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二次函数和一次函数知识点
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
二次函数和一次函数知识点
二次函数
I.定义与定义表达式
一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系:
y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.)
则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
II.二次函数的三种表达式
一般式:
y=ax^2;+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
顶点式:
y=a(x-h)^2;+k[抛物线的顶点P(h,k)]
交点式:
y=a(x-x1)(x-x2)[仅限于与x轴有交点A(x1,0)和B(x2,0)的抛物线]
注:
在3种形式的互相转化中,有如下关系:
h=-b/2ak=(4ac-b^2;)/4ax1,x2=(-b±√b^2;-4ac)/2a
III.二次函数的图像
在平面直角坐标系中作出二次函数y=x²的图像,
可以看出,二次函数的图像是一条抛物线。
IV.抛物线的性质
1.抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线
x=-b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)
2.抛物线有一个顶点P,坐标为
P[-b/2a,(4ac-b^2;)/4a]。
当-b/2a=0时,P在y轴上;当Δ=b^2-4ac=0时,P在x轴上。
二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。
|a|越大,则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;
当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。
常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于(0,c)
6.抛物线与x轴交点个数
Δ=b^2-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点。
Δ=b^2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。
Δ=b^2-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点。
V.二次函数与一元二次方程
特别地,二次函数(以下称函数)y=ax^2;+bx+c,
当y=0时,二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程),
即ax^2;+bx+c=0
此时,函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
画抛物线y=ax2时,应先列表,再描点,最后连线。
列表选取自变量x值时常以0为中心,选取便于计算、描点的整数值,描点连线时一定要用光滑曲线连接,并注意变化趋势。
二次函数解析式的几种形式
(1)一般式:
y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0).
(2)顶点式:
y=a(x-h)2+k(a,h,k为常数,a≠0).
(3)两根式:
y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标,即一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根,a≠0.
说明:
(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y=a(x-h)2+k,抛物线的顶点坐标是(h,k),h=0时,抛物线y=ax2+k的顶点在y轴上;当k=0时,抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上;当h=0且k=0时,抛物线y=ax2的顶点在原点
如果图像经过原点,并且对称轴是y轴,则设y=ax^2;如果对称轴是y轴,但不过原点,则设y=ax^2+k
定义与定义表达式
一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系:
y=ax^2+bx+c
(a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下。
还可以决定开口大小,越大开口就越小,越小开口就越大。
)
则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
x是自变量,y是x的函数
二次函数的三种表达式
①一般式:
y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
②顶点式[抛物线的顶点P(h,k)]:
y=a(x-h)^2+k
③交点式[仅限于与x轴有交点A(x1,0)和B(x2,0)的抛物线]:
y=a(x-x1)(x-x2)
以上3种形式可进行如下转化:
①一般式和顶点式的关系
对于二次函数y=ax^2+bx+c,其顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b^2)/4a),即
h=-b/2a=(x1+x2)/2
k=(4ac-b^2)/4a
②一般式和交点式的关系
x1,x2=[-b±√(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)
函数性质:
的变化值与对应的x的变化值成正比例,比值为为常数. 即:
y=kx+b(k,b为常数,k≠0), ∵当x增加m,k(x+m)+b=y+km,km/m=k。
2.当x=0时,b为函数在y轴上的点,坐标为(0,b)。
3当b=0时(即y=kx),一次函数图像变为正比例函数,正比例函数是特殊的一次函数。
4.在两个一次函数表达式中:
当两一次函数表达式中的k相同,b也相同时,两一次函数图像重合;
当两一次函数表达式中的k相同,b不相同时,两一次函数图像平行;
当两一次函数表达式中的k不相同,b不相同时,两一次函数图像相交;
当两一次函数表达式中的k不相同,b相同时,两一次函数图像交于y轴上的同一点(0,b)。
若两个变量x,y间的关系式可以表示成y=kx+b(k,b为常数,k不等于0)则称y是x的一次函数
y=kx+b时:
当k>0,b>0,这时此函数的图象经过第一、二、三象限;
当k>0,b<0,这时此函数的图象经过第一、三、四象限;
当k<0,b>0,这时此函数的图象经过第一、二、四象限;
当k<0,b<0,这时此函数的图象经过第二、三、四象限;
当b>0时,直线必通过第一、二象限;
当b<0时,直线必通过第三、四象限。
1、正比例函数
一般地,形如y=kx(k是常数,k≠0)的函数叫做正比例函数,其中k叫做比例系数.
2、正比例函数图象和性质
一般地,正比例函数y=kx(k为常数,k≠0)的图象是一条经过原点和(1,k)的一条直线,我们称它为直线y=kx.当k>0时,直线y=kx经过第一、三象限,从左向右上升,即随着x的增大,y也增大;当k<0时,直线y=kx经过第二、四象限,从左向右下降,即随着x的增大y反而减小.
3、正比例函数解析式的确定
确定一个正比例函数,就是要确定正比例函数定义式y=kx(k≠0)中的常数k,其基本步骤是:
(1)设出含有待定系数的函数解析式y=kx(k≠0);
(2)把已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式,得到关于系数k的一元一次方程;
(3)解方程,求出待定系数k;
(4)将求得的待定系数的值代回解析式.
4、一次函数
一般地,形如y=kx+b(k,b是常数,k≠0),那么y叫做x的一次函数.当b=0时,y=kx+b即y=kx,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
5、一次函数的图象
(1)一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是经过(0,b)和两点的一条直线,因此一次函数y=kx+b的图象也称为直线y=kx+b.
(2)一次函数y=kx+b的图象的画法.
