版高考数学第7章立体几何 72 空间几何体的表面积与体积.docx
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版高考数学第7章立体几何72空间几何体的表面积与体积
7.2 空间几何体的表面积与体积
[知识梳理]
1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
2.柱、锥、台和球的表面积和体积
[诊断自测]
1.概念思辨
(1)圆柱的一个底面积为S,侧面展开图是一个正方形,那么这个圆柱的侧面积是2πS.( )
(2)设长方体的长、宽、高分别为2a,a,a,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为3πa2.( )
(3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.( )
(4)已知球O的半径为R,其内接正方体的边长为a,则R=a.( )
答案
(1)×
(2)× (3)√ (4)√
2.教材衍化
(1)(必修A2P28A组T3)如图,在多面体ABCDEF中,已知ABCD是边长为1的正方形,且△ADE,△BCF均为正三角形,EF∥AB,EF=2,则该多面体的体积为( )
A.B.C.D.
答案 A
解析 如图,分别过点A,B作EF的垂线,垂足分别为G,H,连接DG,
CH,容易求得EG=HF=,AG
=GD=BH=HC=,
∴S△AGD=S△BHC=××1=,
∴V=VE-ADG+VF-BCH+VAGD-BHC=2VE-ADG+VAGD-BHC=×××2+×1=.故选A.
(2)(必修A2P29B组T1)若某几何体的三视图如图所示,则此几何体的表面积是________.
答案 72+16
解析 由三视图易知该几何体是由一个长方体和一个直四棱柱构成的组合体(如图所示).其表面积为2×4×3+2×2×2+(2+6)×2×2+2×4×2+4×6=72+16.
3.小题热身
(1)(2015·北京高考)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是( )
A.2+B.4+C.2+2D.5
答案 C
解析 根据三视图画出该空间几何体的立体图:
S△ABC=×2×2=2;
S△ABD=××1=;
S△CBD=××1=;
S△ACD=×2×=,所以
S表=S△ABC+S△ABD+S△CBD+S△ACD
=2+++=2+2.故选C.
(2)(2016·浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位:
cm),则该几何体的表面积是________cm2,体积是________cm3.
答案 72 32
解析 由几何体的三视图可得该几何体的直观图如图所示.该几何体由两个完全相同的长方体组合而成,其中AB=BC=2cm,BD=4cm,所以该几何体的体积V=2×2×4×2=32cm3,表面积S=(2×2×3+2×4×3)×2=36×2=72cm2.
题型1 空间几何体的侧面积与表面积
(2016·全国卷Ⅱ)下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为( )
A.20πB.24πC.28πD.32π
搞清组合体构成部分,分别求其表面积.
答案 C
解析 由三视图可得圆锥的母线长为=4,∴S圆锥侧=π×2×4=8π.又S圆柱侧=2π×2×4=16π,S圆柱底=4π,∴该几何体的表面积为8π+16π+4π=28π.故选C.
方法技巧
几何体表面积的求法
1.简单组合体:
应搞清各构成部分,并注意重合部分的删或补.
2.若以三视图形式给出,解题的关键是根据三视图,想象出原几何体及几何体中各元素间的位置关系及数量关系.
提醒:
求组合体的表面积时,组合体的衔接部分的面积要减去.
冲关针对训练
(2016·全国卷Ⅲ)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为( )
A.18+36B.54+18
C.90D.81
答案 B
解析 由三视图可知,该几何体的底面是边长为3的正方形,高为6,侧棱长为3的平行六面体,则该几何体的表面积S=2×32+2×3×3+2×3×6=54+18.故选B.
题型2 空间几何体的体积
角度1 根据几何体的三视图计算体积
(2017·浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位:
cm),则该几何体的体积(单位:
cm3)是( )
A.+1
B.+3
C.+1
D.+3
还原几何体,分清组合体构成部分.
