高中数学人教A版选修44创新应用教学案 第一讲 第1节 平面直角坐标系 Word版含答案.docx
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高中数学人教A版选修44创新应用教学案第一讲第1节平面直角坐标系Word版含答案
2019-2020年高中数学人教A版选修4-4创新应用教学案:
第一讲第1节平面直角坐标系Word版含答案
1.平面直角坐标系
(1)平面直角坐标系的作用
通过直角坐标系,平面上的点与坐标(有序实数对)、曲线与方程建立了联系,从而实现了数与形的结合.
(2)坐标法解决几何问题的“三部曲”
第一步:
建立适当坐标系,用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素,将几何问题转化为代数问题;第二步:
通过代数运算解决代数问题;第三步:
把代数运算结果翻译成几何结论.
2.平面直角坐标系中的伸缩变换
设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:
的作用下,点P(x,y)对应到点P′(x′,y′),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.
[问题思考]
1.用坐标法解决几何问题时,坐标系的建立是否是唯一的?
提示:
对于同一个问题,可建立不同的坐标系解决,但应使图形上的特殊点尽可能多地落在坐标轴,以便使计算更简单、方便.
2.伸缩变换中的系数λ,μ有什么特点?
在伸缩变换下,平面直角坐标系是否发生变化?
提示:
伸缩变换中的系数λ>0,μ>0,在伸缩变换下,平面直角坐标系保持不变,只是对点的坐标进行伸缩变换.
已知Rt△ABC,|AB|=2a(a>0),求直角顶点C的轨迹方程.
[精讲详析] 解答此题需要结合几何图形的结构特点,建立适当的平面直角坐标系,然后设出所求动点的坐标,寻找满足几何关系的等式,化简后即可得到所求的轨迹方程.
以AB所在直线为x轴,AB的中点为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系,则有
A(-a,0),B(a,0),设顶点C(x,y).
法一:
由△ABC是直角三角形可知|AB|2=|AC|2+|BC|2,即(2a)2=(x+a)2+y2+(x-a)2+y2,化简得x2+y2=a2.依题意可知,x≠±a.
故所求直角顶点C的轨迹方程为x2+y2=a2(x≠±a).
法二:
由△ABC是直角三角形可知AC⊥BC,所以kAC·kBC=-1,则·=
-1(x≠±a),化简得直角顶点C的轨迹方程为x2+y2=a2(x≠±a).
法三:
由△ABC是直角三角形可知|OC|=|OB|,且点C与点B不重合,所以=a(x≠±a),化简得直角顶点C的轨迹方程为x2+y2=a2(x≠±a).
求轨迹方程,其实质就是根据题设条件,把几何关系通过“坐标”转化成代数关系,得到对应的方程.
(1)求轨迹方程的一般步骤是:
建系→设点→列式→化简→检验.
(2)求轨迹方程时注意不要把范围扩大或缩小,也就是要检验轨迹的纯粹性和完备性.
(3)由于观察的角度不同,因此探求关系的方法也不同,解题时要善于从多角度思考问题.
1.已知线段AB与CD互相垂直平分于点O,|AB|=8,|CD|=4,动点M满足|MA|·|MB|=|MC|·|MD|,求动点M的轨迹方程.
解:
以O为原点,分别以直线AB,CD为x轴、y轴建立直角坐标系,则A(-4,0),B(4,0),C(0,2),D(0,-2).
设M(x,y)为轨迹上任一点,则
|MA|=,|MB|=,
|MC|=,|MD|=,
∴由|MA|·|MB|=|MC|·|MD|,可得
=.
化简,得y2-x2+6=0.
∴点M的轨迹方程为x2-y2=6.
已知△ABC中,AB=AC,BD、CE分别为两腰上的高.求证:
BD=CE.
[精讲详析] 本题考查坐标法在几何中的应用.解答本题可通过建立平面直角坐标系,将几何证明问题转化为代数运算问题.
如图,以BC所在直线为x轴,BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系.
设B(-a,0),C(a,0),A(0,h).
