考研数学基础班概率统计讲义-汤家凤.docx
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考研数学基础班概率统计讲义—汤家凤
考研数学基础班概率统计讲义
第一章 随机事件与概率
一、随机试验与随机事件
(一)基本概念
1、随机试验—具备如下三个条件的试验:
(1)相同条件下可重复。
(2)试验的可能结果是多样的且是确定的。
(3)某次试验之前不确定具体发生的结果,这样的试验称为随机试验,记为E。
2、样本空间—随机试验的所有可能的基本结果所组成的集合,称为随机试验的样本空间。
3、随机事件—样本空间的子集称为随机事件。
(二)事件的运算
1、事件的积—事件A与事件B同时发生的事件,称为事件A,B的积,记为AB。
2、事件的和—事件A或者事件B发生,称为事件A,B的和事件,记为A+B。
3、事件的差—事件A发生而事件B不发生,称事件A,B的差事件,记为A-B。
(三)事件的关系
1、包含—若事件A发生则事件B一定发生,称A包含于B,记为AÌB。
若AÌB且BÌA,称两事件相等,记A=B。
2、互斥(不相容)事件—若A与B不能同时发生,即AB=f,称事件A,B不相容或互斥。
3、对立事件—若AB=f且A+B=Ù称事件A,B为对立事件。
【注解】
(1)A=(A-B)+AB,且A-B与AB互斥。
(2)A+B=(A-B)+(B-A)+AB,且A-B,B-A,AB两两互斥。
(四)事件运算的性质
1、
(1)ABÌA(或B)ÌA+B;
(2)AB=BA,A+B=B+A;
2、
(1)AÈA=A,AÇA=A;
(2)AÇ(BÈC)=(AÇB)È(AÇC),AÈ(BÇC)=(AÈB)Ç(AÈC);
3、
(1)A=(A-B)ÈA;
(2)(A-B)ÇA=A-B;
(3)A+B=(A-B)ÈABÈ(B-A)。
4、
(1)A+A=Ù;
(2)AÇA=f。
二、概率的定义与性质
(一)概率的定义—设随机试验的样本空间为Ù,满足如下条件的随机事件的函数P(·)称为所对应事件的概率:
18
1、对事件A,有P(A)³0(非负性)。
2、P(Ù)=1(归一性)。
¥
¥
3、设A1,A2,L,An,L为不相容的随机事件,则有P(UAn)=åP(An)(可列可加性)。
n=1 n=1
(二)概率的基本性质
1、P(f)=0。
å
n n
2、设A1,A2,L,An为互不相容的有限个随机事件列,则P(UAk)= P(Ak)。
k=1 k=1
3、P(A)=1-P(A)。
4、(减法公式)P(A-B)=P(A)-P(AB)。
(三)概率基本公式
1、加法公式
(1)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)。
(2)P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)。
2、条件概率公式:
设A,B是两个事件,且P(A)>0,则P(B|A)=P(AB)。
P(A)
3、乘法公式
(1)设P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(B|A)。
(2)P(A1A2LAn)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)LP(An|A1A2LAn-1)。
三、事件的独立性
1、两个事件的独立—设A,B是两个事件,若P(AB)=P(A)P(B),称事件A,B相互独立。
⎧P(AB)=P(A)P(B);
⎪P(AC)=P(A)P(C);
2、三个事件的独立—设A,B,C是三个事件,若⎨
⎪P(BC)=P(B)P(C);
⎩P(ABC)=P(A)P(B)P(C),
,称事件A,B,C相互独立。
【注解】
(1)A,B相互独立的充分必要条件是A,B、A,B、A,B任何一对相互独立。
(2)设P(A)=0或P(A)=1,则A与任何事件B独立。
(3)设P(A)>0,P(B)>0,若A,B独立,则A,B不互斥;若A,B互斥,则A,B不独立。
四、全概率公式与Bayes公式
1、完备事件组—设事件组A1,A2,L,An满足:
(1)AiAj=f(i,j=1,2,L,n,i¹j);
n
(2)UAi=Ù,则称事件组A1,A2,L,An为一个完备事件组。
i=1
2、全概率公式:
设A1,A2,L,An是一个完备事件组,且P(Ai)>0(i=1,2,L,n),B为事件,则
n
P(B)=åP(Ai)P(B|Ai)。
i=1
3、贝叶斯公式:
设A1,A2,L,An为一个完备事件组,且P(Ai)>0(i=1,2,L,n),B为任一随机事件,P(B)>0,则P(A|B)=P(Ai)P(B|Ai)。
i P(B)
例题选讲
一、填空题
1、设P(A)=0.4,P(AÈB)=0.7,
(1)若A,B不相容,则P(B)=;
(2)若A,B相互独立,则P(B)=。
2、设P(A)=P(B)=P(C)=1,P(AB)=P(AC)=P(BC)=1
4 6
,则事件A,B,C全不发生的概率为
。
,且有 ,
3、设两两相互独立的事件A,B,C满足:
ABC=f,P(A)=P(B)=P(C)<1 P(A+B+C)=9
2 16
则P(A)=。
4、设事件A,B满足P(AB)=P(AB),且P(A)=p,则P(B)=。
5、设A,B为两个相互独立的随机事件,且A,B都不发生的概率为1,A发生B不发生的概率与A不发生B
9
发生的概率相等,则P(A)=。
二、选择题:
1、设A,B是两个随机事件,且0
0,P(B|A)=P(B|A),则[ ]
(A)P(A|B)=P(A|B); (B)P(A|B)¹P(A|B);
(C)P(AB)=P(A)P(B); (D)P(AB)¹P(A)P(B)。
2、设事件A,B满足0
(A)事件A,B对立; (B)事件A,B相互独立;
(C)事件A,B不相互独立; (D)事件A,B不相容。
三、解答题
1、一批产品共有10个正品和2个次品,任意抽取2次,每次抽取一个,抽取后不放回,求第二次抽取的是次品的的概率。
2、设工厂A与工厂B的次品率分别为1%和2%,现从由A和B生产的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件,发现是次品,求该次品是A生产的概率。
,求事件
3、设事件A在每次试验中的概率为p,三次独立重复试验中事件A至少出现一次的概率为19 A
27
发生的概率p。
4、甲乙两人独立对同一目标射击一次,命中率分别为50%和60%,已知目标被命中,求是甲命中的概率。
第二章 一维随机变量及其分布
一、基本概念
1、随机变量—设Ù为随机试验E的样本空间,x为定义在Ù上的函数,对任意的wÎÙ,总存在唯一确定的x(w)与之对应,称x为随机变量,若x的可能取值为有限个或可列个,称x为离散型随机变量,若x在某可区间上连续取值,称x为连续型随机变量。
2、分布函数—设x为一个随机变量,称函数F(x)=P{x£x}(-¥ 【注解1】分布函数的四个特征为 (1)0£F(x)£1。 (2)F(x)单调不减。 (3)F(x)右连续。 (4)F(-¥)=0,F(+¥)=1。 【注解2】分布函数的性质
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