五升六行程问题答案.docx
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五升六行程问题答案.docx
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五升六行程问题答案
第一讲:
相遇问题
例1.南京到上海的水路长392千米,同时从两港各开出一艘轮船相对而行,从南京开出的船每小时行28千米,从上海开出的船每小时行21千米,经过几小时两船相遇?
解:
392÷(28+21)=8(小时)
答:
经过8小时两船相遇。
例2.李和小刘在周长为400米的环形跑道上跑步,小李每秒钟跑5米,小刘每秒钟跑3米,他们从同一地点同时出发,反向而跑,那么,二人从出发到第二次相遇需多长时间?
解:
相遇时间=(400×2)÷(5+3)=100(秒)
答:
二人从出发到第二次相遇需100秒时间。
例3.甲乙二人分别从A出、B两地发相向而行,第一次相遇地点为C点,距离两地中点500米处,然后各自到达目的地后返回再次相遇的地点D距离B地300米,求AB两地的距离。
解:
500×2=1000.1000×3=3000,300+3000+300=3600
答:
两地距离是3600米。
例4.甲乙二人上午8点分别开车从A、B两地出发,相向而行,10点时两人相距160千米,11点时两人相距40千米,问两人是在几点的时候相遇的?
解:
160-40=120,40÷120×60=20(分钟)所以是11:
20
例5.如图,甲、乙两辆汽车在周长为360米的圆形道上行驶,甲车每分钟行驶20米.它们分别从相距90米的A,B两点同时出发,背向而行,相遇后乙车立即返回,甲车不改变方向,当乙车到达B点时,甲车经过B点后恰好又回到A点.此时甲车立即调头前进,乙车经过B点继续行驶.请问:
再过多少分钟甲车与乙车再次相遇?
3
解:
360÷2=180180÷20=9180-90=90甲速度适宜的2倍。
20÷2=1090÷(20+10)=3
例6.甲、乙、丙3辆车同时出发,甲、乙两车的速度分别为每小时60千米和48千米;有一辆迎面开来的卡车分别在他们出发后的6小时、7小时、8小时先后与甲、乙、丙3辆车相遇.求丙车的速度是多少?
解:
(60-48)×6=72车速=72-48=2472×7÷8=63.63-24=39
例7.两地间的路程为360km,甲车从A地出发开往B地,每小时行72km;甲车出发25分钟后,乙车从B地出发开往A地,每小时行使48km,两车相遇后,各自按原来速度继续行使,那么相遇以后,两车相距100km时,甲车从出发开始共行驶了多少小时?
解:
72÷60×25=30(千米)360-30=330(千米)
(330+100)÷(72+48)+25÷60=4
答:
甲车共行使了4h.
例题8.甲乙两地相距6千米,某人从甲地步行去乙地,前一半时间平均每分钟行80米,后一半时间平均每分钟步行70千米。
他走后一半路程用了多长时间?
解:
全程平均速度是(80+70)÷2=75米。
走完全程的时间是6000÷75=80分。
3000÷80=37.5分,80-37.5=42.5分
例题9.甲、乙两车分别从A,B两地同时出发相向而行,6小时后相遇在C点。
如果甲车速度不变,乙车每小时多行5千米,且两车还从A,B两地同时出发相向而行,则相遇地点距C点12千米;如果乙车速度不变,甲车速度每小时多行5千米,则相遇地点距C点16千米。
甲车原来每小时行多少千米?
解析:
设乙增加速度后,两车在D处相遇,所用时间为T小时。
甲增加速度后,两车在E处相遇。
由于这两种情况,两车的速度和相同,所以所用时间也相同。
于是,甲、乙不增加速度时,经T小时分别到达D、E。
DE=12+16=28(千米)。
由于甲或乙增加速度每小时5千米,两车在D或E相遇,所以用每小时5千米的速度,T小时走过28千米,从而T=28÷5=5.6小时,甲用6-5.6=0.4(小时),走过12千米,所以甲原来每小时行12÷0.4=30(千米)
例10.甲、乙二人分别从A、B两地同时出发相向而行,5小时后相遇在C点。
如果甲速度不变,乙每小时多行4千米,且甲、乙还从A、B两地同时出发相向而行,则相遇点D距C点l0千米;如果乙速度不变,甲每小时多行3千米,且甲、乙还从A、B两地同时出发相向而行,则相遇点E距C点5千米。
问:
甲原来的速度是每小时多少千米?
