几何证明角平分线模型.docx
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几何证明角平分线模型
几何证明一一角平分线模型(高级)
【经典例题】
例1、已知如图,ABC中,BC
AC,AD平分CAB,若C
100,求证:
ABADCD。
例2、如图,已知在ABC中,B
60,ABC的角平分线AD,CE相交于点0,求证:
AECDAC。
例3、如图,BD平分ABC,
ADB45,AEBC,求AED.
例4、已知,如图ABC中,AD为ABC的角平分线,求证:
ABDCACBD.
例5、如图,已知P为锐角△ABC内一点,过P分别作
BC,AC,
AB的垂线,
为ABC的平分线,MP的延长线交AB于点N
;如果PD
PE
PF,
线。
例6、如图,在梯形ABCD中,AD//BC,ABDC
,ABC
AE,若ACB60,
EBC50,求EAC的度数.
例7、已知:
ABC中,
垂足分别为D,E,F,BM
求证:
CN是ACB的平分
80,
E是腰CD上一点,连接BE、AC、
ABBC,AC的中点为M,MNAC交
ABC的角平分线于N.
(2)如图2,若ABC120,则BA、BC、BN之间满足什么关系式,并对你得岀的结论给予证明.
【提升训练】
1、在ABC中,ABAC,AD是BAC的平分线.P是AD上任意一点.求证:
ABACPBPC.
2、如图,在ABC中,A等于60,BE平分ABC,CD平分ACB,求证:
DHEH。
3、如图所示,在ABC中,AD平分BAC,ADAB,CMAD于M,求证:
ABAC2AM。
5、
(1)如图,BD、CE分别是ABC的外角平分线,过点A作AFBD,AGCE,垂足分别为F、
1
G,连接FG,延长AF、AG,与直线BC相交,求证:
FG-ABBCAC。
2
(2)若BD、CE分别是ABC的内角平分线(如图
(2)),过点A作AFBD,AGCE,垂足
分别为F、G,连接FG,线段FG与ABC三边有怎样的数量关系?
;
(3)若BD为ABC的内角平分线,CE为ABC的外角平分线(如图(3)),过点A作AFBD,
AGCE,垂足分别为F、G,连接FG,则线段FG与ABC三边又有怎样的数量关系?
A
6、如图,已知BD,CE为ABC的角平分钱,F为DE的中点,点F到AC,AB,BC的距离分别为
FGa,FHb,FMc,若c2c2ab1m22m50。
22
1
(1)求a,b,c,m的值;
(2)求证:
DG—(BCCD)。
4
求证:
HF//BC•
求证:
KF+KG=KH
9•已知ACBC,ACB90,DCB15,BD
CD,CEAD于点E,求证:
BC2CE.
10.
(1)如图1,BPABC的角平分线,PM丄AB于M,PN丄BC于N,AB=30,BC=23,请补全图形,
并求△ABP与厶BPC的面积的比值;
(2)如图2,分别以△ABC的边AB、AC为边向外作等边三角形ABD和等边三角形ACE,CD与BE相交于点O,判断/AOD与/AOE的数量关系,并证明;
(3)在四边形ABCD中,已知BC=DC,且AB訣D,对角线AC平分/BAD,请直接写岀/B和/D的数量关系.
交CD的延长线于P,猜想:
/PAC+/PBC=°(直接写岀结论,不需证明)
(2)已知:
如图2,Rt△ABC中,/ACB=90°,/BAC沟5°,CD平分/ACB,点E为AB中点,PE丄AB交CD
的延长线于P,
(1)中结论是否成立,若成立,请证明;若不成立请说明理由.
12•如图1,分别过线段AB的端点A、B作直线AM、BN,且AMIIBN,/MAB、/NBA的角平分线交于点C,过点C的直线丨分别交AM、BN于点D、E.
(1)求证:
△ABC是直角三角形;
(2)在图1中,当直线丨丄AM时,线段AD、BE、AB之间有怎样的数量关系?
证明你的猜想;
(3)当直线丨绕点C旋转到与AM不垂直时,在如图2、3两种情况下,
(2)中的三条线段之间又有怎样的数量关系?
请写出你的猜想,并选择一种情况给予证明.
一点,且BF=CE,求证:
FKIIAB.
14•在ABC中,AD是/BAC的平分线.
(1)
如图
①,
求证:
仏D些;
sACDAC
(2)
如图
②,
若BD=CD,求证:
AB=AC
(3)
如图
求BD的长.
③,
(1)/仁/2;
(2)ED=BC+BD
16•如图,一个直角三角形纸片的顶点A在/MON的边0M上移动,移动过程中始终保持AB丄ON于点B,
AC丄OM于点A./MON的角平分线0P分别交AB、AC于D、E两点.
(1)点A在移动的过程中,线段AD和AE有怎样的数量关系,并说明理由.
(2)点A在移动的过程中,若射线ON上始终存在一点F与点A关于0P所在的直线对称,判断并说明以A、D、
F、E为顶点的四边形是怎样特殊的四边形?
(3)若/MON=45°猜想线段AC、AD、OC之间有怎样的数量关系,只写岀结果即可•不用证明.
17•定义:
到凸四边形一组对边距离相等,到另一组对边距离也相等的点叫凸四边形的准内点•如图1,PH=PJ,
PI=PG,则点P就是四边形ABCD的准内点.
P是四边形ABCD的准内点.
(1)如图2,/AFD与/DEC的角平分线FP,EP相交于点P•求证:
点
(2)分别画岀图3平行四边形和图4梯形的准内点.(作图工具不限,不写作法,但要有必要的说明)
①任意凸四边形一定存在准内点.(
)
②任意凸四边形一定只有一个准内点.
()
③若P是任意凸四边形ABCD的准内点,贝UPA+PB=PC+PD或PA+PC=PB+PD.()
18•如图,已知平行四边形
ABCD中,AE平分/BAD交DC于E,DF丄BC于F,交AE于G,且AD=DF.过
AE、AB于点M、N.
DM=2,求DE的长;
点D作DC的垂线,分别交
(1)若M为AG中点,且
(2)求证:
AB=CF+DM
AF与BG交于点E•
(1)求证:
AF丄BG,DF=CG;
(2)若AB=10,AD=6,AF=8,求FG和BG的长度.
3,ABC的平分线交AD于点E
4
122
BC。
求证:
BE23CF2。
4
21、如图,在ABC中,D是BAC外角平分线上一点,求证:
ABACDBDC。
22•在?
ABCD中,/BAD的平分线交直线BC于点E,交直线DC于点F.
(1)在图1中证明CE=CF;
(2)若/ABC=90°G是EF的中点(如图2),直接写岀/BDG的度数;
(3)若/ABC=120°FGIICE,FG=CE,分别连接DB、DG(如图3),求/BDG的度数.
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