2、根据数的特点，灵活地求几个数的最小公倍数。

3、培养学生解决实际问题的能力。

教学重点：

掌握求几个数的最小公倍数的一般方法。

教学难点：

选择正确的方法求几个数的最小公倍数。

教学准备：

课件

教学过程：

一、复习求两个数的最小公倍数。

１、求下面每组数的最小公倍数

8和2413和3972和18

5和127和93和11

小结：

两数成“倍数关系”、两数成“互质关系”时最小公倍数的求法。

２、求下面每组数的最小公倍数

6和154和109和218和12

（1）先让学生练习，指名回答

（2）这4组数不像上面那样具有特殊关系，可以通过短除法来求出，如果要我们采用口算的方法，能不能根据刚才的结果与这两个数间的关系，找出一种比较简洁又易行的方法呢？

（3）介绍“大数翻倍法”。

求几个数的最小公倍数时，如果数比较小，可以将较大数扩大倍数，直到扩大得到的数是另一个数的倍数时，得到的这个数就是这两数的最小公倍数。

（4）利用这个规律练习：

10和2512和186和1820和30

（5）如果数较大，我们一时口算不出，就要借助短除法来进行。

3、小结：

谁能说说求两个数的最小公倍数有几种情况，其方法分别是怎样的？

二、复习求三个数的最小公倍数。

1、求下面每组数的最小公倍数

8、24和6012、16和18

（1）学生独立练习

（2）评讲：

提出注意点，最后三个商要两两互质。

（3）求三个数的最小公倍数与求两个数的最小公倍数有什么不同？

2、求下面每组数的最小公倍数

2、5和92、4和63、9和185、6和30

（1）如果给你的三个数已经是两两互质了，那么这三个数的最小公倍数就是什么？

（2）有时，我们会遇到一些比较小的数，而且这三个数之间也存在一定的关系，为了节省时间，我们同样可以根据特殊关系，直接口算出它们的最小公倍数，想试试看吗？

（3）四人小组合作，求出四组数的最小公倍数。

（不用短除法）

（4）小组汇报。

2、5和9两两互质，最小公倍数就是它们的积；

3、9和18中18既是3的倍数，又是9的倍数，最小公倍数是18；

5、6和30中30既是5的倍数，又是6的倍数，最小公倍数是30；

2、4和6可以采用大数翻倍的方法来求最小公倍数，最小公倍数是12。

三、综合练习

1、P78页第18题。

（口答）

注意解题的灵活性。

2、P78页第17题。

（小组合作）

3、P77页第12题。

（判断对错并说明理由）

4、P77页第10题。

（求两个数的最大公约数）

四、小结

五、作业

1、P78页第19题，

2、P79页第20题。

教学后记：

第十五课时最大公约数和最小公倍数的比较

教学内容：

P80页例5

教学目标：

1、知道求两个数最大公约数和最小公倍数的相同点和不同点。

2、能用一个短除式求出两个数的最大公约数和最小公倍数。

3、培养学生的抽象概括能力。

教学重点：

比较求两个数的最大公约数和最小公倍数的相同点和不同点。

教学难点：

区分两个数的最大公约数和最小公倍数的计算方法的不同点。

教学准备：

课件

教学过程：

一、复习

1、下面的数，哪些能被2整除？

哪些能被3整除？

哪些能被5整除？

（P81页第1题）

复习能被2、5、3整除的数的特征。

2、导入：

求两个数的最大公约数和最小公倍数都可以用分解质因数法，但它们的方法不完全一样，这节课我们就来学习“最大公约数和最小公倍数的比较”。

板书：

最大公约数、最小公倍数的比较

二、新授

1、教学例5。

（1）出示例5（点2名学生在黑板上做，其余的学生做在练习本上）：

2284222842

71467146

2323

28和42的最大公约数是2×7=14。

42和28的最小公倍数是2×7×2×3=84。

（2）小组合作，比较求两个数的最大公约数和最小公倍数的异同，并完成下表。

求两个数的最大公约数

求两个数的最小公倍数

相同点

用短除的形式进行分解，直到两个商是互质数为止。

同左

不同点

把所有的除数乘起来。

把所有的除数和最后的商乘起来。

（3）为什么它们在计算时不相同？

使学生明确：

①因为两个数最大公约数只包含这两个数全部公有质因数，所以只把这两个数全部公有质因数连乘起来，也就是把所有的除数乘起来，就得到它们的最大公约数。

②而两个数的最小公倍数不仅包含这两个数全部公有的质因数，还包含它们各自独有的质因数，所以要把这两个数全部公有的质因数以及各自独有的质因数连乘起来，也就是把所有的除数和商乘起来，就得到它们的最小公倍数。

（4）尝试练习。

做教材第80页的“做一做”，然后点几名学生说一说是怎样做的。

三、巩固运用。

1、用一个短除求出下列各组数的最大公约数和最小公倍数。

36和4050和1518和45

2、小结：

求两个数的最大公约数和最小公倍数可以共用一个短除式，在计算时最大公约数时只把除数相乘，在计算最小公倍数是，不仅要把除数相乘，还要乘上最后的商。

3、P82页第2题。

求出各组数的最大公约数和最小公倍数。

3和54和610和168和76和109和159和277和217和12

先引导学生从上面的数中选出分别符合下列条件的几组数，

（1）较大数是较小数倍数的：

（2）两个数是互质数的：

（3）两个数既不互质，较大数又不是较小数倍数的：

4、完成下表。

（学生合作完成）

两数关系

最大公约数

最小公倍数

互质关系

是1

是两数的乘积

倍数关系

较小数就是这两个数的最大公约数。

较大数就是这两个数的最小公倍数。

一般关系（也就是两个数还有除1以外的公约数）

用短除法分解质因数。

把所有除数连乘，积是这两个数的最大公约数

用短除法分解质因数，把所有的除数和