届新高考版高考数学考点通关提升训练第九章第五讲 抛物线.docx
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届新高考版高考数学考点通关提升训练第九章第五讲抛物线
2021届新高考版高考数学考点通关提升训练
第九章 直线和圆的方程
第五讲 抛物线
1.[2019全国卷Ⅱ]若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆
=1的一个焦点,则p=( )
A.2B.3C.4D.8
2.[多选题]已知抛物线x2=
y的焦点为F,M(x1,y1),N(x2,y2)是抛物线上的两点,则下列结论正确的是( )
A.点F的坐标为(
0)
B.若直线MN过点F,则x1x2=-
C.若
=λ
则|MN|的最小值为
D.若|MF|+|NF|=
则线段MN的中点P到x轴的距离为
3.[2020安徽合肥高三调研]设抛物线C:
y2=2px(p>0)的焦点为F,斜率为k的直线过F交C于点A,B,
=2
则直线AB的斜率为( )
A.2
B.2
C.±2
D.±2
4.[2020广东高三四校联考]已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,O为坐标原点,点M,N为抛物线准线上相异的两点,且M,N两点的纵坐标之积为-4,直线OM,ON分别交抛物线于A,B两点,若A,F,B三点共线,则p= .
5.[2018全国卷Ⅲ]已知点M(-1,1)和抛物线C:
y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点.若∠AMB=90°,则k= .
6.[2020四川成都市毕业班摸底考试]已知抛物线C:
y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l.若位于x轴上方的动点A在准线l上,线段AF与抛物线C相交于点B,且
-|AF|=1,则抛物线C的标准方程为 .
7.[2020浙江温州九校第一次联考]已知抛物线y2=4x的焦点F,过点F作直线l交抛物线于A,B两点,则
= ,
-|BF|2的最大值为 .
考法1抛物线定义的应用
1已知抛物线y2=2x的焦点是F,点P是抛物线上的动点,若A(3,2),则|PA|+|PF|的最小值为 ,此时点P的坐标为 .
利用抛物线的定义可知|PF|等于点P到准线的距离,从而将|PA|+|PF|的最小值问题转化为点P到点A和到准线的距离之和最小的问题.
将x=3代入抛物线方程y2=2x,得y=±
.因为
>2,所以点A在抛物线内部,如图9-5-1所示.
作抛物线的准线l,过点P作PQ⊥l于点Q,则|PA|+|PF|=|PA|+|PQ|,(运用定义进行转化)
当PA⊥l,即A,P,Q三点共线时,|PA|+|PQ|最小,(两点之间线段最短)
最小值为
即|PA|+|PF|的最小值为
此时点P的纵坐标为2,代入y2=2x,得x=2,所以此时点P的坐标为(2,2).
1.
(1)[2017全国卷Ⅰ]已知F为抛物线C:
y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为( )
A.16B.14C.12D.10
(2)[2020湖北省部分重点中学联考]已知动圆P恒过定点(
0),且与直线x=-
相切,则动圆P的圆心轨迹M的方程为 .
考法2抛物线的标准方程及几何性质
2
(1)设抛物线C:
y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5.若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为
A.y2=4x或y2=8xB.y2=2x或y2=8x
C.y2=4x或y2=16xD.y2=2x或y2=16x
(2)[2020惠州高三第一次调研]已知F是抛物线C:
y=2x2的焦点,N是x轴上一点,线段FN与抛物线C相交于点M,若2
则|FN|=
A.
B.
C.
D.1
(1)思路一 设A(0,2),由以MF为直径的圆过点(0,2)得到
=0→由|MF|=5求出p值→得到抛物线C的方程
思路二 由以MF为直径的圆过点(0,2)得到点M的坐标→由圆与y轴相切求出p值→得到抛物线C的方程
思路三 由以焦半径为直径的圆恒与y轴相切得到点M的坐标→将点M的坐标代入抛物线方程求出p值→得到抛物线C的方程
(1)解法一 由已知得抛物线的焦点F(
0),设点A(0,2),抛物线上点M(x0,y0),则
=(
-2),
=(
y0-2).由已知得
·
=0,(由以MF为直径的圆过点(0,2)可得)
即
-8y0+16=0,得y0=4,M(
4).由|MF|=5,得
=5,又p>0,解得p=2或p=8,所以抛物线的方程为y2=4x或y2=16x.
解法二 因为以MF为直径的圆过点(0,2),所以点M在第一象限.由|MF|=xM+
=5,
得xM=5-
即M(5-
).
设以MF为直径的圆的圆心为N,则N的坐标为(
).(N为MF的中点)
因为点N的横坐标恰好等于圆的半径,所以圆与y轴相切于点(0,2),所以2=
即p2-10p+16=0,解得p=2或p=8,所以抛物线的方程为y2=4x或y2=16x.
解法三 易知点M在第一象限,由抛物线的定义得xM+
=5,即xM=5-
在抛物线中,以焦半径为直径的圆恒与y轴相切,由题意知切点为(0,2),则M点的纵坐标为4,将M(5-
4)代入抛物线方程得16=2p(5-
),即p2-10p+16=0,解得p=2或p=8,所以抛物线的方程为y2=4x或y2=16x.