解析:
当乙每小时多行4千米时,5小时可以多行20千米,所以当两人相遇后继续向前走到5小时,甲可以走到C点,乙可以走到C点前面20千米。
而相遇点D距C点l0千米,因此两人各走了10千米,所以甲乙二人此时速度相等,即原来甲比乙每小时多行4千米。
同理可得,甲每小时多行3千米时,乙走5千米的时间甲可以走10千米,即甲的速度是乙的2倍。
(4+3)÷(2-1)+4=11(千米/小时),所以甲原来的速度是每小时11千米。
例11.A、B两地间有一座桥(桥的长度忽略不计),甲、乙二人分别从两地同时出发,3小时后在桥上相遇。
如果甲加快速度,每小时多走2千米,而乙提前0.5小时出发,则仍能恰在桥上相遇。
如果甲延迟0.5小时出发,乙每小时少走2千米,还会在桥上相遇。
则A、B两地相距多少千米?
解析:
因为每次相遇的地点都在桥上,所以在这三种情况中,甲每次走的路程都是一样的,同样乙每次走的路程也是一样的。
在第二种情况中,乙速度不变,所以乙到桥上的时间还是3小时,他提前了0.5小时,那么甲到桥上的时间是3-0.5=2.5小时。
甲每小时多走2千米,2.5小时就多走2×2.5=5千米,这5千米就是甲原来3-2.5=0.5小时走的,所以甲的速度是5÷0.5=10千米/时。
在第三种情况中,甲速度不变,所以甲到桥上的时间还是3小时,他延迟了0.5小时,那么乙到桥上的时间是3+0.5=3.5小时。
乙每小时少走2千米,3.5小时就少走2×3.5=7千米,这7千米就是甲原来3.5-3=0.5小时走的,所以乙的速度就是7÷0.5=14千米/时。
所以A、B两地的距离为(10+14)×3=72千米。
第二讲:
追及问题
例1.好马每天走120千米,劣马每天走75千米,劣马先走12天,好马几天能追上劣马?
解:
(1)劣马先走12天能走多少千米?
75×12=900(千米)
(2)好马几天追上劣马?
900÷(120-75)=20(天)
列成综合算式75×12÷(120-75)=900÷45=20(天)
答:
好马20天能追上劣马。
例2.小明和小亮在200米环形跑道上跑步,小明跑一圈用40秒,他们从同一地点同时出发,同向而跑。
小明第一次追上小亮时跑了500米,求小亮的速度是每秒多少米。
解:
小明第一次追上小亮时比小亮多跑一圈,即200米,此时小亮跑了(500-200)米,要知小亮的速度,须知追及时间,即小明跑500米所用的时间。
又知小明跑200米用40秒,则跑500米用[40×(500÷200)]秒,所以小亮的速度是
(500-200)÷[40×(500÷200)]
=300÷100=3(米)
答:
小亮的速度是每秒3米。
例3.我人民解放军追击一股逃窜的敌人,敌人在下午16点开始从甲地以每小时10千米的速度逃跑,解放军在晚上22点接到命令,以每小时30千米的速度开始从乙地追击。
已知甲乙两地相距60千米,问解放军几个小时可以追上敌人?
解:
敌人逃跑时间与解放军追击时间的时差是(22-16)小时,这段时间敌人逃跑的路程是[10×(22-16)]千米,甲乙两地相距60千米。
由此推知
追及时间=[10×(22-16)+60]÷(30-10)
=120÷20=6(小时)
答:
解放军在6小时后可以追上敌人。
例4.一辆客车从甲站开往乙站,每小时行48千米;一辆货车同时从乙站开往甲站,每小时行40千米,两车在距两站中点16千米处相遇,求甲乙两站的距离。
解:
这道题可以由相遇问题转化为追及问题来解决。
从题中可知客车落后于货车(16×2)千米,客车追上货车的时间就是前面所说的相遇时间,
这个时间为16×2÷(48-40)=4(小时)
所以两站间的距离为(48+40)×4=352(千米)
列成综合算式(48+40)×[16×2÷(48-40)]
=88×4
=352(千米)
答:
甲乙两站的距离是352千米。
例5.兄妹二人同时由家上学,哥哥每分钟走90米,妹妹每分钟走60米。
哥哥到校门口时发现忘记带课本,立即沿原路回家去取,行至离校180米处和妹妹相遇。
问他们家离学校有多远?
