水平宽铅垂高求三角形面积.docx
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水平宽铅垂高求三角形面积
水平宽铅垂高求三角形面
积
ItwaslastrevisedonJanuary2,2021
作三角形铅垂高是解决三角形面积问题的一个好办法
二次函数教学反思
铅垂咼
如图,过AABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线,外侧两条直线之间的距离叫AABC的“水平宽”@),中间的这条直线在AABC内部线段的长度叫AABC的“铅垂高”(h)•我们可得出一种计算三角形面积的新方法:
SAABC=1\2ah,即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半•
最近教学二次函数遇到很多求三角形面积的问题,经过研究,我发现作三角形铅锤高是解决三角形面积问题的一个好办法。
在课堂上我还风趣地说遇到“歪歪三角形中间砍一刀”,同学们很快掌握了这种方法现总结如下:
如图1,过△月兀的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线,外侧两条直线之间的距离叫△月应'的“水平宽"(a).
中间的这条直线在内部线段的长度叫△遊的“铅垂高(/•我们可得出一种计算
三角形面积的新方法:
SMHC=L(lh,即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的—半.
线的对称轴上是否存在点C使的周长最小?
若存在,求出点C的坐标;若不存在,请说明理由・(4)如果点P是
(2)中的抛物线上的动点,且在x轴的下方,那
么是否有最大面积?
若有,求岀此时P点的坐标及△PAB的最大面积;若没有,请说明理由.
解:
(1)B(1,書)
⑵设抛物线的解析式为尸俶(.丫+“),代入点B(1,,得"=斗,因此
V5,2书
V=——f+X
-33
(3)如图,抛物线的对称轴是直线x=-l.当点C位于对称轴与线段AB的交点时,
/\BOC的周长最小.
设直线为尸总+b•所以<
一彳因此直线佔为严拿v+罕,当
333
3
4-1时,尸斗,因此点c的坐标为(-1,屈3)•
⑷如图,过P作轴的平行线交A3于D
时,△PAB的面积的最大值为罟
例2.(2014益阳)如图2,抛物线顶点坐标为点C(l,4),交x轴于点A(3,0)t交y
轴于点2
(1)求抛物线和直线AB的解析式;
(2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点,连结抄,PB,当P点运动到顶点C时,求△CAB的铅垂高CD及Sg〃;(3)是
Q
否存在一点只使若存在,求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.8
解:
(1)设抛物线的解析式为:
yi=«(x-l)2+4把4(3,0)代
入解析式求得a=-\所以)、=-(x-l)2+4=-x2+2x+3设直线AB的解析式为:
y2=kx+b由儿=_F+2x+3求得3点的坐标为(0,3)把A(3,0)f3(0,3)代入y2=kx+b中解得:
斤=_1小=3所以力=_x+3
图・2
(2)因为C点坐标为(1,4)所以当1时,yi=4,w二2所以CD=4-2=
2SgR=£x3x2=3(平方单位)
(3)假设存在符合条件的点只设P点的横坐标为x,△P4B的铅垂高为儿贝IJ
rr9
h=y{_y2=(_开2+2兀+3)_(_x+3)=-x2+3兀由S^pab=-S^cab得
8
1Q33
-x3x(-x2+3x)=-x3化简得:
4x2-12x+9=0解得,%=二将兀=二代入
2822
q1气
儿=』+2兀+3中,解得P点坐标为(亍扌)
例3・(2015江津)如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(l,0),B(-3,0)
两点,
(1)求该抛物线的解析式;
(2)设
(1)中的抛物线交y轴于C点,在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得AQAC的周长最小?
若存在,求出Q点的坐标;若不存在,请说明理由•(3)在
(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P,使厶磁的面积最大,
若存在,求出点P的坐标及△磁的面积最大值•若没有,请说明理由.
・••抛物线解析式为:
y=—〒_2x+3
(2)存在。
理由如下:
由题知A、B两点关于抛物线的对称轴x=-\对称
・•・直线BC与x=-\的交点即为Q点,此时ZXAQC周长最小・・・y=_/_2x+3
•••C的坐标为:
(0,3)直线BC解析式为:
y=x+3Q点坐标即为°。
的解
[y=x+3
(3)答:
存在。
理由如下:
S四边形bpco=Srzpe+S“榔形peoc=2BE•PE+—OE(PE+OC)
ii339?
7
二尹+3)(一宀2x+3)+古x)(一宀2x+3+3)=--U+-)2+-+y
xl/3n,「曰亠/士927・。
B.927927
当x=_于时,Spj边形肿g取大值=9"+~JT•・'pc更大二=—
QIS315
当x=--时,-x2-2x+3=-a点P坐标为(-:
,2)
2424
同学们可以做以下练习:
1•(2015浙江湖州)已知如图,矩形0ABC的长0A=V3.宽0C二1,将厶
A0C沿AC翻折得△APC。
(1)填空:
乙PCB二—度P点坐标为丄亠丄;
的值,并说明点C在此
⑵若F,A两点在抛物线y二-斗x?
+bx+c上,求b,c
积最大?
若存在,求出这个最大值标;若不存在,请说明理由。
堰市2014)如图0),已知抛物线
H0)与兀轴交于点A(l,0)和点B(-
点C.(l)求抛物线的解析式;
(2)设
抛物线的对称轴与兀
问在对称轴上是否存在点E使△CMP为等腰
三角形?
若存在,请直接写出所有符
由・(3)如图②、若点E为第二象限
条件
勺点P的坐标;若不存在■请说明理
物线二+动点?
