又说鸡爪定理.docx
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又说鸡爪定理.docx
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又说鸡爪定理
又说鸡爪定理
先说点题外话,说到鸡爪,大家首先想到的是美味,有人已经开始流口水了。
我小时候在农村,家庭条件比较差,难得吃一顿鸡肉,但是那边有一个“规矩”:
小孩子如果吃了鸡爪,写得字会像鸡爪挠的一样难看。
所以我与鸡爪一直失之交臂,只能望爪兴叹,不过似乎我的字依然很难看,经常是老师的反面典型,后来下工夫临摹了一些字帖,现在的字基本能看了。
这当然是“取类比象”的迷信,两件事情之间是没有关系的!
希望大家能大胆质疑生活中的一些不合理的繁文缗节。
不管男女老幼,我们都可以一边吃着美味的鸡爪,一边欣赏美丽的鸡爪定理。
再回顾一下鸡爪定理内容:
设I和I'分别是4ABC的内心和A旁心,则SI=SB=SC=SI'。
告
、、一
前面两篇文章分别介绍了鸡爪定理的最新应用和经典问题,
但是这只是冰山一角,本人天资有限,但是耐性尚好,知无不言
言无不尽,喜欢咬定青山不放松,不贪多求全,希望能把一个问
题讲透彻,今天继续介绍鸡爪定理在重大赛事(如高中数学联赛、
中国数学奥林匹克(CMO)、中国国家队选拔考试(TST)、国际数学奥林匹克(IMO)等)中的应用。
1)如图,设4ABC外接圆O半径为R,内心为I,ZB=60ZA 于E。 证明: (1)IA=AE, 2))2R (1994年高中数学联赛) (1)如图,设BI、AI交圆。 于G、D,显然EOD共线, 则ZAIC=90+zB/2=120=2zB=zAOC, 由正弦定理GA=2Rsin30=R 结合鸡爪定理得A,O,I,C在以G为圆心R为半径的圆上; 则ZAOE=2zOAD=zOGI, 故MOE? 3GI(SAS),贝UIO=AE, (2)由鸡爪定理有IC=ID,又IA=AE, 贝U在4AED中,有AE+IA+ID>DE, 即IO+IA+IC>2R, A/2=0,0<0<30, zAED=60+0 IO+IA+IC=2R(sin(60+0)+cos(60+0)) =2v (2)Rsin(105+0), 为0单调递减函数,0=0时,为(1+M3))R 综上2R 注: 1、)本题另一种观察角度是含有一个60角的三角形,这类 三角形性质非常丰富,竞赛中也经常出现,后面有空了我会专门 开辟一个专题讲解此类问题,在此先挖个坑,立个flag。 2、)本题第二问最后用了一些三角计算,虽然我叹服于几何 之美,但是并不是说就不能使用几何以外的证题方法,纯几何思路受阻,马上就要调整思路,适当计算,毕竟计算才是王道! 好多几何构型的核心就是一些代数恒等式。 2、如图,O、I分别为4ABC的外心和内心,AD是BC边上的高,I在线段OD上。 求证: 4ABC的外接圆半径等于BC边上的旁切圆半径。 (1998年高中数学联赛) 证明: (为了真实反映我的思考过程,我使用分析法) 如图,设旁心为I',则A,I,I'共线,设I'HIBC,显然OJ1BC, 由鸡爪定理得JI=JB=JI', OJ=I'H<=>OJ: AD=I'H: AD <=>JI: IA=I'K: AK 等比定理) <=>JI: IA=I'K: AK=(I'K-JI): (AK-AI)=JK: KI( <=>JI: (IA+JI)=JK: (KI+JK)(等比定理) <=>JI: JA=JK: IJ 最后这个显然是鸡爪定理的基本性质,从而原结论成立。 注: 1、)对于本题我是记忆犹新,或者说是刻骨铭心,因为我就是98年参加的高中联赛,虽然之前做了很多准备,但是当年的二试三个题目都非常难,我只把这个第一题通过复杂的三角计算算了出来,最后只是获得了陕西省一等奖,分数大概是十来名,但是当时陕西省只有三个参加冬令营的名额,我的高中竞赛就此止步了。 所以此题比较容易想到的方法是三角计算,就是过程稍微复杂一点。 2、)本文第一段提到质疑的重要性,下面再说一件真实的事情说明质疑的好处。 当年陕西获得进冬令营的三名同学后来都成 了我的大学同学,其中一个同学穆鹏程说了他进省队的原因一一 他质疑此题是错题! 因为显然当三角形为等腰三角形时OID共线 恒成立,此时不一定有其旁切圆半径等于外接圆半径。 后来改卷 组经过多次磋商和请示,认为此解答正确! 我觉得判卷的结果非 常合理,对这种敢于质疑的学生必须加以褒奖! 这种学生一定前 途无量。 (现在他好像已经是大学教授)所以本题严格上讲应该 再加上非等腰的条件。 