高一数学必修1知识点归纳.doc
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1、集合的概念:
某些研究对象的全体叫集合,用大写字母表示;集合中的每个对象叫做这个集合的元素,用小写字母表示;
2、集合的表示方法有:
(1)列举法(把集合的所有元素一一列举并写在大括号内);
(2)描述法(把集合中元素的公共属性描述出来写在大括号内);
3、集合中元素的特征有无序性、互异性、确定性;
4、元素与集合的关系有:
属于()和不属于();
5、集合分类:
(1)把不含任何元素的集合叫做空集();
(2)含有有限个元素的集合叫做有限集;
(3)含有无穷个元素的集合叫做无限集;
6、常用数集及其记法:
(1)自然数集:
记作;
(2)正整数集:
记作;
(3)整数集:
记作;(4)有理数(包括整数和分数)集:
记作;
(5)实数(包括有理数和无理数)集:
记作;
7、集合与集合的关系有:
子集(包含于,)、真子集(真包含于,)、相等(=);
8、子集的概念:
如果集合A中的每一个元素都是集合B中的元素,那么集合A叫做集合B的子集,记作;
9、真子集的概念:
若集合A是集合B的子集,且B中至少有一个元素不属于A,那么集合A叫做集合B的真子集,记作;(真子集是除本身以外的子集)
10、子集、真子集的性质:
(1)传递性:
若,,则;
(2)空集是任意集合的子集,是任意非空集合的真子集;
(3)任何一个集合是它本身的子集;(在写子集时首先注意两个特殊的子集----空集和它本身)
11、集合相等:
(1)若集合A中的元素与集合B中的元素完全相同,则称集合A等于集合B,记作;
(2)(即互为子集)。
12、n个元素的集合其子集个数共有个;真子集有个(比子集少了它本身);
非空子集有个;非空的真子集有个;
13、集合的运算:
(1)交集(公共元素):
A∩B={x|x∈A且x∈B};
(2)并集(所有元素):
A∪B={x|x∈A或x∈B};
(3)补集(剩余元素):
={x|且x∈U},U为全集。
14、集合运算中常用的结论:
①;②;
③;;④。
注意:
集合问题的处理要养成画数轴的好习惯,在用区间表示结果时要注意小括号和中括号的合理使用.
15、函数的概念:
设A、B是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系,使对于集合A中的任意一个数,在集合B中都有唯一确定的数和它对应,那么就称:
A→B为从集合A到集合B的一个函数。
记作:
。
其中:
叫做自变量,的取值范围A叫做函数的定义域;与的值相对应的值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域。
注意;我们现在用符号来表示函数,其中表示与对应的函数值,而不是乘。
16、求函数定义域的方法:
(1)分式中分母;
(2)二次根式中被开方式;(3)对数式中底数,真数;(4)有几个特殊运算时取其公共部分(交集);(5)函数的任何问题的处理都要注意定义域优先原则。
17、求函数解析式的常用方法:
(1)待定系数法(针对格式化定义的函数)----设、代、解、代;
(2)换元法(针对复合型函数);(3)配方法(针对二次型函数)。
18、区间的概念:
(设是两个实数且)
(1)闭区间:
;
(2)开区间:
;(3)半开半闭区间:
;;(4)实数集可以用区间表示。
19、同一函数:
如果两个函数的定义域值域和对应关系完全相同,即称这两个函数相等(或者说是同一函数)。
20、函数的三种表示法是:
解析法;图象法;列表法。
21、分段函数:
按自变量取值的不同情况将函数的对应关系(或者是解析式)用不同的式子分段表示的函数,处理的方法是分段处理;复合函数的处理方法是从里向外层层剥离。
22、函数的单调性:
(1)增函数定义:
若,有;增函数图象上升(同增)。
(2)减函数定义:
若,有;减函数图象下降(异减)。
(3)用定义法证明(或判断)函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤:
取值:
任取两个x1,x2∈D,且x1 f(x1)-f(x2); 变形: (通常是因式分解、配方和通分等);判号: (即判断差f(x1)-f(x2)的正负); 下结论: (即指出函数f(x)在区间D上的单调性). 23、函数最大(小)值: (1)定义: 设函数满足,则是函数的最大值,记作; 设函数满足,则是函数的最小值,记作; (2)求法: ①利用函数的单调性求解;②通过换元、配方、反解等求函数的值域;③利用不等式性质求;④二次函数利用性质求等。 24、函数的奇偶性: (1)奇函数: 对于函数的定义域内任意一个,都有。 图象关于原点对称。 (2)偶函数: 对于函数的定义域内任意一个,都有。 图象关于Y轴对称。 (3)奇(偶)函数的定义域的要求是定义域要关于原点对称,否则就是非奇非偶函数; (4)奇函数在原点两侧的单调性一致且在处有定义时必有; (5)偶函数在原点两侧的单调性相反且有成立。 25、初中学过的二次函数的知识归纳: 二次函数: ①解析式;②在时是偶函数,在时是非奇非偶函数;③单调性与和对称轴有关: 在时是左减右增,时是左增右减。 ④其它性质: (1)二次函数的图象的对称轴方程是,顶点坐标是。 (2)用待定系数法求二次函数的解析式时,解析式的设法有三种形式: 一般式: ,零点式: ,顶点式: ,顶点坐标是。 (3)二次函数图象: ①当时,图象与X轴有2个交点;若有两根,则。 ②当时,图象与X轴只有1个交点。 ③当时,图象与X轴没有交点。 26、指数运算与指数函数: ①指数的性质与运算法则: ;;;;;;②根式的性质: ;; ②指数函数的定义: 函数叫做指数函数。 ③指数函数的图象和性质: 图 象 性 质 (1)定义域为,值域为。 (2)图象都经过点,即当0时,1。 当时,; 当时,。 当时,; 当时,。 在上是增函数。 在上是减函数。 27、对数运算与对数函数: ①指数与对数的相互转化: (其中且),读做以为底的对数,其中叫底数,叫真数,且; ②对数基本性质: ;;零和负数没有对数。 ③运算性质: ;; 。 (这些性质均保持底数不变) ④对数恒等式: (且,) ;;。 ⑤对数的换底公式: ;(取头取尾去中间); ⑥特殊的对数: 常用对数(以10为底的对数),简记为; 自然对数(以无理数为底的对数),简记为; ⑦对数函数: (1)定义式: 函数叫做对数函数。 (2)对数函数的图象和性质: 图 象 性 质 (1)定义域,值域为。 (2)图象都经过点,即当1时,0。 当时,; 当时,。 当时,; 当时,。 在上是增函数。 在上是减函数。 28、幂函数 ①幂函数的定义: 形如的函数叫做幂函数(为常数,是自变量)。 ②性质: 当时,幂函数图象都过点点、且在第一象限都是增函数;当时,幂函数图象总是经过点点、且在第一象限都是减函数。 29、函数与方程的关系: (1)函数的零点的概念: 对于函数,我们把使方程的实数叫做函数的零点。 即函数有零点方程有解函数的图象与轴有交点。 (结合函数的图象用数形结合法求解) (2)零点存在的条件: 如果函数在区间上的图象是连续的曲线,则函数在区间上存在零点的条件是; (3)求函数零点的方法: ①直接解方程;②利用图象求其与轴的交点(交点的横坐标即是零点);③将方程变为两个函数,通过图象看它们的交点情况(同时可以知道零点的个数);④可通过二分法求函数的零点的近似值。 结束语: 希望同学们认真复习,争取在期中考试中取得好成绩,开心过好高一每一天! 请记住: 不拼不博,等于白活;付出才有回报! ! 祝大家学习进步! ! ! 7
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