答案 A
解析 由几何体的三视图可知,该几何体是一个底面半径为1,高为3的圆锥的一半与一个底面为直角边长是的等腰直角三角形,高为3的三棱锥的组合体,
∴该几何体的体积
V=××12×3+××××3=+1.
故选A.
角度2 根据几何体的直观图计算体积
中国古代数学名著《九章算术》中记载:
“今有羡除”.刘徽注:
“羡除,隧道也.其所穿地,上平下邪.”现有一个羡除如图所示,四边形ABCD、ABFE、CDEF均为等腰梯形,AB∥CD∥EF,AB=6,CD=8,EF=10,EF到平面ABCD的距离为3,CD与AB间的距离为10,则这个羡除的体积是( )
A.110B.116C.118D.120
此题应采用割补法求解.
答案 D
解析 如图,过点A作AP⊥CD,AM⊥EF,过点B作BQ⊥CD,BN⊥EF,垂足分别为P,M,Q,N,连接PM,QN,将一侧的几何体补到另一侧,组成一个直三棱柱,底面积为×10×3=15.棱柱的高为8,体积V=15×8=120.故选D.
方法技巧
空间几何体体积问题的常见类型及解题策略
1.若以三视图的形式给出几何体,则应先根据三视图得到几何体的直观图,然后根据条件求解.如角度1典例.
2.若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出,则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解如角度2典例.
冲关针对训练
1.(2014·全国卷Ⅱ)如图,网格纸上正方形小格的边长为1(表示1cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3cm,高为6cm的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )
A.B.C.D.
答案 C
解析 由三视图知该零件是两个圆柱的组合体.一个圆柱的底面半径为2cm,高为4cm;另一个圆柱的底面半径为3cm,高为2cm.则零件的体积V1=π×22×4+π×32×2=34π(cm3).而毛坯的体积V=π×32×6=54π(cm3),因此切削掉部分的体积V2=V-V1=54π-34π=20π(cm3),所以==.故选C.
2.(2017·青岛模拟)如图,在△ABC中,AB=8,BC=10,AC=6,DB⊥平面ABC,且AE∥FC∥BD,BD=3,FC=4,AE=5,则此几何体的积体为________.
答案 96
解析 用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱,使AA′=BB′=CC′=8,
所以V几何体=V三棱柱=×S△ABC×AA′=×24×8=96.
题型3 几何体与球的切、接问题
(2015·全国卷Ⅱ)已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为( )
A.36πB.64πC.144πD.256π
变化中寻求不变的量.
答案 C
解析 ∵S△OAB是定值,且VO-ABC=VC-OAB,
∴当OC⊥平面OAB时,VC-OAB最大,即VO-ABC最大.设球O的半径为R,则(VO-ABC)max=×R2×R=R3=36,∴R=6,∴球O的表面积S=4πR2=4π×62=144π.故选C.
[条件探究1] 若典例中的条件变为“直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上”,若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,求球O的表面积.
解 将直三棱柱补形为长方体ABEC-A1B1E1C1,
则球O是长方体ABEC-A1B1E1C1的外接球.
所以体对角线BC1的长为球O的直径.
因此2R==13.
故S球=4πR2=169π.
[条件探究2] 若将典例条件变为“正四棱锥的顶点都在球O的球面上”,若该棱锥的高为4,底面边长为2,求该球的体积.
解 如图,设球心为O,半径为r,
则在Rt△AOF中,(4-r)2+()2=r2,
解得r=,
则球O的体积V球=πr3=π×3=.
方法探究
空间几何体与球接、切问题的求解方法
1.与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接.球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题,球与多面体的组合,通过多面体的一条侧棱和球心,或“切点”“接点”作出截面图,把空间问题化归为平面问题.
2.若球面上四点P,A,B,C中PA,PB,PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直,可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题.如条件探究1.
冲关针对训练
1.(2017·全国卷Ⅲ)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为( )
A.πB.C.D.
答案 B
解析 设圆柱的底面半径为r,球的半径为R,且R=1,
由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知,
r,R及圆柱的高的一半构成直角三角形.
