高中数学圆锥曲线试题精选含答案.docx
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高中数学圆锥曲线试题精选含答案
.
高考圆锥曲线试题精选
一、选择题:
(每小题5分,计50分)
1、(2008
x2
y2
1的焦距为(
)
海南、宁夏文)双曲线
2
10
A.32
B.4
2
C.3
3
D.4
3
2.
(
2004
全国卷Ⅰ文、理)椭圆x2
y
2
1
的两个焦点为
1、
F
2,过
F
1作垂直于x轴的
4
F
直线与椭圆相交,一个交点为
P,则|PF2|=(
)
A.
3
B.3
C.7
D.4
2
2
3.(2006辽宁文)方程2x2
5x
2
0
的两个根可分别作为(
)
A.一椭圆和一双曲线的离心率
B.两抛物线的离心率
C.一椭圆和一抛物线的离心率
D.两椭圆的离心率
4.(2006四川文、理)直线y=x-3
与抛物线y2
4x交于A、B两点,过A、B两点向
抛物线的准线作垂线,垂足分别为
P、Q
,则梯形APQB的面积为(
)
(A)48.
(B)56
(C)64
(D)72.
5.(2007福建理)以双曲线x2
y2
1的右焦点为圆心,且与其渐近线相切的圆的方程是
9
16
(
)
A.
B.
C.
D.
6.(2004全国卷Ⅳ理)已知椭圆的中心在原点,离心率
e
1
,且它的一个焦点与抛物线
2
y2
4x的焦点重合,则此椭圆方程为(
)
A.x2
y2
1
B.x2
y2
1
C.x2
y2
1
D.x2
y2
1
4
3
8
6
2
4
7.(2005湖北文、理)双曲线x2
y2
1(mn0)离心率为
2,有一个焦点与抛物线
y2
m
n
4x的焦点重合,则
mn的值为(
)
A.3
B.3
C.16
D.8
16
8
3
3
8.(2008
重庆文)若双曲线x2
16y2
1的左焦点在抛物线
y2=2px的准线上,则p的值为
3
p2
(
)
(A)2
(B)3
(C)4
(D)4
2
9.(2002北京文)已知椭圆
x2
y
2
1
和双曲线
x2
y
2
有公共的焦点,那么
3m2
5n2
2m2
3n2
1
双曲线的渐近线方程是(
)
A.x
15
B.y
15
x
C.x
3
y
D.y
3
y
2
4
x
2
4
.
.
10.(2003春招北京文、理)在同一坐标系中,方程x2
y2
与
by
2
0(ab0)
a2
b2
1ax
的曲线大致是
()
y
y
y
y
O
O
O
O
x
x
x
x
ABCD
二、填空题:
(每小
题5分,计20分)
11.(2005上海文)若椭圆长轴长与短轴长之比为
2,它的一个焦点是
2
15,0,则椭圆
的标准方程是_________________________
12.(2008江西文)已知双曲线x2
y2
1(a0,b0)的两条渐近线方程为
y
3
a2
b2
3x,
若顶点到渐近线的距离为
1,则双曲线方程为
.
13.(2007上海文)以双曲线x2
y2
1的中心为顶点,且以该双曲线的右焦点为焦点的
4
5
抛物线方程是
.
y
x
14.(2008天津理)已知圆C的圆心与抛物线
y2
4x的焦点关于直线
.
对称直线
4x
3y20与圆C相交于A,B两点,且AB
6,则圆C的方程
为
.
三、解答题:
(15—18题各13分,19、20
题各14分)
15.(2006北京文)椭圆C:
x2
y2
1(a
b
0)的两个焦点为F1,F2,点P在椭圆C上,
a2
b2
且PF1
F1F2,|PF1|4,|PF2|
14.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
3
3
(Ⅱ)若直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M,
交椭圆C于A,B两点,且A、B关于点M对称,
求直线
l
的方程.
.
16.(2005重庆文)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0),右顶点为(3,0)
.
.
(1)求双曲线C的方程;
(2)若直线l:
ykx2与双曲线C恒有两个不
同的交点A和B,且OAOB2(其中O为原点).求k的取值范围.
17.(2007安徽文)设
F
是抛物线
:
2=4
y
的焦点.
Gx
(Ⅰ)过点P(0,-4)作抛物线G的切线,求切线方程:
(Ⅱ)设、
B
为抛物线
G
上异于原点的两点,且满足FA·FB
0,延长
AF
、
BF
分别交抛物线
A
G于点C,D,求四边形
ABCD面积的最小值.
18.(2008辽宁文)在平面直角坐标系xOy中,点P到两点(0,3),(0,3)的距离之
和等于4,设点P的轨迹为C.(Ⅰ)写出C的方程;
.
.
(Ⅱ)设直线ykx1与C交于A,B两点.k为何值时OAOB?
此时AB的值是多
少?
.
