二面角平面角教案.docx
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二面角平面角教案
二面角平面角教案
【篇一:
“二面角”教学设计】
“二面角”教学设计
一、教学内容解析
“二面角”在人教版新课标教材《必修2》第二章第三节第二小节的一个子内容,它的主要用途在于去定义两平面垂直关系,同时它也是继讨论了直线与直线所成的角、直线与平面所成的角之后的另一种自然的空间角。
在《必修2》中教材没有例题进行二面角的计算,只是在小节习题中以正方体为背景设计了一个题,在《选修2-1》的第三章第二节中教材着重的加强了利用空间向量的工具去解决二面角的计算。
“二面角”的内容在以前的大纲版教材中是专设一节来进行详细的介绍,以及对二面角平面角的找寻进行了细致的划分,诸如:
定义法,三垂线定理法等。
对比两个版本教材的编写情况可以看出,本节在新课程中主要起到的作用是更好地理解两平面垂直的关系,而且对前面两者——直线与直线的垂直,直线与平面的垂直起着衔接和完善整个关系体系的作用。
故而,“二面角”这节的重点应该是理解概念,以及通过学习本节让学生在各自的思维中构建整个知识脉络,建立相关关系。
二、教学目标设置
在《说明》中对《必修2》教材第二章“点、直线、平面之间的位置关系”的目标设置为能用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定,并对某些结论进行论证,以及以立体几何中的定义、公理和定理为出发点,通过直观感知、操作确认、思辨论证,认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定。
又在《说明》中对《选修2-1》教材第三章“空间向量与立体几何”的目标设置为能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题,体会向量方法在研究几何问题中的作用,足以见得,对于二面角这个子内容的作用就是过渡,提出面面垂直的定义。
故而,在本节我设计的目标要求如下:
(1)引导学生探索和研究两平面垂直应该如何定义,在概念形成的过程中,使得学生认同学习“二面角”概念的必要,并发展学生的思维。
(2)在经历概念形成的过程中去理解二面角平面的作法,并掌握。
三、学生学情分析
在学习“二面角”之前,学生已经学习了空间中两直线的垂直定义,两直线所成角的定义,直线与平面垂直的定义和直线与平面所成角的定义,至此学生已经具备一定的空间想象力和概括能力,在这里很自然的能够联想到缺少了两个平面垂直的关系,两个平面的垂直是生活中常见的形式,学生能够去感受,而数学是严格的,也就自然会想该怎样去定义这种关系,根据前两种关系从“角度”出发的描述形式,“二面角”是呼之欲出,是势在必然。
不过这其中的矛盾就在于角是能够观察出图形,关键在于怎样去计算“二面角”的大小,它的大小又是用哪个角去代替,两面中有很多的线,哪个线更直接,更方便,教学的难点就在这里,是要让学生达成共识,对二面角的平面角的“代表性”进行认同。
四、教学问题诊断分析
学生对“二面角”学习的必然性能够水到渠成,但在其中的确切定义的理解会出现差异,从名称可以看出应是两个平面组成的角,但实际是两个半平面,而且在寻找到二面角平面角后,对平面角的认同也会存在着一定的误区,就是忽略两个半平面内的射线需垂直于棱。
本节知识没有理解的难点,因为有具体的空间为想象的基础,只是在其中有需要去具体细化的概念。
五、教学过程
1.课题引入
首先让学生一起来回顾一下前面刚学习的直线与平面垂直的判定定理,再让学生去回顾
直线与平面垂直的定义,直线与直线垂直的定义,在两直线垂直的定义中可以发现是从90o角去定义的,再唤起学生对直线与平面所成角定义的印象,即直线与平面垂直是可以从90o的线面角去描述的,从而引出新课题从哪个角度去定义两平面垂直。
2.探究二面角的定义
先展示两个平面相交的图形,如图①,从图中就可以感受到有四个角的形式,而且从大小的方面也可以体会到有对顶角相等的情况,借此机会教师提出疑问,什么时候才能够说对顶角,当然是在两直线相交的情况,所以教师通过软件从不同的角度去观察两个平面相交的情形,就会有如图②的情况。
图②
图①
面缩成了直线,线变成了点,那就会有角的真实存在了,既然换一个观察角度可以把两个平面所成的角变成平面角,那么“二面角”的定义就可以类比到平面角的定义,借此教师引导学生回忆平面中的角的定义从而自然得到“二面角”的定义。
再类比平面中角的表示法自然得到“二面角”的表示形式。
3.探究二面角平面角的定义
平面中的角是有大小的,而且两个平面的展开形式也有所不同,有的大,有的小,所以“二面角”的也应该有大小。
问题就来了,“二面角”的大小该用哪个角去表示呢?
