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函数极限与连续习题加答案
第一章函数、极限与连续
第一讲:
函数
、是非题
■2
1.y二x与y=x相同;
2.y=(2x2^)1n(x.1x2)是奇函数;
3•凡是分段表示的函数都不是初等函数;
2
4.y=x(x0)是偶函数;
5•两个单调增函数之和仍为单调增函数;
6•实数域上的周期函数的周期有无穷多个;
7•复合函数f[g(x)]的定义域即g(x)的定义域;
8.y二f(x)在(a,b)内处处有定义,则f(x)在(a,b)内一定有界。
二、填空题
1•函数y二f(x)与其反函数y二(x)的图形关于对称;
2•若f(x)的定义域是[0,1],贝Uf(x21)的定义域是;
2x
3.yx的反函数是;
2+1
1
4.f(x)=x1,(x)2,贝Uf[(x)1]=,
1+x
[f(x)1]=;
5.y=log2(sinx2)是由简单函数和复合而成;
6.f(x)=x2+1,®(x)=sin2x,贝Uf(0)=,仁丄)=_
a
f[(x)H
三、选择题
1•下列函数中既是奇函数又是单调增加的函数是()
A、sin3x
B、x3
3
C、xx
3
X-X
2
2.设f(x)=4xbx5,
f(x1)-
f(x)=8x3,
则b应为(
2
3.f(x)=sin(x
—X)是(
A、有界函数四、计算下列各题
B、周期函数
C、奇函数
D、偶函数
1•求定义域y「.3-Xarcsin_2x
2.求下列函数的定义域
2
(1)y=一x-4x3
(2)y=J4_x2+1
lx+1
⑶y=lg(x2)1
(4)y=lgsinx
3.设f(x)=x2,g(x)=ex,求f[g(x)],g[f(x)],f[f(x)],g[g(x)];
4.判断下列函数的奇偶性
(1)f(x)=xJ
5•写出下列函数的复合过程
(1)y=sin3(8x5)
⑵y=tan&x?
+5)
⑷y=lg(3-x)
11
求:
r),7--),:
(-2),并作出函数y二(x)的图形。
5
第二讲:
极限概念
、是非题
1•在数列
^n[中任意去掉或增加有限项,不影响a[的极限;
2•若数列
Snbn?
的极限存在,则玄[的极限必存在;
3•若数列
‘Xn'和为n』都发散,则数列X*也发散;
4.若lim(UnVn)=0,则必有limun=0或limvn=0。
n—n—n―jpc
5.若limf(x)二A,则f(x0)=A;
^^0
6.已知f(X。
)不存在,但limf(x)有可能存在;
^jx0
JI
8.limarctanx=
x匸:
2
9.limex=0;
xt*
10.非常小的数是无穷小;
11.零是无穷小;
12.无限变小的变量称为无穷小;
13.无限个无穷小的和还是无穷小。
二、填空题
1.lim(.n1「.n)二
n—
2.lim
n—):
:
n二
sin-
2
n
(T)n
3.nim」4计"
5.lim(2x-1)=
X—1
6.
lim2
xf'1x2
7・limcosx二
x)0
,limcosx
x—■
8•设f(x)n
x
e,X",则f(o+)=、ax+b,xa0
f(0"
时,Xmof(x)"。
10.设:
(x)是无穷小量,E(x)是有界变量,则:
(x)E(x)为
11.limf(x)=A的充分必要条件是当Xrx0时,f(x)-A为
1
;limxsin—=
X_i2C
x_^0
12.limxsinj0
三、选择题
1•已知下列四数列:
①、xn=2;②、xn
贝U其中收敛的数列为(
A、①B、①②
2.已知下列四数列:
2
"3n1
)
C、①④
③、X
十1)
①②③
;®、x”1)"」刖
②、
111
0…0…
23n'
222
③、1314…2,2,3,3,
则其中发散的数列为
A、①B
、①④
3.Xn=
in
10二
n为奇数
n为偶数
n2...
n1
)
、①③④
,则必有(
④、
1,2,
n,
D、②④
A、limxn
n—.