连接BE、CE、求四边形BOCE
面积的最大值’并求此时E点的坐标.
3.(2015年恩施)如图11,在平面直角坐标系中,二次函数y=F+/x+c的图象与兀
轴交于A、B
两点,A点在原点的左侧,B点的坐标为(3,0),与y轴交于C(0,-3)点,
点P是直线BC下方的抛物线上一动点.
(1)求这个二次函数的表达式•
(2)连结PO、PC,并把APOC沿CO翻折,得到四边形POPC,那么是否存在
点只使四边形POPC为菱形?
若存在,请求出此时点P的坐标;若不存在,请说
明理由•
⑶当点P运动到什么位置时,四边形ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.
解:
(1)将3、C两点的坐标代入得
b=-2图
解得:
{°所以二次函数的表达式为:
y=2尤一3
c=_3
(2)存在点只使四边形POPC为菱形•设P点坐标为(x,x2-2x-3),PP交CO于E若四边形POPC是菱形,则有PC=PO.
连结PP贝IJPE丄CO于E.OE=EC=7y=_2.
2
•••^2-2x-3=_2解得坷二斗二疗上丰(不合题意,舍
222
去)
•••P点的坐标为(^.-P
(3)过点P作y轴的平行线与BC交于点0与交于点只设P(x,
x2-2x-3),易得,直线BC的解析式为),=—3则。
点的坐标为(X,x-3).
3
2
3
当x==时‘四边形ABPC的面积最大
25.(2015绵阳)如图,抛物线y=ax2+bx+4与x轴的两个交点分别为A(-
4,0)、B(2,0),与y轴交于点C顶点为D.E(1,2)为线段BC的中点,BC的垂直平分线与兀轴、y轴分别交于F、G.
(1)求抛物线的函数解析式,并写出顶点D的坐标;
(2)在直线EF上求一点乩使△CDH的周长最小,并求出最小周长;
(3)
若点K在x轴上方的抛物线上运动,当K运动到什么位置时,的面积最大?
并求出最大面积•
所以抛物线的解析式为),=-非_兀+4,顶点D的坐标为(-1,|).
(2)设抛物线的对称轴与x轴交于点M•因为EF垂直平分BC,即C关于直线EG的对称点为B,连结BD交于EF于一点,则这一点为所求点H,使DH+CH最小,即最小为
DH+CH二DH+HB二BD二JbM'+M=丄厢CD=vil2+(--4)2=^-.
・•・ACDH的周长最小值为CD+DR+CH=^+^13
设直线BD的解析式为y二klx+b?
则丿
22ki+*=0,q
9解得&=一才bl二3.
_&+仇=刁,2
所以直线BD的解析式为y=--x+3•由TBC=2V5,CE=BC/2=V5,RtACEG
2
“△COB,
WCE:
CO=CG:
CB.所以CG=,GO=.G(0,)•同理可求得直线EF的解析式为y=Lx+-・
22
我们常常会遇到在平面直角坐标系中求三角形面积的问题•解题时我们要注意其中
的解题方法和解题技巧.
有一边在坐标轴上:
联立直线BD与EF的方穩解得使MDH的周长最小的点H(£刊.
2・有一边与坐标轴平行:
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例2:
如图2,三角形ABC三个顶点的坐标分别为A(4,1),B(4,5),C(-1,
分析:
由A(4,1),B(4,5)两点的横坐标相同,可知边AB
与y轴平行,因而AB的长度易求.作AB边上的高CD,就可求得线段图2
CD的长,进而可求得三角形ABC的面积.
3・三边均不与坐标轴平行:
例3:
巳知平面内三点的坐标如图所示,求8BC的面积.
分析:
由于三边均不平行于坐标轴,所以我们无法直援二誇
■•・・
过ZXABC三个顶点分别作与水平线垂直的三条直线,外侧两条[直线之间的距离叫AABC的“水平宽”(°),中间的这条直线塑匸詁平宽
AABC内部线段的长度叫厶他。
的“铅垂高”(h)•我们可得出—种计算三角形面积的新方法:
Saabc二*ah
即三角形面积等于水平空与铅垂高乘积的一半
例4:
已知:
直线li:
y=-2x+6与x轴交于点A,直线匕:
y=x+3与y轴交于点B,直线11、12交于点C.
(I)建立平而直角坐标系,画出示意图并求出C点的坐标;
(II)利用阅读材料提供的方法求△ABC的面积.
巩固练习:
(%<0)的图象相交于点A、
⑴已知:
如图,直线y=kx+b与反比例函数尸匕
X
点与兀轴交于点C,其中点A的坐标为
(I)试确定反比例函数的关系式;
(II)求aAOC的面积.
(2)如图,在直角坐标平面内,函数y=-(x>0,是常数)的图象经过A(l,4),
x
B(eb),其中0>1•过点A作x轴垂线,垂足为C,过点B作y轴垂线,垂足为
D,连结AD.DC、CB
若ZVIBD的面积为4,求点B的坐标;
(3)已知,直线尸-誉計2与x轴、y轴分别交于点A.B,以线段AB3
为直角边在第一象限内作等腰RtAABC,ZBAC=90°.且点P(1,a)为坐标系中的一个动点.
(I)求三角形ABC的面积Saabc:
(H)请说明不论a取任何实数,三角形BOP的而积是一个常数;
(III)要使得aABC和AABP的而积相等,求实数a的值.
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- 水平 宽铅垂高求 三角形 面积