用一点时间让学生像刚才一样利用身边的工具——课本,打开课本就可以形成一个“二面角”,然后从不同的角度去观察变化过程中有哪个平面角与之相对应。
教师就利用软件展示一个动态的过程,形成统一的认识,如图③。
图③
再让二面角的其中一个半平面绕着棱进行旋转变化,观察“二面角”与∠poq的变化对应关系可以发现它们的对应关系,后引导学生观察∠poq的特征,故而给出“二面角”平面角的具体概念。
4.对比其他空间角的度量形式
异面直线所成的角是学生进入立体几何的第一类空间角,它的定义是通过平移让直线相交后所形成的角为异面直线的角,在空间中从不同角度观察两异面直线,便可得到如图④。
从图中可以观察出,“二面角”平面角的找寻实际也是自然的。
图④
5.完善点、直线、平面垂直关系
有了描述两个平面角度形式的“二面角”后,那么就可以从90o去定义两个平面的垂直,同时也就完善了整个关系体系,即每种垂直关系都可以从各种形式的角为90o去描述,对比直线与直线平行。
直线与平面平行,平面与平面平行一样都可以从无交点去描述。
【篇二:
二面角教案】
《二面角》教案
【课题】二面角(高等教育出版社《数学基础版第二册》9.9第一课时)
一、目的要求
㈠知识目标
1.理解二面角的概念,会画二面角、表示二面角;
2.会用定义法和三垂线法求二面角的平面角,解决简单实际应用问题。
㈡能力与思维品质目标
1.通过经历二面角、二面角的平面角的概念形成,发展知识迁移、转化、创新能力和逻辑推理能力。
2.能应用二面角的平面角变通地解决一些相关问题,培养空间想象能力和简单实际应用能力,发展数学的应用意识。
3.通过对学习的自我小结体验,发展处理信息、形成结构性知识的能力。
二、重点、难点:
重点:
理解二面角,会用定义法和三垂线法作二面角的平面角
突破办法:
通过实体模型展示,使学生从直线折叠形成角迁移至平面折叠形成二面角的概念。
通过学生亲身参与,归类二面角的常见画法与表示。
通过强化步骤使学生掌握二面角的平面角二种作法。
难点:
二面角的平面角概念形成过程及灵活变通地作出二面角的平面角突破办法:
类比异面直线所成角、线面角,明确方向——找平面角,学生猜想模型中二面角的平面角,抽象出定义法,在正方体中由定义法迁移至三垂线法,抓住关键:
巧取任点、找面的垂线,使学生学会作二面角的平面角时以不变应万变。
教学方法:
讲练结合
1
教具:
直尺、三角板.
三、教学过程:
引导1:
空间图形的基本组成要素有哪些?
点、线、面
引导2:
沿一点把铅丝折叠成一角,请学生说出此图形名称?
它的组成要
素?
并给出它的定义。
o
角,一个点两条射线,从一点出发的两条射线所成的图形称作角类比引导3:
在纸中画线,沿线把纸折成一二面角,问学生此图形名称?
它的组成要素?
能否给它下一类似定义?
组成要素:
二个半平面,一条直线
做二面角,个半平面叫做二面角的面.
点题:
它就是本课需研究的图形——二面角
引导学生填表!
幻灯片显示!
图示
定义
图形的构成
图形的表示
角二面角2
例举生活中的二面角:
如教室门与墙面形成的二面角、书本开合形成的二面角、手中的白纸折成的二面角……
你能给出二面角的画法吗?
幻灯片显示!
引导:
观察以上几个二面角,除位置不同还有什么不同?
大小不同!
引导:
如何度量二面角的大小?
回顾:
如何度量直线与平面所成角?
幻灯片给出直线与平面所成角幻灯片显示。
小结:
转化为二条相交直线所成的平面角!
类比:
如何在二面角内找一个平面角度量二面角的大小?
引导:
这个平面角的点、边与二面角的棱、面有何联系?
这样的平面角唯一吗?
二面角的平面角:
以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线组成的角叫做二面角的平面角.把二面角的平面角的度数叫这个二面角的度数.
当二面角的度数为90时称为直二面角。
抽象:
如何作二面角的平面角?
师生归纳;
(1)取二面角棱上任点p
且pa⊥棱l,pb⊥棱l(3)二面角的平面角即∠apb
3
练习:
(1)点p在棱上,作出二面角的平面角!
(2)点p在一个半平面上,作出二面角的平面角!
