求极限的方法及例题总结.docx
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求极限的方法及例题总结.docx
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求极限的方法及例题总结
1.定义:
说明:
(1)一些最简单的数列或函数的极限(极限值可以观察得到)都可以用上面的极限严格定义证明,例如:
;
(2)在后面求极限时,
(1)中提到的简单极限作为已知结果直接运用,而不需再用极限严格定义证明。
利用导数的定义求极限
这种方法要求熟练的掌握导数的定义。
2.极限运算法则
定理1已知
,
都存在,极限值分别为A,B,则下面极限都存在,且有
(1)
(2)
(3)
说明:
极限号下面的极限过程是一致的;同时注意法则成立的条件,当条件不满足时,不能用。
. 利用极限的四则运算法求极限
这种方法主要应用于求一些简单函数的和、乘、积、商的极限。
通常情况下,要使用这些法则,往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简。
8.用初等方法变形后,再利用极限运算法则求极限
例1
解:
原式=
。
注:
本题也可以用洛比达法则。
例2
解:
原式=
。
例3
解:
原式
。
3.两个重要极限
(1)
(2)
;
说明:
不仅要能够运用这两个重要极限本身,还应能够熟练运用它们的变形形式,
例如:
,
,
;等等。
利用两个重要极限求极限
例5
解:
原式=
。
注:
本题也可以用洛比达法则。
例6
解:
原式=
。
例7
解:
原式=
。
4.等价无穷小
定理2无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小(即极限是0)。
定理3当
时,下列函数都是无穷小(即极限是0),且相互等价,即有:
~
~
~
~
~
~
。
说明:
当上面每个函数中的自变量x换成
时(
),仍有上面的等价
关系成立,例如:
当
时,
~
;
~
。
定理4如果函数
都是
时的无穷小,且
~
,
~
,则当
存在时,
也存在且等于
,即
=
。
利用等价无穷小代换(定理4)求极限
例9
解:
~
,
~
,
原式=
。
例10
解:
原式=
。
注:
下面的解法是错误的:
原式=
。
正如下面例题解法错误一样:
。
例11
解:
,
所以,原式=
。
(最后一步用到定理2)
五、利用无穷小的性质求极限
有限个无穷小的和是无穷小,有界函数与无穷小乘积是无穷小。
用等价无穷小替换求极限常常行之有效。
例1.
2.
5.洛比达法则
定理5假设当自变量x趋近于某一定值(或无穷大)时,函数
和
满足:
(1)
和
的极限都是0或都是无穷大;
(2)
和
都可导,且
的导数不为0;
(3)
存在(或是无穷大);
则极限
也一定存在,且等于
,即
=
。
说明:
定理5称为洛比达法则,用该法则求极限时,应注意条件是否满足,只要有一条不满足,洛比达法则就不能应用。
特别要注意条件
(1)是否满足,即验证所求极限是否为“
”型或“
”型;条件
(2)一般都满足,而条件(3)则在求导完毕后可以知道是否满足。
另外,洛比达法则可以连续使用,但每次使用之前都需要注意条件。
利用洛比达法则求极限
说明:
当所求极限中的函数比较复杂时,也可能用到前面的重要极限、等价无穷小代换等方法。
同时,洛比达法则还可以连续使用。
例12
(例4)
解:
原式=
。
(最后一步用到了重要极限)
例13
解:
原式=
。
例14
解:
原式=
=
。
(连续用洛比达法则,最后用重要极限)
例15
解:
例18
解:
错误解法:
原式=
。
正确解法:
应该注意,洛比达法则并不是总可以用,如下例。
例19
解:
易见:
该极限是“
”型,但用洛比达法则后得到:
,此极限
不存在,而原来极限却是存在的。
正确做法如下:
原式=
(分子、分母同时除以x)
=
(利用定理1和定理2)
6.连续性
定理6一切连续函数在其定义去间内的点处都连续,即如果
是函数
的定义去间内的一点,则有
。
利用函数的连续性(定理6)求极限
例4
解:
因为
是函数
的一个连续点,
所以原式=
。
7.极限存在准则
定理7(准则1)单调有界数列必有极限。
四、利用单调有界准则求极限
首先常用数学归纳法讨论数列的单调性和有界性,再求解方程可求出极限。
例1.设
,
求极限
。
定理8(准则2)已知
为三个数列,且满足:
(1)
(2)
,
则极限
一定存在,且极限值也是a,即
。
10. 夹逼定理
利用极限存在准则求极限
例20已知
,求
解:
易证:
数列
单调递增,且有界(0<
<2),由准则1极限
存在,设
。
对已知的递推公式
两边求极限,得:
,解得:
或
(不合题意,舍去)
所以
。
例21
解:
易见:
因为
,
所以由准则2得:
。
9. 洛必达法则与等价无穷小替换结合法
对于一些函数求极限问题,洛必达法则和等价无穷小结合御用,往往能化简运算,收到奇效。
11. 泰勒展开法
12. 利用定积分的定义求极限法
积分本质上是和式的极限,所以一些和式的极限问题可以转化为求定积分的问题。
8. 利用复合函数求极限
十、利用级数收敛的必要条件求极限
级数收敛的必要条件是:
若级数
收敛,则
,故对某些极限
,可将函数
作为级数
的一般项,只须证明此技术收敛,便有
。
例
十一、利用幂级数的和函数求极限
当数列本身就是某个级数的部分和数列时,求该数列的极限就成了求相应级数的和,此时常可以辅助性的构造一个函数项级数(通常为幂级数,有时为Fourier级数)。
使得要求的极限恰好是该函数项级数的和函数在某点的值。
例求
7等比等差数列公式应用(对付数列极限)(q绝对值符号要小于1)
8各项的拆分相加(来消掉中间的大多数)(对付的还是数列极限)
可以使用待定系数法来拆分化简函数
9求左右求极限的方式(对付数列极限)例如知道Xn与Xn+1的关系,已知Xn的极限存在的情况下, xn的极限与xn+1的极限时一样的,应为极限去掉有限项目极限值不变化
11还有个方法 ,非常方便的方法
就是当趋近于无穷大时候
不同函数趋近于无穷的速度是不一样的!
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x的x次方快于 x!
快于 指数函数 快于 幂数函数 快于 对数函数(画图也能看出速率的快慢) !
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!
!
!
当x趋近无穷的时候 他们的比值的极限一眼就能看出来了
12换元法 是一种技巧,不会对模一道题目而言就只需要换元,但是换元会夹杂其中
16直接使用求导数的定义来求极限,
(一般都是x趋近于0时候,在分子上f(x加减麽个值)加减f(x)的形式, 看见了有特别注意)
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