则直线AC的方程为y=-x+h,即:
hx+ay-ah=0.
直线AB的方程为y=x+h,
即:
hx-ay+ah=0.
由点到直线的距离公式:
|BD|=,|CE|=,
∴|BD|=|CE|,
即BD=CE.
(1)建立适当的直角坐标系,将平面几何问题转化为解析几何问题,即“形”转化为“数”,再回到“形”中,此为坐标法的基本思想,务必熟练掌握.
(2)建立坐标系时,要充分利用图形的几何特征.例如,中心对称图形,可利用它的对称中心为坐标原点;轴对称图形,可利用它的对称轴为坐标轴;题设中有直角,可考虑以两直角边所在的直线为坐标轴等.
2.已知△ABC中,BD=CD,求证:
AB2+AC2=2(AD2+BD2).
证明:
以A为坐标原点O,AB所在直线为x轴,建立平面直角坐系xOy,则A(0,0),设B(a,0),C(b,c),
则D(,),
∴AD2+BD2=+++
=(a2+b2+c2),
AB2+AC2=a2+b2+c2.
∴AB2+AC2=2(AD2+BD2).
在平面直角坐标系中,求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形是什么形状?
(1)y2=2x;
(2)x2+y2=1.
[精讲详析] 本题考查伸缩变换的应用,解答此题需要先根据伸缩变换求出变换后的方程,然后再判断图形的形状.
由伸缩变换可知
(1)将代入y2=2x,可得4y′2=6x′,
即y′2=x′.
即伸缩变换之后的图形还是抛物线.
(2)将代入x2+y2=1,得(3x′)2+(2y′)2=1,
即+=1,
即伸缩变换之后的图形为焦点在y轴上的椭圆.
利用坐标伸缩变换φ:
求变换后的曲线方程,其实质是从中求出然后将其代入已知的曲线方程求得关于x′,y′的曲线方程.
3.将圆锥曲线C按伸缩变换公式变换后得到双曲线x′2-y′2=1,求曲线C的方程.
解:
设曲线C上任意一点P(x,y),通过伸缩变换后的对应点为P′(x′,y′),
由得
代入x′2-y′2=1得()2-()2=1,即-=1为所求.
本课时考点常以解答题(多出现在第
(1)小问)的形式考查轨迹方程的求法,湖北高考将圆锥曲线的类型讨论同轨迹方程的求法相结合,以解答题的形式考查,是高考命题的一个新热点.
[考题印证]
(湖北高考改编)设A是单位圆x2+y2=1上的任意一点,l是过点A与x轴垂直的直线,D是直线l与x轴的交点,点M在直线l上,且满足|DM|=m|DA|(m>0,且m≠1).当点A在圆上运动时,记点M的轨迹为曲线C.求曲线C的方程,判断曲线C为何种圆锥曲线,并求其焦点坐标.
[命题立意] 本题考查圆锥曲线的相关知识以及轨迹方程的求法.
[解]
如图,设M(x,y),A(x0,y0),则由|DM|=m|DA|(m>0,且m≠1),可得x=x0,|y|=m|y0|,所以x0=x,|y0|=|y|. ①
因为A点在单位圆上运动,所以x+y=1.②
将①式代入②式即得所求曲线C的方程为x2+=1(m>0,且m≠1).
因为m∈(0,1)∪(1,+∞),所以
当0<m<1时,曲线C是焦点在x轴上的椭圆,
两焦点坐标分别为(-,0),(,0);
当m>1时,曲线C是焦点在y轴上的椭圆,
两焦点坐标分别为(0,-),(0,).
一、选择题
1.y=cosx经过伸缩变换后,曲线方程变为( )
A.y′=3cos B.y′=3cos2x′
C.y′=cosD.y′=cos2x′
解析:
选A 由得
又∵y=cosx,
∴y′=cos,即y′=3cos.
2.直线2x+3y=0经伸缩变换后变为x′+y′=0,则该伸缩变换为( )
A.B.
C.D.