例1:
山坡的倾斜度(坡面与水平面形成
的二面角的度数)是30?
,如图,在坡面
的水平线l成60?
角的直路前进,行走200m
后,升高了多少米?
分析:
给出实际山坡图片,依题意画图,分析位置,作二面角的平面角!
分析已知?
求?
练习:
1.在一个二面角的一个面内有一个点,它到棱的距离等于到另一个面的距离的2倍,求二面角的度数。
(30?
)
2.在60?
的二面角的一个面内有一个点,它到另一个面的距离15cm,求它到棱的距离。
(
四、引导学生自主总结:
今天学了什么?
又有何用?
学会它的关键是什么?
二面角的定义,二面角的表示,二面角的平面角画法和求法。
定义法关键:
巧取任意点
三垂线法关键:
找面的垂线!
棱的垂线!
五、作业:
课本173页3,4
课后作业:
思考,求二面角的平面角还有其他方法吗?
4
5
【篇三:
二面角的教学设计】
二面角的教学设计
重庆涪陵实验中学冯元
指导思想与理论依据
1、培养他们大胆猜想的意识和习惯,这对强化他们的创新意识大有帮助。
基于个人对经验的操作、交流,通过反省来主动建构的,他们要用自己现存的知识去过滤和解释新的信息.
2、给学生提供活动的时空,让主体主动构建自己的认知结构,充分体现了学生的主体地位和教师的主导作用。
学生在自主探索、自由想象和充分交流的过程中,充分感受到成功与失败的情感体验,深刻地领悟到转化的数学思想在解决问题中所起的重要作用。
同时又培养了学生的空间想象能力、逻辑思维能力和乐于探索,大胆创新的科学精神.
教材分析
二面角及其平面角的概念是立体几何最重要的概念之一。
二面角的概念发展、完善了空间角的概念;而二面角的平面角不但定量描述了两相交平面的相对位置,同时它也是空间中线线、线面、面面垂直关系的一个汇集点。
搞好本节课的学习,对学生系统地掌握直线和平面的知识乃至于创新能力的培养都具有十分重要的意义。
教学大纲明确要求要让学生掌握二面角及其平面角的概念和运用。
学情分析
学生学习了线与线、线与面、面与面的平行与垂直问题,形成了一定的认知结构,并且又学习了异面直线所成的角、线现面所成的角,所以,有了一定的基础。
但是二面角与其它知识不一样,学生理解有困难,对学生来说作二面角的平面角又是一个很难的事,我们就要细分析、多引导,让学生自己去发现并解决。
教学目标
知识与技能:
(1)使学生正确理解二面角及其平面角的概念,并能初步运用它们解决实际问题。
(2)进一步培养学生把空间问题转化为平面问题的化归思想。
能力与方法:
以培养学生的创新能力和动手能力为重点。
(1)突出对类比、直觉、发散等探索性思维的培养,从而提高学生的创新能力。
(2)通过对图形的观察、分析、比较和操作来强化学生的动手操作能力。
情感与态度:
(1)使学生认识到数学知识来自实践,并服务于实践,从而增强学生应用数学的意识。
(2)通过揭示线线、线面、面面之间的内在联系,进一步培养学生联系的辩证唯物主义观点。
教学重难点
1、二面角的平面角概念的形成过程
2、寻找二面角的平面角的方法的发现过程
教学过程
一、二面角概念的引入
让学生观察老师手里的教具(用两块硬纸板做成的大小可变的“二面角”)的变化。
师:
你观察到了什么?
生:
好象有一个角在不断改变。
师:
对,它就是我们今天要学习的二面角;
二面角在生产生活中随处可见,水坝面与水平面所成的角,卫星的运行轨道与赤道平面所成的角都给我们
二面角的形象。
启发学生从这些形象中抽象出二面角的定义:
半平面—平面内的一条直线把平面分成两部分,其中的每一部分都叫做半平面。
二面角—从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
二面角与平面中的角的对比如图1。
画法、记法如图2。
二、二面角的平面角的探讨
老师再次拿起教具在学生的睽睽众目下,全神贯注地把玩着,嘴里还在嘟噜:
“这是二面角。
”随着
二面角的变化,语气变得十分惊讶:
“看来二面角还有大小的,这时大,这时小。
”终于头抬起来了,声
音也提高了八度:
“他的大小由谁决定呢?
”
学生也开始了沉思。
老师不时时机地启发着,两条异面直线所成的角、平面的斜线与平面所成的角是怎么定义的?