解:
要求距离,速度已知,所以关键是求出相遇时间。
从题中可知,在相同时间(从出发到相遇)内哥哥比妹妹多走(180×2)米,这是因为哥哥比妹妹每分钟多走(90-60)米,
那么,二人从家出走到相遇所用时间为
180×2÷(90-60)=12(分钟)
家离学校的距离为90×12-180=900(米)
答:
家离学校有900米远。
例6.孙亮打算上课前5分钟到学校,他以每小时4千米的速度从家步行去学校,当他走了1千米时,发现手表慢了10分钟,因此立即跑步前进,到学校恰好准时上课。
后来算了一下,如果孙亮从家一开始就跑步,可比原来步行早9分钟到学校。
求孙亮跑步的速度。
解:
手表慢了10分钟,就等于晚出发10分钟,如果按原速走下去,就要迟到(10-5)分钟,后段路程跑步恰准时到学校,说明后段路程跑比走少用了(10-5)分钟。
如果从家一开始就跑步,可比步行少9分钟,由此可知,行1千米,跑步比步行少用[9-(10-5)]分钟。
答:
孙亮跑步速度为每小时60/11千米。
例题7. 有甲、乙、丙3人,甲每分钟走100米,乙每分钟走80米,丙每分钟走75米。
现在甲从东村,乙、丙两人从西村同时出发相向而行,在途中甲与乙相遇6分钟后,甲又与丙相遇。
那么,东、西两村之间的距离是多少米?
例题8. 甲、乙二人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发,背向而行。
现在已知甲走一圈的时间是70分钟,如果在出发后45分钟甲、乙二人相遇,那么乙走一圈的时间是多少分钟?
(第十六届"全国小学数学奥林匹克"竞赛初赛试题)
「思路解析」本题从头到尾都只有时间:
给的条件是时间,问的问题也是时间。
像这种只给时间、求时间的问题,通常的做法就是——设数。
把路程或速度这两个未知量中的某一个量随便设个数,然后再进行求解。
本题就可以设环形公路的全程为6300米,接着便可求甲、乙两人的速度了。
接下来的过程,大家不妨自己动手试一试。
例题9. 有一座时钟现在显示10时整。
那么,经过多少分钟,分针与时针第一次重合;再经过多少分钟,分针与时针第二次重合?
例题10.某天上午邮局收到两封孙老师的信,邮递员小方与邮递员老汪决定借此机会比一比谁骑自行车送信的速度快,小方自知速度比老汪快,于是上午10点整时,决定让老汪先出发,10分钟后他才出发,果不其然,在送信的过程中小方追上了老汪,已知小方骑自行车速度为100米/分钟,而老汪骑自行车速度为60米/分钟,小方追上老汪的地点距离孙老师家1200米,问小方返回邮局的时候是几点?
例题11.如下图所示,一条笔直的公路上有16个车站A1,A2,A3……A16,已知相邻两站之间的距离都相等,有一天,甲、乙、丙三人都要从第1站去第16站.甲先出发,当甲到达第2站时,乙出发,当乙到达第3站时丙出发,如果丙在第4站追上乙,甲和丙同时到达第16站,那么甲的速度是乙的速度的几倍?
解析:
易知乙走1站,丙走3站,丙的速度是乙的3倍。
乙走2站后丙出发,若甲从A2,乙丙从A1同时出发,丙能多走(2×3)站,甲到达第16站时丙走了(6+15)站,乙能走(21÷3)站,而甲走了14站,所以甲的速度是乙的2倍。
甲、乙两人分别由A、B两地同时出发,如果相向而行,1小时后两人相遇;如果同向而行,且乙先出发2小时,那么甲3小时后追上乙.请问:
甲的速度是乙的几倍?
