Proakis的数字通信第四版的习题答案中文版.doc

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2.9根据柯西分布有

当很大时，所以有

（b）

当

当，

因此有：

2.10（a）

（b）

（c）因为n→∞,不是高斯分布，因此中心极限定理不适用，原因是柯

西分布没有有限的差异。

2.11假定是实值随机过程。

复值过程的处理也类似。

（a）

（b）当x（t）,y（t）不相关时，

同理

因此

（3）当x（t）,y（t）不相关并且零均值时：

2.12随机过程x（t）的功率谱密度为：

滤波器输出功率谱密度为：

因此滤波器输出总功率为：

2.14

令

因此

2.16滤波器的传递函数为:

（a）

（b）

令a=RC,v=2πf.那么

2.19因为

输出序列的自相关：

这里的最后等式来自于X（n）的自相关函数：

因此

离散时间系统的频率响应为：

综上，系统输出的功率密度谱为：

2.20已知

功率密度谱为：

2.21本题中引用下标d表示离散过程，下标a表示连续时间过程，同样，f表示模拟频率。

fd表示离散频率。

（a）

因此取样信号的自相关函数等于X（t）的取样自相关函数。

（b）

令fd=fT，则有：

又因为离散时间的自相关函数是它的功率谱密度的反变换，于是有：

比较

（1）,

（2）:

得

（c）从（3）式可以得出：

否则出现混叠。

2.22（a）

（b）如果那么：

K=0

其他

因此序列X（n）是白噪声序列，T的最小值可以从下图的取样过程的功率谱密度得到

为了得到一个谱平坦序列，最大的抽样速率应满足：

（c）可由得到。

因此，

2.23假设那么：

这里Y（f）是y（t）的傅里叶变换，因为：

又

有：

当f=0时：

2.24

由于G=1，有

对低通滤波器，可得到：

将H（f）代入可得下式

3.4要证而

利用不等式

当且仅当可得

因为

3.6通过定义，差熵为：

对均匀分布随机变量

（a）a=1,H（X）=0

（b）a=4,H（X）=log4=2log2

（c）a=1/4,H（X）=log=-2log2

3.7（a）

（b）每信源字符的平均二进制个数为：

（c）信源熵为：

通过比较，信源熵要少于每个码字的平均长度。

3.9（a）

（b）

3.11（a）P（x）可以通过求得。

因此

类似地可证明

（b）利用不等式和，可以得到

将不等式两边乘以P（x,y）并对x，y求和，即可得

故有

当=1时取等号。

（c）

从（b）联立两个关系式可得：

当x，y独立取等号。

3.13

对于平稳过程和中n是独立的，因此就有

3.18在给定的下，的条件互信息可定义为：

又

因为有：

3.19假设a>0，已知Y=aX+b是线性变换，

有

令那么

同理，当a<0时，有：

3.20线性变换

因为{yi}和{xi}有相同的概率分布，即有

因此DMS的熵通过线性变换是不产生影响的。

3.21（a）霍夫曼码的设计如下，

平均比特率：

（b）一次编码两个电平符号，霍夫曼码的设计如下：

每电平对的二进制平均比特数为：

一个电平的平均比特数为：

（c）

因为

3.25采用Lempel-Ziv编码方法分解题中序列，可以得到一下码段：

0,00,1,001,000,0001,10,00010,0000,0010,00000,101,00001,000000,11,01,0000000,110,...

码段数是18，对每一码段需要5位加一个附加位来表征一个新的信源输出。

3.27因为可得

下图描述了R（D）在取0，1，2，3时的值，从图中可看出，增加，失真率也在增加。

3.30（a）

由于X,G是相互独立，因此有p（x,g）=p（x）p（g）,p（x|g）=p（x）.