前者是通过平移转化为两条相交直线所成角,后者是通过找射影转化为两条相交直线所成角,所以人
们考虑二面角的大小也转化为某两相交直线所成角来度量。
老师又第三次那起了教具,问:
角的顶点(这两相交直线的交点)应选在那里?
生1:
棱上。
老师回
答:
好(并用黄色粉笔在棱上标出一点)。
师:
角的两边呢?
生1:
两个半平面内,老师回答:
好(并用黄色粉笔过上面标出的点,在两个半平
面内做出多条射线)。
师:
这样的角多不多?
生1:
多。
师:
这些角相等吗?
生1:
不一定相等。
师:
那到底用哪个角来表示二面角呢?
生1:
不知道。
老师若有所思:
“这个角应该有这样的特点—只要二面角定了,这个角的大小也就定了”,并板书该
特点。
师:
要满足这个特点,看来对这两边的作法还要加以限制。
还加怎样的限制呢?
沉默一会之后,生2:
过棱上标出的那点,在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线试看。
老师按照学生2的意见,做出了这两条射线。
师:
二面角定了,这个角的大小就定了吗?
在不太整齐的“是的”之后,有同学提出:
还得把顶点任
意换个位置再作个角来比较了才知道。
师:
说得好,说得好,说得太好了,下面我们就来解决这个问题。
如右图:
?
ap⊥l?
?
?
ap//a1p?
a1p⊥l?
?
?
∠apb=∠a1pb1?
同理ap//bp1?
即这样做出的角与顶定的位置无关,只与两个半平面的相对位置有关,所以可用它来表示二面角的大
小,我们把这个角叫二面角的平面角。
师:
下面我们来给二面角的平面角下个定义。
找生3回答(不准确老师补充):
以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两
条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
由此可见二面角的平面角有三要素:
(1)角的顶点在棱上;
(2)角的两边分别在两个面内;
(3)角的两边都要垂直于二面角的棱。
平面角是直角的二面角叫做直二面角。
二面角的大小可以用它的平面角来度量,二面角的平面角是多少度,就说这个二面角是多少度。
木工用活动尺测量工件的两个面所成的角时,就是测量这两个面所成的二面角的平面角。
我国发射的
068.5第一颗人造地球卫星的倾斜角是,就是说卫星轨道平面与地球赤道平面所成的二面角的平面角是
68.50。
三、应用举例
条直道从堤脚向上行走到10米时人升高了多少米?
∴fe⊥ab(三垂线定理)。
答:
沿直道行走10m时人升高约4.3m。
fg是斜线fe在水平面内的射影,gf⊥ab,∴∠efg就是河堤斜面与水平面所成的二面角的平面角。
∴eg=efsin600=cesin300sin600=≈4.3(m)。
小结:
1、求二面角的平面角的过程和求两条异面所成的角、求直线和平面所成的等角类似,步骤都
是:
一找(或作)─—找(或作)出二面角的平面角;
二说─—用定义来说明上面所得角就是二面角的平面角;
三算─—通过解三角形求出二面角的平面角的度数。
2、用三垂线(逆)定理作二面角的平面角的过程是:
一垂面、二垂线、三连线得二面(二面角的平面角)。
时,三连结ef),得∠efg就是所求二面角的平面角。
师:
除可用三垂线(逆)定理得二面角的平面角以外,还可用另外的方法求二面角的平面角吗?
四、课堂练习
角的平面角,并说明理由。
学生4起来给出了完满的答。
师:
这说明通过作棱的垂面也可以得到二面角的平面角。
其实,二面角的平面角就是棱垂直的平面与两个半平面的交线所成的角。
师:
最后还要强调的求法得先做下面的练习。
bpm=∠bpn=450,求此二面角的度数。
经过充分酝酿后,学生5:
师:
可见最后要强调的是更可以用定义去求二面角的平面角。
五、知识回顾、小结
六、布置作业
板书设计
1、二面角的定义、画法和表示法
2、二面角的平面角的概念和求法
定义以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
教学反思
(1)现行教材省略了概念的形成过程和方法的发现过程,没有反映出科学认识产生的辩证过程,与学
生的认知规律相悖,给学生的学习造成了很大的困难,非常不利于学生创新能力、独立思考能力以及动手
能力的培养。
(2)现代认知学认为,揭示知识的形成过程,对学生学习新知识是十分必要的。
同时通过展现知识
的发生、发展过程,给学生思考、探索、发现和创新提供了最大的空间,可以使学生在整个教学过程中始
终处于积极的思维状态,进而培养他们独立思考和大胆求索的精神,这样才能全面落实本节课的教学目标。
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