解析:
先画图如下:
若设甲、乙二人相遇地点为C,甲追及乙的地点为D,则由题意可知甲从A到C用1小时。
而从A到D则用3小时,因此,甲走C到D之间的路程时,所用时间应为:
3-1=2(小时)。
同理,乙从B到C用1小时,而从B到D则用(2+3)小时,因此,乙走C到D之间的路程时,所用时间应为:
1+5=6(小时)。
同一段路程,乙所用时间为甲的(6÷2)倍,则甲的速度是乙的3倍。
三、 行船问题
【含义】行船问题也就是与航行有关的问题。
解答这类问题要弄清船速与水速,船速是船只本身航行的速度,也就是船只在静水中航行的速度;水速是水流的速度,船只顺水航行的速度是船速与水速之和;船只逆水航行的速度是船速与水速之差。
【数量关系】(顺水速度+逆水速度)÷2=船速
(顺水速度-逆水速度)÷2=水速
顺水速=船速×2-逆水速=逆水速+水速×2
逆水速=船速×2-顺水速=顺水速-水速×2
【解题思路和方法】大多数情况可以直接利用数量关系的公式。
例1一只船顺水行320千米需用8小时,水流速度为每小时15千米,这只船逆水行这段路程需用几小时?
解由条件知,顺水速=船速+水速=320÷8,而水速为每小时15千米,所以,船速为每小时320÷8-15=25(千米)
船的逆水速为25-15=10(千米)
船逆水行这段路程的时间为320÷10=32(小时)
答:
这只船逆水行这段路程需用32小时。
例2甲船逆水行360千米需18小时,返回原地需10小时;乙船逆水行同样一段距离需15小时,返回原地需多少时间?
解由题意得甲船速+水速=360÷10=36
甲船速-水速=360÷18=20
可见(36-20)相当于水速的2倍,
所以,水速为每小时(36-20)÷2=8(千米)
又因为,乙船速-水速=360÷15,
所以,乙船速为360÷15+8=32(千米)
乙船顺水速为32+8=40(千米)
所以,乙船顺水航行360千米需要
360÷40=9(小时)
答:
乙船返回原地需要9小时。
例3一架飞机飞行在两个城市之间,飞机的速度是每小时576千米,风速为每小时24千米,飞机逆风飞行3小时到达,顺风飞回需要几小时?
解这道题可以按照流水问题来解答。
(1)两城相距多少千米?
(576-24)×3=1656(千米)
(2)顺风飞回需要多少小时?
1656÷(576+24)=2.76(小时)
列成综合算式
[(576-24)×3]÷(576+24)
=2.76(小时)
答:
飞机顺风飞回需要2.76小时。
例4.一架战斗机的贮油量最多够它在空中飞行4.6h,飞机出航时顺风飞行,在静风中的速度是575km/h,风速25km/h,这架飞机最多能飞出多少千米就应返回?
分析:
列方程求解行程问题中的顺风逆风问题.
顺风中的速度=静风中速度+风速
逆风中的速度=静风中速度-风速
解答:
解法一:
设这架飞机最远飞出xkm就应返回.
依题意,有
解得:
x=1320.
答:
这架飞机最远飞出1320km就应返回.
解法二:
设飞机顺风飞行时间为th.
依题意,有(575+25)t=(575-25)(4.6-t),
解得:
t=2.2.
(575+25)t=600×2.2=1320.
答:
这架飞机最远飞出1320km就应返回.
例5.小明从学校到家有两条一样长的路,一条是平路,另一条是一半上坡路,一半下坡路。
且小明放学回家时走两条路所花的时间相同。
已知下坡的速度是平路的1.5倍,那么上坡速度是平路的几分之几?
解:
此题可采取设数法。
设全长是12.平路速度是2,则下坡速度是3.平均速度是一样的。
12÷2=6小时,12÷2=6,6÷3=2时,6÷(6-2)=1.5.1.5÷2=0.75
例6.一只小船从甲地开往乙地往返一次共需要2小时,回来时顺水比去时每小时多行8千米,因此第二小时比第一小时多行6千米。
那么甲乙两地之间的距离是多少千米?