-0
limxn=10J
n):
:
'0,n为奇数
10—7,n为偶数
、nmxn不存在
4.从limf(x)=1不能推出(
XrX:
)
f(Xo)=1
A、lim—f(x)=1
C、f(X。
)=1
X>X0
lim【f(x)—1=0
X)Xo
5•设f(x)=*
]x+1,
2,
"0,则limf(x)的值为()
二0x_Q
D、不存在
6.当X—.1时,下列变量中是无穷小的是()
C、2
D、ln(x1)
A、x3-1
B、sinx
7•下列变量在自变量给定的变化过程中不是无穷大的是(
2
_x^1(x>
1nx/、
C、Inx(x—;0)
D、一cos(x—‘)
x2
8.若limf(x)「:
:
X—0
limg(x)二:
:
,则下列极限成立的是(
x典0
A、lim[f(x)g(x)]=:
:
x0
B、lim[f(x)g(x)]=0
x)X0
C、limxff(x)+g(x)
D、limf(x)g(x)二:
:
x风0
9•以下命题正确的是()
A、无界变量一定是无穷大
B、无穷大一定是无界变量
C、趋于正无穷大的变量一定在充分大时单调增
D、不趋于无穷大的变量必有界
1
10.limex(
x—0
B、等于-:
:
c、等于1
A、等于0
11•下列求极限问题中能够使用洛必达法则的是(
2.1
xsin
A、lim-
x10sinx
x-sinx
C、limxT^xsinx
D、不存在
);
1-x
B、limx-11-sinx
D、Jim…x(2-arctanx)
四、设f(x)二
—,回答下列问题:
1•函数f(x)在x=0处的左、右极限是否存在?
2•函
x
五、下列各题中,指出哪些是无穷小?
哪些是无穷大?
1.1啟(x—;;
x
2.y(x>
x
0);
4.ex(x>0)
3.lnx(xt0);
六、当XrY时,下列哪个无穷小与无穷小
1
-是同阶无穷小?
x
1
哪个无穷小与无穷小1
—是等
x
价无穷小?
哪个无穷小是比无穷小
-高阶的无穷小?
x
1
1.-
2x
第三讲:
极限的求法
、是非题
1.在某过程中,
f(X)有极限,g(x)无极限,
则f(x)g(x)无极限;
2.在某过程中,
f(x),g(x)均无极限,则
f(x)g(x)无极限;
3.在某过程中,
f(x)有极限,g(x)无极限,
则f(x)g(x)无极限;
4.在某过程中,
f(x),g(x)均无极限,则
f(x)g(x)无极限;
必不存在;
limn2=0;
n》:
:
n
5.若limf(x)=A,limg(x)=0,贝Vlm
xTo^x0g(x)
1+2+3+…+n12
6.lim2limplim2
n》:
:
nn》:
:
nn》:
:
n
11
7.limxsinlimxlimsin0;
x」0xxj0x—0x
22
8.lim(x-3x)=limx-3limx=:
:
-:
:
=0;
xX:
x—):
:
sinx
9.lim1;
x
10.lim(1-2)x=e.
x匸x
二、计算下列极限
3x+1
1.lim2;
x〜x21
2.lim
x1
X2-12x2-x
-1
2
2x+x+1
3.lim厂
x匚3x21
x32x2
5.lim2,
x)2(X_2)2
6.匹(亠-f);
J11一x1-x
7.lim(.x2x1「;x2「x1)
x.
1+2+3+…+(n_1)8.lim-
n:
9.lim
x—JPC
(2x-1)300(3x-2)200
(2x1)500
10.lim
2xsinx
x2
1arctan—
x
11.xim0
sinx3x
tanx2x'
x
13.lim2nsinn(x0)n,2
=sinx)
x
15.lim
x「0
tanx—sinx
x3
三、求函数的极限
(1)xm空罟4
2x+cosx
lim
(2)x—工:
x—sinx;
\17
tan3x
xsin2x;
limsin5xcot3x
(4)x>7:
(5)
1
1—2x-lim(-仝)xx—Q1x;
申1*5x—£1一3x
lim2
(6)x—qx22x
四、求数列的极限:
[j1+n2、
n
':
n—1
lim
limn
v1
n_jPC
n
n_^C
Jn十1