解析:
选B 设变换为,
将其代入方程x′+y′=0,得,
λx+μy=0.
又∵2x+3y=0,∴λ=2,μ=3.
即
3.将一个圆作伸缩变换后所得到的图形不可能是( )
A.椭圆B.比原来大的圆
C.比原来小的圆D.双曲线
解析:
选D 由伸缩变换的意义可得.
4.已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果动点P满足|PA|=2|PB|,则点P的轨迹所围成的图形的面积等于( )
A.πB.4π
C.8πD.9π
解析:
选B 设P点的坐标为(x,y),
∵|PA|=2|PB|,
∴(x+2)2+y2=4[(x-1)2+y2].
即(x-2)2+y2=4.
故P点的轨迹是以(2,0)为圆心,以2为半径的圆,
它的面积为4π.
二、填空题
5.将点P(2,3)变换为点P′(1,1)的一个伸缩变换公式为________.
解析:
设伸缩变换为,
由,解得∴
答案:
6.将对数曲线y=log3x的横坐标伸长到原来的2倍得到的曲线方程为________.
解析:
设P(x,y)为对数曲线y=log3x上任意一点,变换后的对应点为P′(x′,y′),由题意知伸缩变换为,
∴代入y=log3x得y′=log3x′,
即y=log3.
答案:
y=log3
7.把圆x2+y2=16沿x轴方向均匀压缩为椭圆x′2+=1,则坐标变换公式是________.
解析:
设φ:
则代入x2+y2=16得+=1.
∴16λ2=1,16μ2=16.
∴故
答案:
8.已知A(2,-1),B(-1,1),O为坐标原点,动点M满足
,其中m,n∈R,且2m2-n2=2,则M的轨迹方程为________.
解析:
设M(x,y),则(x,y)=m(2,-1)+n(-1,1)=(2m-n,n-m),∴又2m2-n2=2,消去m,n得-y2=1.
答案:
-y2=1
三、解答题
9.在同一平面直角坐标系中,将曲线x2-36y2-8x+12=0变成曲线x′2-y′2-4x′+3=0,求满足条件的伸缩变换.
解:
x2-36y2-8x+12=0可化为
()2-9y2=1.①
x′2-y′2-4x′+3=0可化为
(x′-2)2-y′2=1.②
比较①②,可得
即
所以将曲线x2-36y2-8x+12=0上所有点的横坐标变为原来的,纵坐标变为原来的3倍,就可得到曲线x′2-y′2-4x′+3=0的图象.
10.在正三角形ABC内有一动点P,已知P到三顶点的距离分别为|PA|,|PB|,|PC|,且满足|PA|2=|PB|2+|PC|2,求点P的轨迹方程.
解:
以BC的中点为原点,BC所在的直线为x轴,BC的垂直平分线为y轴,建立如图所示的直角坐标系,设点P(x,y),B(-a,0),C(a,0),A(0,a),(y>0,a>0)用点的坐标表示等式
|PA|2=|PB|2+|PC|2,
有x2+(y-a)2=(x+a)2+y2+(x-a)2+y2,
化简得x2+(y+a)2=(2a)2,
即点P的轨迹方程为x2+(y+a)2=4a2(y>0).
11.已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线y=x+2相切.
(1)求a与b;
(2)设该椭圆的左、右焦点分别为F1和F2,直线l1过F2且与x轴垂直,动直线l2与y轴垂直,l2交l1于点P.求线段PF1的垂直平分线与l2的交点M的轨迹方程,并指明曲线类型.
解:
(1)∴e=,
∴e2===,
∴=.
又圆x2+y2=b2与直线y=x+2相切,
∴b==.
∴b2=2,a2=3.
因此,a=,b=.
(2)由
(1)知F1,F2两点的坐标分别为(-1,0),(1,0),由题意可设P(1,t).
那么线段PF1的中点为N(0,).
设M(x,y),由于MN―→=(-x,-y),
PF1―→=(-2,-t),则
,消去t得所求轨迹方程为y2=-4x,曲线类型为抛物线.
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