解:
6÷2=3,6÷8=3/4时,1-3/4=1/4时,3÷1/4=12千米,12+3=15千米
例7.甲乙二人在河中游泳,先后从同一地点出发,并以相同的速度向同一方向游泳。
现在加位于乙的前方,乙距离起点20米,当乙游到甲现在的位置时,甲将距离起点98米。
甲现在离起点多少米?
解:
(98-20)÷2=39,39+20=59
例8.货船在甲乙两地之间往返行驶,已知甲在乙的下游,从甲到乙速度是每小时6千米,从乙到甲速度是每小时12千米。
那么货船往返一次的平均速度是多少?
解:
8
例9.一条河上有甲、乙两个码头,甲在乙的上游60千米处。
客船和货船分别从甲、乙两码头出发向上游行驶,两船的静水速度相同且始终保持不变。
客船出发时有一物品从船上落入水中(该物品可以浮在水面上),10分钟后此物距客船5千米。
客船在行驶20千米后折向下游追赶此物,追上时恰好和货船相遇。
求水流的速度。
例10.A地位于河流的上游,B地位于河流的下游。
每天早上,甲船从A地、乙船从B地同时出发相向而行。
从12月1号开始,两船都装上了新的发动机,在静水中的速度变为原来的1.5倍,这时两船的相遇地点与平时相比变化了1千米。
由于天气原因,今天(12月6号)的水速变为平时的2倍,那么今天两船的相遇地点与12月2号相比,将变化多少千米?
答案:
2千米
四、列车问题
【含义】这是与列车行驶有关的一些问题,解答时要注意列车车身的长度。
【数量关系】火车过桥:
过桥时间=(车长+桥长)÷车速
火车追及:
追及时间=(甲车长+乙车长+距离)
÷(甲车速-乙车速)
火车相遇:
相遇时间=(甲车长+乙车长+距离)
÷(甲车速+乙车速)
【解题思路和方法】大多数情况可以直接利用数量关系的公式。
例1一座大桥长2400米,一列火车以每分钟900米的速度通过大桥,从车头开上桥到车尾离开桥共需要3分钟。
这列火车长多少米?
解火车3分钟所行的路程,就是桥长与火车车身长度的和。
(1)火车3分钟行多少米?
900×3=2700(米)
(2)这列火车长多少米?
2700-2400=300(米)
列成综合算式900×3-2400=300(米)
答:
这列火车长300米。
例2一列长200米的火车以每秒8米的速度通过一座大桥,用了2分5秒钟时间,求大桥的长度是多少米?
解火车过桥所用的时间是2分5秒=125秒,所走的路程是(8×125)米,这段路程就是(200米+桥长),所以,桥长为
8×125-200=800(米)
答:
大桥的长度是800米。
例3一列长225米的慢车以每秒17米的速度行驶,一列长140米的快车以每秒22米的速度在后面追赶,求快车从追上到追过慢车需要多长时间?
解从追上到追过,快车比慢车要多行(225+140)米,而快车比慢车每秒多行(22-17)米,因此,所求的时间为
(225+140)÷(22-17)=73(秒)
答:
需要73秒。
例4一列长150米的列车以每秒22米的速度行驶,有一个扳道工人以每秒3米的速度迎面走来,那么,火车从工人身旁驶过需要多少时间?
解如果把人看作一列长度为零的火车,原题就相当于火车相遇问题。
150÷(22+3)=6(秒)
答:
火车从工人身旁驶过需要6秒钟。
例5一列火车穿越一条长2000米的隧道用了88秒,以同样的速度通过一条长1250米的大桥用了58秒。
求这列火车的车速和车身长度各是多少?
解车速和车长都没有变,但通过隧道和大桥所用的时间不同,是因为隧道比大桥长。
可知火车在(88-58)秒的时间内行驶了(2000-1250)米的路程,因此,火车的车速为每秒
(2000-1250)÷(88-58)=25(米)
进而可知,车长和桥长的和为(25×58)米,
因此,车长为25×58-1250=200(米)
答:
这列火车的车速是每秒25米,车身长200米。
例6 一列客车通过250米长的隧道用25秒,通过210米长的隧道用23秒。
已知在客车的前方有一列行驶方向与它相同的货车,车身长为320米,速度每秒17米。
列车与货车从追上到完全超过所用的时间?