.
y2
19.(2002广东、河南、江苏)A、B是双曲线x2-=1上的两点,点N(1,2)是线段AB
2
的中点
(1)求直线AB的方程;
(2)如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点,那么A、B、C、D四点是否共
圆?
为什么?
20.(2007福建理)如图,已知点F(1,0),直线l:
x=-1,P为平面上的动点,过P作
直线l的垂线,垂足为点Q,且=。
(1)求动点P的轨迹C
的方程;
(2)过点F的直线交轨迹C于A、B两点,交直线l于点M,
已知,,求的值。
.
.
“圆锥曲线与方程”单元测试(参考答案)
一、选择题:
(每小题5分,计50分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案D
C
A
A
A
A
A
C
D
A
二、填空题:
(每小题5
分,计20
分)
11.
x2
y2
1;
12.x2
3y2
1.
13.y2
12x.
14.
80
20
4
4
x2
(y
1)2
10.
三、解答题:
(15—18题各13分,19、20
题各14
分)
15..解:
(Ⅰ)因为点P在椭圆C上,所以
2a
PF1
PF2
6,a=3.
在Rt△PF1F2中,F1F2
2
PF1
2
2
5,故椭圆的半焦距c=
5,
PF2
从而b2=a2-c2=4,所以椭圆C的方程为
x2
y2
=1.
9
4
(Ⅱ)解法一:
设
A,B
的坐标分别为(
1,
1)、(
2,2).
x
y
x
y
已知圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5,所以圆心M的坐标为(-2,1).
从而可设直线l的方程为y=k(x+2)+1,
代入椭圆C的方程得(4+9k2)x2+(36k2+18k)x+36k2+36k-27=0.
.
.
x1
x2
18k2
9k
2.
因为A,B关于点M对称.,所以
4
9k2
2
解得k
8
,所以直线l
的方程为y
8
2)
1,
9
(x
9
即8
-9
y
+25=0.
(经检验,所求直线方程符合题意
)
x
(Ⅱ)
解法二:
已知圆的方程为(
x+2)2+(y-1)2=5,所以圆心M的坐标为(-
2,1).
设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).由题意x1
x2且
x12
y12
x22
y22
1,
②
9
4
1,①
9
4
由①-②得
(x1
x2)(x1
x2)
(y1
y2)(y1
y2)
0.
③
9
4
因为A、B关于点M对称,所以x1+x2=-4,y1+y2=2,
代入③得
y1
y2
=
8
8
,所以直线l
的方程为y-1=
8
x1
x2
,即直线
l的斜率为
(x+2),
9
9
9
即8x-9y+25=0.(经检验,所求直线方程符合题意
.)
16.解:
(Ⅰ)设双曲线方程为
x2
y2
1
(a
0,b
0).
a2
b2
由已知得a
3,c
2,再由a2
b2
22,得b2
1.
故双曲线C的方程为
x2
y2
1.
3
(Ⅱ)将y
kx
2代入x2
y2
1得(13k2)x2
6
2kx
9
0.
3
由直线l
与双曲线交于不同的两点得
1
3k2
0,
(6
2k)2
36(1
3k2)
36(1
k2)
0.
即k2
1且k2
1.①
3
设A(xA,yA),B(xB,yB),则xA
xB
6
2k2,xAxB
1
9
2
,
1
3k
3k
由OAOB
2得xAxB
yAyB
2,
而xAxB
yAyB
xAxB
(kxA
2)(kxB
2)
(k2
1)xAxB
2k(xA
xB)
2
2
9
6
2k
3k2
7
(k
1)13k2
2k1
3k2
2
3k2
1.
于是3k2
7
2,即
3k2
9
0,解此不等式得
1
k2
3.
②
3k2
1
1
3k2
1
3
由①、②得
k2
1.
3
故k的取值范围为(
1,
3)(
3,1).
x02
3
3
17.解:
(Ⅰ)设切点
Q(x0,
).由y
x
知抛物线在Q点处的切线斜率为
x0
,
4
2
2
故所求切线方程为
y
x02
x0(x
x
0),
即y
x0
x
x02
.
4
2
2
4
.
.
因为点P(0,-4)在切线上,所以
4
x02
x02
16,x0
4.所以切线方程为
y=±2x-4.
4
(Ⅱ)设A(x1,y1),C(x2,y2).
由题设知,直线
AC的斜率k存在,由对称性,不妨设
k>0.
因直线AC过焦点F(0,1),所以直线AC的方程为y=kx+1.
点A,C的坐标满足方程组
y
kx
1,
消去y,得x2
4kx
40,
x2
4y,
由根与系数的关系知
x1x2
4k,
x1x2
4.
AC
(x1x2)2
(y1
y2)2
1
k2
(x1
x2)2
4x1x2
4(1
k2).
因为AC
BD,所以BD的斜率为
1,从而BD的方程y
1x
1.
k
k
同理可求得
BD
4(1
(1)2)
4(1
k2).
4
k2
SABCD
1
8(1
k2)
8(k
2
2
1
32.
ACBD
k
2
k
2)
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