∴r==.
∴圆柱的体积为V=πr2h=π×1=.故选B.
2.正三棱锥A-BCD内接于球O,且底面边长为,侧棱长为2,则球O的表面积为________.
答案
解析 如图,设三棱锥A-BCD的外接球的半径为r,M为正△BCD的中心,因为BC=CD=BD=,AB=AC=AD=2,AM⊥平面BCD,所以DM=1,AM=,又OA=OD=r,所以(-r)2+1=r2,解得r=,所以球O的表面积S=4πr2=.
1.(2017·全国卷Ⅱ)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为( )
A.90πB.63πC.42πD.36π
答案 B
解析 (割补法)由几何体的三视图可知,该几何体是一个圆柱截去上面虚线部分所得,如图所示.
将圆柱补全,并将圆柱从点A处水平分成上下两部分.由图可知,该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的,所以该几何体的体积V=π×32×4+π×32×6×=63π.故选B.
2.(2017·山西五校3月联考)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:
“今有刍甍,下广三丈,袤四丈;上袤二丈,无广;高一丈,问:
积几何?
”其意思为:
“今有底面为矩形的屋脊柱的楔体,下底面宽3丈,长4丈;上棱长2丈,高一丈,问它的体积是多少?
”已知1丈为10尺,现将该楔体的三视图给出,其中网格纸上小正方形的边长为1丈,则该楔体的体积为( )
A.5000立方尺B.5500立方尺
C.6000立方尺D.6500立方尺
答案 A
解析 该楔体的直观图如图中的几何体ABCDEF.取AB的中点G,CD的中点H,连接FG,GH,HF,则该几何体的体积为四棱锥F-GBCH与三棱柱ADE-GHF的体积之和.又可以将三棱柱ADE-GHF割补成高为EF,底面积为S=×3×1=平方丈的一个直棱柱,故该楔体的体积V=×2+×2×3×1=5立方丈=5000立方尺.故选A.
3.(2018·河南中原名校联考)如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方体,四棱锥S-ABCD是高为1的正四棱锥,若点S,A1,B1,C1,D1在同一个球面上,则该球的表面积为( )
A.B.
C.D.
答案 D
解析 作如图所示的辅助线,其中O为球心,设OG1=x,则OB1=SO=2-x.易知B1G1=,在Rt△OB1G1中,OB=G1B+OG,则(2-x)2=x2+2,解得x=,所以球的半径R=OB1=,所以球的表面积为S=4πR2=.故选D.
4.(2017·全国卷Ⅰ)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,SC是球O的直径.若平面SCA⊥平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥S-ABC的体积为9,则球O的表面积为________.
答案 36π
解析 如图,连接OA,OB.
由SA=AC,SB=BC,SC为球O的直径,知OA⊥SC,OB⊥SC.
由平面SCA⊥平面SCB,平面SCA∩平面SCB=SC,OA⊥SC,知OA⊥平面SCB.
设球O的半径为r,则
OA=OB=r,SC=2r,
∴三棱锥S-ABC的体积
V=×·OA=,
即=9,∴r=3,∴S球表=4πr2=36π.
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一、选择题
1.(2017·东北五校联考)如左图所示,在三棱锥D-ABC中,已知AC=BC=CD=2,CD⊥平面ABC,∠ACB=90°.若其正视图、俯视图如右图所示,则其侧视图的面积为( )
A.B.2C.D.
答案 D
解析 由几何体的结构特征和正视图、俯视图,得该几何体的侧视图是一个直角三角形,其中一直角边为CD,其长度为2,另一直角边为底面三角形ABC的边AB上的中线,其长度为,则其侧视图的面积为S=×2×=,故选D.
2.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A.16+8πB.8+8πC.16+16πD.8+16π
答案 A
解析 由三视图可知该几何体由长方体和圆柱的一半组成(如图),其中长方体的长、宽、高分别为4,2,2,圆柱的底面半径为2,高为4.所以该几何体的体积V=4×2×2+π×22×4=16+8π.故选A.