解(250-210)÷(25-23)=20米/秒20×25-250=250.(250+320)÷(20-17)=190
例题7某解放军队伍长450米,以每秒1.5米的速度行进。
一战士以每秒3米的速度从排尾到排头并立即返回排尾,那么这需要多少时间?
解450÷(3-1.5)=300秒,450÷(3+1.5)=100秒300+100=400秒
例题8马路上有一辆车身长为15米的公共汽车由东向西行驶,车速为每小时18千米。
马路一旁的人行道上有甲、乙两名年轻人正在练长跑,甲由东向西跑,乙由西向东跑。
某一时刻,汽车追上了甲,6秒钟后汽车离开了甲;半分钟之后,汽车遇到了迎面跑来的乙;又过了2秒钟汽车离开了乙。
问再过多少秒以后甲、乙两人相遇?
解析:
车速为每秒:
(米),由“某一时刻,汽车追上了甲,
秒钟后汽车离开了甲”,可知这是一个追及过程,追及路程为汽车的长度,所以甲的速度为每秒:
(米);而汽车与乙是一个相遇的过程,相遇路程也是汽车的长度,所以乙的速度为每秒:
(米)。
汽车离开乙时,甲、乙两人之间相距:
(米),甲、乙相遇时间:
(秒)。
例题9 一列长110米的火车以每小时30千米的速度向北缓缓驶去,铁路旁一条小路上,一位工人也正向北步行。
14时10分时火车追上这位工人,15秒后离开。
14时16分迎面遇到一个向南走的学生,12秒后离开这个学生。
问:
工人与学生将在何时相遇?
解析:
工人速度是每小时30-0.11×(3600÷15)=3.6千米,学生速度是每小时(0.11×3600÷12)-30=3千米,14时16分到两人相遇需要时间(30-3.6)×6÷60÷(3.6+3)=0.4(小时)=24分钟,14时16分+24分=14时40分
例题10甲、乙二人沿铁路相向而行,速度相同,一列火车从甲身边开过用了8秒钟,离甲后5分钟又遇乙,从乙身边开过,只用了7秒钟,问从乙与火车相遇开始再过几分钟甲乙二人相遇?
解析:
火车开过甲身边用8秒钟,这个过程为追及问题:
火车长=(V车-V人)×8;火车开过乙身边用7秒钟,这个过程为相遇问题。
火车长=(V车+V人)×7。
可得8(V车-V人)=7(V车+V人),所以V车=l5V人.甲乙二人的间隔是:
车走308秒的路-人走308秒的路,由车速是人速的15倍,所以甲乙二人间隔15×308-308=14×308秒人走的路。
两人相遇再除以2倍的人速。
所以得到7×308秒=2156秒。
例题11两人沿着铁路线边的小道,从两地出发,以相同的速度相对而行.一列火车开来,全列车从甲身边开过用了10秒.3分后,乙遇到火车,全列火车从乙身边开过只用了9秒.火车离开乙多少时间后两人相遇?
解析:
根据题意图示如下:
A1、B1分别表示车追上甲时两人所在地点,A2、B2分别为车从甲身边过时两人所在地点,A3、B3分别为车与乙相遇时两人所在地点,A4、B4分别为车从乙身边开过时两人所在地点。
要求车从乙身边开过后甲乙相遇时间用A4到B4之间的路程除以两人速度和。
(1)求车速:
(车速-1)×10=10×车速-10=车长
(车速+1)×9=9×车速+9=车长
比较上面两式可知车速是每秒19米。
(2)A3到B3的路程,即车遇到乙时车与甲的路程差,也是甲与乙的相距距离。
(19-1)×(10+180)=3420(米)
(3)A4到B4的路程,即车从乙身边过时甲乙之间的路程。
3420-(1+1)×9=3402(米)
(4)车离开乙后,甲乙两人相遇的时间为:
3402÷(1+1)=1701(秒)
第五讲行程综合
例1.甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行,甲每小时行15千米,乙每小时行13千米,两人在距中点3千米处相遇,求两地的距离。
解:
“两人在距中点3千米处相遇”是正确理解本题题意的关键。
从题中可知甲骑得快,乙骑得慢,甲过了中点3千米,乙距中点3千米,就是说甲比乙多走的路程是(3×2)
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