3、如图,在4ABC中,设AB>AC,过点A作MBC的外接 圆的切线1,又以点A为圆心,AC为半径作圆分别交线段AB于点D;交直线1于点E、F. 证明: 直线DE、DF分别通过4ABC的内心与一个旁心.(2005年高中数学联赛) 证明: 设/BAC内角平分线交DE、DF于I、I', 贝U/CAI=1/2zBAC=/DEC, 故AICE共圆, zJIC=ZAEC; 又/EAC=ZIJC, 故/JCI=ZACE=ZAEC=zJIC, 即JI=JC, 由鸡爪定理逆定理知I为AABC的内心; 又ID=IC,AD=AC,则AIJ为CD中垂线, 故JD=JI=JC 又ID1DI',故JI=JI',从而I'为MBC的内心; 综上结论成立。 4、如图M,N分别为锐角三角形ABC的外接圆。 上弧BC、AC的中点.过点C作CP//MN交圆。 于P点,I为》BC的内心,连接PI并延长交圆O于T. ⑴求证: MP*MT=NP*NT; ⑵在弧AB(不含点C)上任取一个异于A,B,T的点Q,记4AQC,2QC的内心分别为X,Y 求证: QTXY四点共圆.(2009年高中数学联赛) 证明: (1)依题意NIB,AIM共线, 由CP//MN得CPNM为等腰梯形, 结合鸡爪定理得NI=NC=PM,MI=MC=PN, 故NIMP为平行四边形,则PI平分NM, 故ANPT与Z1MPT面积相等, 故MP*MT=NP*NT; (2)依题意NXQ,QYM共线, 由鸡爪定理得NX=NC=PM,MY=MC=PN, 再结合 (1)即得NX: MY=TN: TM, 又/QNT=zQMT, 故"XN〜QYM, 则/QXT=/QYT,则QTXY四点共圆. 注: 1)本题图形略复杂,大有乱花渐欲迷人眼之感,但是只要抓 住内心的核心性质一一鸡爪定理,思路并不难想到。 第二问中的 相似也是由共圆自然分析出来的。 2)本题中T点实际上就是曼海姆定理中伪内切圆与外接圆 的切点,这也算是曼海姆定理构型中的性质,里面还有很多“宝藏” 值得挖掘。 5、已知: 如图,I为MBC内心,AI交外接圆。 于M,BIC外角平分线交BC于P,MP交圆O于R, 求证: AAIR外心在IP上(20170619我们爱几何问题作者: 赵斌) 证明: 设MIR外心为O',ABC角为A,B,C, 由鸡爪定理知(M|A2)=MB「2)=MT*MA=MR*MP, 则ATRP共圆,则 zRIP=zMIIP-zMIIR=ZMIIC+/CIP-zRPI =zMICI+zCIP-zRPC-zCPI =zMICB+/CB+ZCIP-zRAI-zCPI =zMICB+2zCIP-zRAI=(A/2)+(B+C)/2-zRAI =90-ZRAI=90-(zRO1/2)=zRIO' 即O'在P上 注: 此题为第一篇鸡爪定理的最后思考题,如果对这个构型比较熟悉,这个题目还是比较简单的。 6、设3BC内心为I,外接圆为O,AI交圆O于D,E为弧 BDC上一点,F为BC上一点,且/BAF="AE 求证: DG与日交点在圆O上;(2010年第50届IMO) 分析证明: 证明结果有些模糊,中点很难用, 由图形的唯一性,设EI交圆。 于T, 我们等价于证明TD平分IF, 由梅涅劳斯定理等价于证明(AD: ID)(IG: GF)(FJ: JA)=1 即证明AD: DI=AJ: JF, 即证明AD: (DI+AD尸AJ: AF; 由已知显然△ABF〜MEC,故AF: AC=AB: AE, 同理4AJD〜AA\E,故AJ: AI=AD: AE, 两式相除得AJ: AF=(AD: AB)(A\: AC); 从而只需证明: AD: (D\+AD)=(AD: AB)(A\: AC), 即证明: AB: (D\+AD尸A\: AC; 至此基本结束,因为结果已经与E、F无关! 由角平分线定理有A\: AC=K\: CK=AK: (AC+CK) 又AACK〜MDB,故AK: (AC+CK尸AB: (DB+AD), 由鸡爪定理DI=DB, 从而结论成立! 最后说一下,本篇文章里面的题目都很经典,很多同学可能都反复刷过,但是正如单土尊单老所言: 好的音乐,不妨多听几遍;好的题目,不妨多做几遍。 建议大家重新思考一下做过的题目,一定会有新的收获。 温故而知新,温故必知新。 甚至还要学新以温故,我们学习新题的时候如果能联想到做过的其他题目,一定要及时回顾、对比、提升,这样对新的问题和老的问题都会有深刻的印象和理解。 这也是我学习中的一点经验体会,希望能对大家有帮助。
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- 又说 定理