3.(2018·合肥质检)一个几何体的三视图如图所示(其中正视图的弧线为四分之一圆周),则该几何体的表面积为( )
A.72+6πB.72+4πC.48+6πD.48+4π
答案 A
解析 由三视图知,该几何体由一个正方体的部分与一个圆柱的部分组合而成(如图所示),其表面积为16×2+(16-4+π)×2+4×(2+2+π)=72+6π.故选A.
4.三棱锥P-ABC的四个顶点都在体积为的球的表面上,底面ABC所在的小圆面积为16π,则该三棱锥的高的最大值为( )
A.4B.6C.8D.10
答案 C
解析 依题意,设题中球的球心为O、半径为R,△ABC的外接圆半径为r,则=,解得R=5,由πr2=16π,解得r=4,又球心O到平面ABC的距离为=3,因此三棱锥P-ABC的高的最大值为5+3=8.故选C.
5.(2017·广东广州一模)《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马;将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若三棱锥P-ABC为鳖臑,PA⊥平面ABC,PA=AB=2,AC=4,三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为( )
A.8πB.12πC.20πD.24π
答案 C
解析 如图,因为四个面都是直角三角形,所以PC的中点到每一个顶点的距离都相等,即PC的中点为球心O,易得2R=PC=,所以R=,球O的表面积为4πR2=20π.故选C.
6.(2016·山东高考)一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如图所示.则该几何体的体积为( )
A.+B.+C.+D.1+
答案 C
解析 由三视图可知四棱锥为正四棱锥,底面正方形的边长为1,四棱锥的高为1,球的直径为正四棱锥底面正方形的外接圆的直径,所以球的直径2R=,则R=,所以半球的体积为πR3=,又正四棱锥的体积为×12×1=,所以该几何体的体积为+.故选C.
7.(2018·河南郑州质检)某三棱锥的三视图如图所示,且三个三角形均为直角三角形,则xy的最大值为( )
A.32B.32C.64D.64
答案 C
解析 由三视图知三棱锥如图所示,底面ABC是直角三角形,AB⊥BC,PA⊥平面ABC,BC=2,PA2+y2=102,
(2)2+PA2=x2,因此xy=x=
x≤=64,当且仅当x2=128-x2,即x=8时取等号,因此xy的最大值是64.选C.
8.(2018·福建质检)空间四边形ABCD的四个顶点都在同一球面上,E,F分别是AB,CD的中点,且EF⊥AB,EF⊥CD.若AB=8,CD=EF=4,则该球的半径等于( )
A.B.C.D.
答案 C
解析 如图,连接BF,AF,DE,CE,因为AE=BE,EF⊥AB,所以AF=BF.同理可得EC=ED.又空间四边形ABCD的四个顶点都在同一球面上,所以球心O必在EF上,连接OA,OC.设该球的半径为R,OE=x,则R2=AE2+OE2=16+x2①,R2=CF2+OF2=4+(4-x)2②,由①②解得R=.故选C.
9.(2018·雁塔区校级期末)在六条棱长分别为2,3,3,4,5,5的所有四面体中,最大的体积是( )
A.B.C.D.2
答案 A
解析 由题意可知,由棱长2、3、3、4、5、5构成的四面体有如下三种情况:
下图中,由于32+42=52,即图中AD⊥平面BCD,
∴V1=××2×4=;
中间图,由于此情况的底面与上相同,但AC不与底垂直,故高小于4,于是得V2小于V1;
右图中,高小于2,底面积×5×=.
∴V3<××2=<.
∴最大体积为.故选A.
10.(2017·衡水中学三调)已知正方体ABCD-A′B′C′D′的外接球的体积为,将正方体割去部分后,剩余几何体的三视图如图所示,则剩余几何体的表面积为( )
A.+B.3+或+
C.2+D.+或2+
答案 B
解析 设正方体的棱长为a,依题意得,×=,解得a=1.由三视图可知,该几何体的直观图有以下两种可能,图1对应的几何体的表面积为+,图2对应的几何体的表面积为3+.故选B.