（b）

因为X,G是相互独立，所以Y也是独立，

由于Y=X+G，有

所以：

这里，利用了

从H（Y）,H（Y|X），

3.31

3.36

3.38一阶预测器系数a11对预测数据的预测误差的正交性可使得均方误差减小：

最小均方误差为：

（b）对二阶预测器，

根据Levinson-Durbin算法

最小均方误差为：

3.39

如果用相同的间隔长度分别量化，所需要的电平数为:

比特数：

利用矢量量化，有，，比特差：

3.41X,Y的联合概率密度函数为：

边缘分布P（x）：

当，

当，

的图如下:

根据对称性：

（b）

总的失真为

每对（x,y）所要的比特数为：

（c）采用矢量量化，失真度D

4.2

这里h（t）=,

它的傅里叶反变换：

而

4.3（a）

然而，因此有：

（b）,

从（a）的结果有

4.5从傅里叶变换特性知道，如果x（t）是实值的，那么它的傅里叶变换满足，

因此为实值的条件是：

。

对于带通信号，有。

而，满足此条件的说明是实值低通信号，等效的带通信号正频部分在中心频率附近应该具有埃尔米特对称性，但一般来讲，带通信号不满足这个特性，因此，对应的低通信号是复值信号。

4.6利用估计理论中基于均方误差准则的结论，当误差正交于级数展开式的每一个函数时，获得的最小值，因此:

因为函数是正交的，

（1）式只存在k=n的部分即可简化为：

也即有

相应的残余误差为：

4.9信号波形的能量为：

相关系数：

4.10（a）波形是正交的，只要证明

因此是正交的。

（b）先确定加权系数

由上看到，从信号波形，n=1，2，3来看，是正交的，因此它不能表示为这些函数的线性组合。

4.11（a）作为正交基函数集，考虑集合：

用矩阵表示4个波形为：

因此波形的维数是4.

（b）波形由向量表示为：

（c）第1，2向量之间的距离为：

同理：

因此，任意两个向量之间的最小距离为

4.13的功率谱密度从2.14题有：

Y（t）的功率谱密度如图：

4.14

（a）因为每个序列信号速率是1/2T，g（t）的间隔为2T，在2nTt2nT+T，

（b）功率谱密度：

这里：

又因为，很容易得到

（c）上述功率谱密度与MSK是相同的，因此MSK可以产生交错四相PSK信号，其中g（t）是半个周期的正弦脉冲。

4.16

对于u（t）是广义平稳，必须有的条件。

4.17第一个基函数为：

第二个基函数：

所以：

表示的能量，

第三个基函数：

所以有

第四个基函数

4.20的自相关函数：

令，那么：

4.21

（a）因为，所以有：

每个符号概率，信号空间为：

（b）

序列包含的独立符号为：

所以

（c）转移矩阵为：

相应的马尔可夫链：

4.22（a）

序列与随机变量不相关，所以有：

（b）

而：

因此有：

（c）如果取0，1并且等概，那么E（an）=1/2，

则有：

4.24k=2，

为了简化计算，定义，有：

当时，的乘积项可以忽略。

那么就有：

类似地，对（用m代替n），如果n（m）是偶数，，对于所有的，除了，在这种情况下：

对于的乘积项可以忽略，因为没有频谱重叠，因此：

和MSK信号比较，这个信号在频谱上有冲击脉冲。

4.26QPRS信号：

（a）同4.20题，序列可以取P（Bn=2）=P（Bn=−2）=1/4,P（Bn=0）=1/2

对序列，因为两个序列是独立的，有P{Bn=i,Cn=j}=P{Bn=1}P{Cn=j}

信号空间：

（b）如果令Zn=Bn+jCn，

因为序列Bn,Cn是独立的，具有相同的统计特性，有：

，有

（c）马儿可夫链及转移概率：

4.28相位树图：

从相位树图模得状态网格图：

状态图：

4.31脉冲Ck（t）定义为：

脉冲Ck（t）的持续时间

只需用找到使得S=L（2−ak,n）−n,易知=L-1，如果所有的，n=0,1,L-1是0，

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

4.33

如果，则。

因此可以充足的消除线性频谱。

假想，，例如，，那么就有，s（t）是单脉冲。

然而，如果对所有的n，S（n/T）=0，线性频谱消失。

一个单脉冲就满足这个条件，如下图：

在此种情况下，所有对所有n，S（n/T）=0，所以条件是不必要的。

4.34有，

（b）对非独立的序列，功率谱密度S（t）,

然而

因此：

需要

结果的功率谱：

（c）引入零点的条件在f=l/4T，=±1,±2,...得到，不是所有的都满足，通过预编码可以避免这个情况，设

bn=an+kan−4。

类似于（b）,k=-1，在1/4T的倍数处出现频谱的零点。

4.36FSK的功率谱密度可以通过等式（4-4-60）且K=2，p0=p1=1/2得到，因此在这个条件下，载波的相位是确定的，可以得到：

这里是的傅里叶变换，特定情况下：