; (2) (1) limarcsin—arctanx (4)x->: : limn(en-en) (3)n,其中a,b为正的常数。 五、用洛必达法则求下列函数的极限 X3-3x2 lim32, x1x-x-x1 2. sin3xlimx刃tan5x 3. ln(11) x lim, x—'arccotx 4. 1); Inx 5.limx(ex-1); x_[: Inx)x; 6. sin3x 7.lim, xftan3x 8.lim X2-3x2. ; x3-1 9. limsinx—sina x)a 10.lim Inx 11. x21 lim, x—xlnx 12.limxnInx(n0); x]0■ 专插本数学复习题(兰星) 1 13.lixm公; x1 14.lim(tanx)sinx; tanx—x 15.lim xt0x—sinx 16.liming xt: ln(3x4) x sinx-e+1 17.lim x101-J-x2 18.limxcot2x; — 19.lim(Inx)x‘; x1 1 X 20.lim(sincos2x)x; XT2 21.加-站; xtsinx 22. sinx o -cosx 专插本数学复习题(兰星) 六、求a,b之值使協3-扯十%+1)=2 七、已知 limXaxb*,求常数a与b的值。 x11-x 八、已知 lim(x)x=2,求c。 xr: x—c 12 九、证明: 当Xr0时,tan2x〜2x,1-cosx〜x2。 2 4 二、填空题 第四讲: 函数的连续性 、是非题 1.若f(x),g(x)在点x0处均不连续,则f(x)g(x)在点X。 处亦不连续; 2•若f(x)在点Xo处连续,g(x)在点Xo处不连续,则f(x)g(x)在点x°处必不连续; 3.若f(x)与g(x)在点xo处均不连续,则f(x)g(x)在点x°处亦不连续; 4.y=x在x二0处不连续; 5.f(x)在X。 处连续当且仅当f(x)在X。 处既左连续又右连续; 6.设y=f(x)在(a,b)内连续,则f(x)在(a,b)内必有界; 7.设y=f(x)在[a,b]上连续,且无零点,则f(x)在[a,b]上恒为正或恒为负; i3_-3- 8.tan—,tan1: : : 0,所以tanx=0在(一,)内有根。 44 2.x=0是函数 型间断点; ,则f(x)在x=0处连续; 3.设f(x)=丄1n(1-x),若定义f(0)二 x )anaxxH0 4.若函数f(x)x'在x=0处连续,则a等于 i2,x=0 2 7.函数y=x■x-2,当x=1,=0.5时,丄y二 ;当x=1,--0.5时, 5.f(x「R的连续区间是 三、选择题 五、指出下列函数的间断点,并指明是哪一类型间断点。 1 1.f(X)=2,; x-1 2.f(x)=ex 制题人: 兰星 16 第一章函数、极限与连续 X,X 3.f(X)»1 X -1 ; =1 1 X, 、•1 4.f(X)二 (X—1)SF X: : : -1, -1_X_1, X1. 六、求下列极限 1.limIn(e*+x); X—1 2.lim X卅x-2-,2 1 2X-1 4.lim— xQ-1 2X1 专插本数学复习题(兰星) 1 七、证明方程4x_2x=0在(0,—)内至少有一个实根。 2 八、设f(x)=/ <2 x_10 ',试判定f(x)在x=—,x=1,x=2处的连续性,并求出 x+1,XA12 连续区间。 第一章: 单元测试题 、填空题 21sin3x 3.lim(xsin2)口 4.lim(1+k)x= x匚x 5.设f(x)在x=1处连续,且f (1)=3,贝ylimf(x)([ 1 间断点; 6.x=0是函数f(x)二xsin的 x 二、选择题 跳跃间断点是 C、y=_x_1,x[1,: : ) 2.当*—;: : : 时,下列函数中有极限的是 1 x e A、sinx C、 x-1 X2-1 ); D、arctanx 3.f(x)二1「在点x=0不连续是因为 ); f(0-0)不存在 B、f(00)不存在 C、 f(00)=f(0) D、f(0-0)=f(0) 21 4.设f(x)二xarccot,则x=1是f(x)的(); X-1 A、可去间断点B、跳跃间断点C、无穷间断点D、连续点 「COSX—1,X£0 5.设f(x)=」,贝yk=0是limf(x)存在的(); k,xa07 A、充分但非必要条件B、必要但非充分条件 C、充分必要条件D、无关条件 6.当X-;x0时,: •和: (=0)都是无穷小。 当X-;x0时,下列变量中可能不是无穷小的是 (); A、很亠卩B-C、卅FD、— 11 7.当n“时,若sin与匚是等价无穷小,则k=(); nn 1 A、2B、一C、1D、3 2 8.当x—;0时,下列函数中为X的高阶无穷小的是(); A、1-cosxB、xx2C、sinxD、、.x 1 9.当nr时,nsin是(); n A、无穷大量B、无穷小量C、无界变量D、有界变量 3 10.方程Xpx^0(p-0)的实根个数是(); A、一个B、二个C、三个D、零个 22 11.当xr0时,(1-cosx)是sinx的(); (x1)95(ax1)5 12.