二、填空题
11.(2017·天津高考)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为________.
答案 π
解析 设正方体的棱长为a,则6a2=18,∴a=.
设球的半径为R,则由题意知2R==3,
∴R=.故球的体积V=πR3=×3=.
12.(2016·四川高考)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形,该三棱锥的正视图如图所示,则该三棱锥的体积是________.
答案
解析 由题意及正视图可知三棱锥的底面等腰三角形的底长为2,三棱锥的高为1,则三棱锥的底面积为××2=,
∴该三棱锥的体积为××1=.
13.(2017·江苏高考)如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切,记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则的值是________.
答案
解析 设球O的半径为R,
∵球O与圆柱O1O2的上、下底面及母线均相切,
∴圆柱O1O2的高为2R,圆柱O1O2的底面半径为R.
∴==.
14.(2018·太原模拟)已知三棱锥A-BCD中,AB=AC=BC=2,BD=CD=,点E是BC的中点,点A在平面BCD内的射影恰好为DE的中点,则该三棱锥外接球的表面积为________.
答案
解析 如图,作出三棱锥A-BCD的外接球,设球的半径为r,球心O到底面BCD的距离为d,DE的中点为F,连接AF,过球心O作AF的垂线OH,垂足为H,连接OA,OD,OE,AE.因为BD=,CD=,BC=2,所以BD⊥CD,则OE⊥平面BCD,OE∥AF,所以HF=OE=d.所以在Rt△BCD中,DE=1,EF=.
又AB=AC=BC=2,所以AE=,所以在Rt△AFE中,AF=,所以r2=d2+1=2+,解得r2=,所以三棱锥A-BCD的外接球的表面积S=4πr2=.
三、解答题
15.(2017·梅州一模)如图所示的多面体是由一个直平行六面体被平面AEFG所截后得到的,其中∠BAE=∠GAD=45°,AB=2AD=2,∠BAD=60°.
(1)求此多面体的全面积;
(2)求此多面体的体积.
解
(1)在△BAD中,∵AB=2AD=2,∠BAD=60°,
∴由余弦定理可得BD=,
则AB2=AD2+BD2,
∴AD⊥BD.
由已知可得,AG∥EF,AE∥GF,
∴四边形AEFG为平行四边形,
GD=AD=1,∴EF=AG=.
EB=AB=2,∴GF=AE=2.
过G作GH∥DC交CF于H,得FH=2,∴FC=3.
过G作GM∥DB交BE于M,得GM=DB=,ME=1,∴GE=2.
cos∠GAE==,∴sin∠GAE=.
S▱AEFG=2×××2×=.
该几何体的全面积S=+2××1×+×1×1+×2×2+×(1+3)×2+×(2+3)×1=++9.
(2)V多面体的体积=VA-BEGD+VG-BCD+VG-BCFE
=SBEGD·AD+S△BCD·DG+S四边形BCFE·BD
=·(DG+BE)·BD·AD+·BC·CD·sin60°·DG+·(BE+CF)·BC·BD=.
16.一几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位:
m).
(1)试画出它的直观图;
(2)求它的表面积和体积.
解
(1)直观图如图所示:
(2)由三视图可知该几何体是长方体被截去一个三棱柱,且该几何体的体积是以A1A,A1D1,A1B1为棱的长方体的体积的,
在直角梯形AA1B1B中,作BE⊥A1B1于E,则四边形AA1EB是正方形,∴AA1=BE=1,
在Rt△BEB1中,BE=1,EB1=1,
∴BB1=,
∴几何体的表面积
=1+2×1+2××(1+2)×1+1×+1
=7+(m2).
∴几何体的体积V=×1×2×1=(m3),
∴该几何体的表面积为(7+)m2,体积为m3.
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