(2)解法一 因为F是抛物线C:
y=2x2的焦点,所以F(0,
),抛物线C的准线方程为y=-
.如图
9-5-2,过点M作抛物线的准线的垂线,交x轴于点A,交抛物线C的准线于点B,则MA∥OF,所以
.因为2
所以
MA|=
×
|MF|=|MB|=
|FN|=3|FM|=
故选A.
解法二 因为F是抛物线y=2x2的焦点,所以F(0,
).设N(x0,0),则由2
可得M(
x0,
),代入抛物线方程,得
=2×(
x0)2,解得
则|FN|=
故选A.
(1)C
(2)A
2.[2017全国卷Ⅱ]已知F是抛物线C:
y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则|FN|= .
考法3直线与抛物线的综合问题
命题角度1 焦点弦问题
3如图9-5-3,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A,B,交其准线l于点C,若F是AC的中点,且|AF|=4,则线段AB的长为
A.5 B.6 C.
D.
如图9-5-4,设l与x轴交于点M,过点A作AD⊥l,交l于点D,由抛物线的定义知,|AD|=
|AF|=4.由F是AC的中点,知|AD|=2|MF|=2p,所以2p=4,解得p=2,所以抛物线的方程为y2=4x.
解法一 (判别式法)设A(x1,y1),B(x2,y2)(y1>0,y2<0),则|AF|=x1+
=x1+1=4,(此处运用了抛物线的焦半径公式)
所以x1=3,解得y1=2
可知A(3,2
),又F(1,0),所以直线AF的斜率k=
所以直线AF的方程为y=
(x-1),代入抛物线方程y2=4x,得3x2-10x+3=0,所以x1+x2=
于是|AB|=x1+x2+p=
.
解法二 (焦点弦性质法)设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AF|=x1+
=x1+1=4,(此处运用了抛物线的焦半径公式)
所以x1=3,又x1x2=
=1,(此处运用了抛物线焦点弦的相关性质)
所以x2=
于是|AB|=x1+x2+p=
.
解法三 (焦半径性质法)因为
=1,(此处运用了抛物线的焦半径的关系式)
且|AF|=4,所以|BF|=
所以|AB|=|AF|+|BF|=4+
.
C
命题角度2 直线与抛物线的综合应用
4在平面直角坐标系xOy中,抛物线C1:
x2=4y,直线l与抛物线C1交于A,B两点.
(1)若直线OA,OB的斜率之积为-
证明:
直线l过定点;
(2)如图9-5-5,若线段AB的中点M在曲线C2:
y=4-
x2(-2
x<2
)上,求|AB|的最大值.
条件与
目标
条件:
①抛物线C1:
x2=4y;②直线l与C1交于A,B两点;③直线OA,OB的斜率之积为-
;④线段AB的中点M在曲线C2:
y=
4-
x2(-2
x<2
)上.
目标:
(1)证明直线l过定点;
(2)求|AB|的最大值.
思路与
方法
思路:
(1)利用kOA·kOB=-
得到直线l的方程,可证明直线l过定点;
(2)利用弦长公式得到|AB|的代数式,可求出|AB|的最大值.
方法:
①待定系数法;②基本不等式法.
过程与
关键
过程:
(1)分析易知直线l的斜率存在,先设直线l的方程为y=kx+m,再由kOA·kOB=-
得到m=1,则直线l的方程为y=kx+1,可知直线l过定点(0,1).
(2)首先由弦长公式得到|AB|=4
×
再利用基本不等式可求出最小值为6
.
关键:
①由-2
x<2
及Δ>0得到-
k
为利用基本不等式提供保障;
②检验基本不等式中等号成立的条件.
设A(x1,y1),B(x2,y2).
(1)由题意可知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+m.
由
消去y并整理,得x2-4kx-4m=0,
则Δ=(-4k)2-4×(-4m)=16(k2+m)>0,
x1+x2=4k,x1x2=-4m.
所以kOA·kOB=
=-
(求出斜率之积)
因为kOA·kOB=-
所以-
=-
解得m=1,满足Δ>0,(检验m的值是否满足Δ>0)
所以直线l的方程为y=kx+1,直线l过定点(0,1).
(2)设M(x0,y0),由已知及
(1),可得x0=
=2k,y0=kx0+m=2k2+m,
将(x0,y0)代入y=4-
x2(-2
x<2
),得2k2+m=4-
×(2k)2,即m=4-3k2.
因为-2
x0<2
所以-2
2k<2
得-
k
.
因为Δ=16(k2+m)=16(k2+4-3k2)=32(2-k2)>0,
所以-
k
所以k的取值范围是(-
).
|AB|=
·
·
=
4
≤4
×
=6
(应用基本不等式)
当且仅当k2+1=2-k2,即k=±
(满足k∈(-
))时取等号,(检验取等号时,k的取值是否在取值范围内)
所以|AB|的最大值为6
.
3.
(1)已知抛物线C:
y2=4x的焦点为F,过点F且斜率为1的直线与抛物线C交于A,B两点,若在以线段AB为直径的圆上存在两点M,N,在直线l:
x+y+a=0上存在点Q,使得∠MQN=90°,则实数a的取值范围为( )
A.[-13,3]B.[-3,3]
C.[-3,13]D.[-13,13]
(2)[2019浙江高考]如图9-5-6,已知点F(1,0)为抛物线y2=2px(p
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