根据几何知识:
经过两点能画出一条直线,并且只能画出一条直线,即两点确定一条直线,所以画一次函数的图象时,只要先描出两点,再连成直线即可.一般情况下:
是先选取它与两坐标轴的交点:
(0,b),.即横坐标或纵坐标为0的点.
6、正比例函数与一次函数图象之间的关系
一次函数y=kx+b的图象是一条直线,它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到(当b>0时,向上平移;当b<0时,向下平移).
7、直线y=kx+b的图象和性质与k、b的关系如下表所示:
k>0,b>0经过第一、二、三象限
k>0,b<0经过第一、三、四象限
k>0,b=0经过第一、三象限k>0时,图象从左到右上升,y随x的增大而增大
k<0b>0经过第一、二、四象限
k<0,b<0经过第二、三、四象限
K,0,b=0经过第二、四象限
k<0图象从左到右下降,y随x的增大而减小
8、直线y1=kx+b与y2=kx图象的位置关系:
(1)当b>0时,将y2=kx图象向x轴上方平移b个单位,就得到y1=kx+b的图象.
(2)当b<0时,将y2=kx图象向x轴下方平移-b个单位,就得到了y1=kx+b的图象.
9、直线l1:
y1=k1x+b1与l2:
y2=k2x+b2的位置关系可由其解析式中的比例系数和常数来确定:
当k1≠k2时,l1与l2相交,交点是(0,b).
10、直线y=kx+b(k≠0)与坐标轴的交点.
(1)直线y=kx与x轴、y轴的交点都是(0,0);
(2)直线y=kx+b与x轴交点坐标为(,0)与y轴交点坐标为(0,b).
一、选择题
1、如图4,直线l1和l2的交点坐标为()
A.(4,-2)B.(2,-4)C.(-4,2)D.(3,-1)
2、一次函数的图象大致是()
3、一次函数的图象不经过()
A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限
4、一次函数不经过的象限是()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
5、如果点M在直线上,则M点的坐标可以是()
A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,0)D.(1,-1)
6、如图,直线对应的函数表达式是()
A.B.
C.D.
8、已知反比例函数=(≠0)的图象,在每一象限内,的值随值的增大而减少,则一次函数=-+的图象不经过()
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
9、一次函数的图象如图所示,当时,的取值范围是()
A.B.C.D.
11、一次函数(是常数,)的图象如图2所示,
则不等式的解集是()
A.B.
C.D.
12、在平面直角坐标系中,直线经过()
A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限
C.第一、三、四象限D.第二、三、四象限
13、一次函数y=kx+b中,k<0,b>0.那么它的图像不经过
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
15、已知:
一次函数的图象如图1所示,那么,a的取值范围是
A.B.C.D.
16、如图,直线y1=与y2=-x+3相交于点A,若y1 >2<2>1<1 1、正比例函数 一般地,形如y=kx(k是常数,k≠0)的函数叫做正比例函数,其中k叫做比例系数. 2、正比例函数图象和性质 一般地,正比例函数y=kx(k为常数,k≠0)的图象是一条经过原点和(1,k)的一条直线,我们称它为直线y=kx.当k>0时,直线y=kx经过第一、三象限,从左向右上升,即随着x的增大,y也增大;当k<0时,直线y=kx经过第二、四象限,从左向右下降,即随着x的增大y反而减小. 3、正比例函数解析式的确定 确定一个正比例函数,就是要确定正比例函数定义式y=kx(k≠0)中的常数k,其基本步骤是: (1)设出含有待定系数的函数解析式y=kx(k≠0); (2)把已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式,得到关于系数k的一元一次方程; (3)解方程,求出待定系数k; (4)将求得的待定系数的值代回解析式. 4、一次函数 一般地,形如y=kx+b(k,b是常数,k≠0),那么y叫做x的一次函数.当b=0时,y=kx+b即y=kx,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数. 5、一次函数的图象 (1)一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是经过(0,b)和两点的一条直线,因此一次函数y=kx+b的图象也称为直线y=kx+b. (2)一次函数y=kx+b的图象的画法. 根据几何知识: 经过两点能画出一条直线,并且只能画出一条直线,即两点确定一条直线,所以画一次函数的图象时,只要先描出两点,再连成直线即可.一般情况下: 是先选取它与两坐标轴的交点: (0,b),.即横坐标或纵坐标为0的点. 6、正比例函数与一次函数图象之间的关系 一次函数y=kx+b的图象是一条直线,它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到(当b>0时,向上平移;当b<0时,向下平移). 7、直线y=kx+b的图象和性质与k、b的关系如下表所示: k>0,b>0经过第一、二、三象限 k>0,b<0经过第一、三、四象限 k>0,b=0经过第一、三象限k>0时,图象从左到右上升,y随x的增大而增大 k<0b>0经过第一、二、四象限 k<0,b<0经过第二、三、四象限 K,0,b=0经过第二、四象限 k<0图象从左到右下降,y随x的增大而减小 8、直线y1=kx+b与y2=kx图象的位置关系: (1)当b>0时,将y2=kx图象向x轴上方平移b个单位,就得到y1=kx+b的图象. (2)当b<0时,将y2=kx图象向x轴下方平移-b个单位,就得到了y1=kx+b的图象. 9、直线l1: y1=k1x+b1与l2: y2=k2x+b2的位置关系可由其解析式中的比例系数和常数来确定: 当k1≠k2时,l1与l2相交,交点是(0,b). 10、直线y=kx+b(k≠0)与坐标轴的交点. (1)直线y=kx与x轴、y轴的交点都是(0,0); (2)直线y=kx+b与x轴交点坐标为(,0)与y轴交点坐标为(0,b).
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