设他X1严 ); A、1B、2C、58D、A、B、C均不对 三、求下列函数的极限 1.lim2x・3;…x-2 2’x-1x2—); x1 .3 sinx 4.lim3; xe(sinx) 5.lim1^/-x; sin3x x+3 6.lim2(sinx2); xr-x 7.lim x)a sinx-sina ; x—a sin兀x 8.lim x4(x-1) 呷丿厂一^); 5n- (2)n 104叭畀1(一2厂1 四、设limxax-x"=b(常数),求a,b。 x1 五、证明下列方程在(0,1)之间均有一实根。 1. x5x3=1; 2. -x ex; 3. arctanx=1-x; ■使fO=。 七、设 3x, f(x)=<2, -1: x: : 1, 3x2, x7求叫心)吧f(x),xmj(x)。 1: : x2. 六、设f(x)在[a,b]上连续,且a■f(x): : : b,证明在(a,b)内至少有一点 In(1-x) x 八、设f(x)=<—1, sinx x0, x=0,讨论f(x)在x=0处的连续性。 x0. 九、证明方程x=2sinx1至少有一个小于3的正根。 第一章函数、极限与连续 第一讲: 函数 、1•非;2•是;3•非;4•非;5是;6•是;7.非;8•非。 与二;5・y=log2U、 1xx4x5 二、1.y轴;2.‘0;3.log2L(0: : : x: : 1);4. 1-x 12 u=sinx2;6.1,二,sin2x1。 a2+1 二、1.C;2.B;3.A。 四、1.[-1,3];2. (1)(-: : 1][3,■: : ) (2)(-1,2] ⑶(-2,(4)(2k二,(2k1)二)(kZ); 3.f[g(x)]=e2x,g[f(x)]=e",f[f(x)]=x4,g[g(x)]=exp(ex);4. (1)奇 (2)非奇非 u3 ⑶y=2,u=1-x (4)y=lgu,u=3-x; 11 6.520。 偶(3)奇(4)偶;5. (1)y二u3,u=sinv,v=8x5 (2)y=tanu,u=3v,v=x25 第二讲: 极限概念 一、1.;是2.非;3.非;4.非;5.非;6.是;7.非;8.非;9.是;10.非;11.是;12.非;13.非。 二、1.0;2.0;3.4;4.0;5.1;6.0;7.1,不存在;8.b,1,1;9.: : 「1;10.无穷小;11.无穷小;12.0。 三、1.D;2.C;3.D;4.C;5.B;6.A;7.D;8.D;9.B;10.D。 四、1.f(0-0)=-1,f(00)=1;2.无极限,因f(0-0)=f(00);3.limf(x)=1。 xT 五、1.无穷小;2.无穷大;3.无穷大(-旳);4.既不是无穷小也不是无穷大。 六、1.同阶无穷小;2.高阶无穷小;3.等价无穷小。 第三讲: 极限的求法 一、1.是;2.非;3.非;4.非;5.非;6.非;7.非;8.非;9.非;10.非。 22134 二、1.—1;2.—;3.—;4.0;5.+处;6.—1;7.1;8.—;9.(—)2°°;10.0;11.—;12.e-6; 33223 1“-4 13.x;14.1;15.;16.e。 2 七、提示: 由极限乘法运算法则及由分母极限为0,可得分子极限必为0,且分子、分母同 时有x-1的公因式,a=-3,b=2。 八、c=ln2。 九、(略) 第四讲: 函数的连续性 一、1.;非2•非;3.非;4.非;5.是;6•非;7•是;8•非。 75 二、1.第一类,跳跃型;2.第二类,无穷型;3.-1;4.2;5.(1,2)U(2,畑);6.无,0;7.。 44 三、1.C;2.A;3.B。 四、a=1,b=1。 五、1.x二1是第二类间断点中的无穷间断点;2.x=0是第二类间断点中的无穷间断点; 3.x-1为第一类间断点中的可去间断点;4.X--1为第二类间断点中的无穷间断点, X=1为第一类间断点中的跳跃间断点。 2 六、1.1n(e+1);2.—J2;3.3logae;4.-1。 3 七、(略) 1 八、在X,2处连续,在X=1处间断,连续区间为[0,1)(1/-) 2 第一章: 单元测试题 3 一、1.[4,2];2.[0,3);3.3;4.ek;5.;6.第一类间断点且是可去间断点;7.X=7,0, 2 X—1,x=0,-1。 二、1.C;2.C;3.B;4.B;5.C;6.D;7.A;8.A;9.D;10.A;11.A;12.C。 .一191二11 三、1.3-.3;2.;3.e;4.1;5.;6.0;7.COSa;8.-;9.;10.—。 23445 四、a=-4,b=10。 五、(略) 六、(略) 七、limf(x)=0,limf(x)=3,lim_f(x)=6。 xTxjxr2 八、f(00)=f(0-0)=f(0)=-1,故f(x)在x=0处连续。 九、(略)
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