拔高教育K12课标通用高考数学一轮复习第三章导数及其应用32导数与函数的单调性极值最值学案理.docx
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拔高教育K12课标通用高考数学一轮复习第三章导数及其应用32导数与函数的单调性极值最值学案理
§3.2 导数与函数的单调性、极值、最值
考纲展示► 1.了解函数单调性和导数的关系;能利用导数研究函数的单调性;会求函数的单调区间.
2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、极小值;会求闭区间上函数的最大值、最小值.
3.会用导数解决实际问题.
考点1 利用导数研究函数的单调性
函数的单调性与导数
在(a,b)内的可导函数f(x),f′(x)在(a,b)任意子区间内都不恒等于0.
f′(x)≥0⇔f(x)在(a,b)上为________.
f′(x)≤0⇔f(x)在(a,b)上为________.
答案:
增函数 减函数
(1)[教材习题改编]函数f(x)=ex-2x的单调递增区间是________.
答案:
(ln2,+∞)
(2)[教材习题改编]求f(x)=x+cosx,x∈R的单调区间.
解:
f′(x)=1-sinx≥0,
所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,
即(-∞,+∞)是f(x)的单调递增区间.
导数符号与单调性.
已知函数f(x)=x3-ax2+ax是R上的增函数,则实数a的取值范围为__________.
答案:
[0,3]
解析:
依题意,f′(x)=3x2-2ax+a≥0恒成立,所以Δ=4a2-12a≤0,解得0≤a≤3.
[典题1] 设函数f(x)=x3-x2+bx+c,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=1.
(1)求b,c的值;
(2)求函数f(x)的单调区间;
(3)设函数g(x)=f(x)+2x,且g(x)在区间(-2,-1)内为单调递减函数,求实数a的取值范围.
[解]
(1)f′(x)=x2-ax+b,
由题意得即
(2)由
(1),得f′(x)=x2-ax=x(x-a).
①当a=0时,f′(x)=x2≥0恒成立,即函数f(x)在(-∞,+∞)内为单调增函数.
②当a>0时,由f′(x)>0得,x>a或x<0;
由f′(x)<0得,0 即函数f(x)的单调递增区间为(-∞,0),(a,+∞),单调递减区间为(0,a). ③当a<0时,由f′(x)>0得,x>0或x 由f′(x)<0得,a 即函数f(x)的单调递增区间为(-∞,a),(0,+∞),单调递减区间为(a,0). (3)∵g′(x)=f′(x)+2=x2-ax+2,且g(x)在(-2,-1)上为减函数, ∴g′(x)≤0,即x2-ax+2≤0在(-2,-1)上恒成立, ∴即 解得a≤-3, 即实数a的取值范围为(-∞,-3]. [题点发散1] 在本例(3)中,若g(x)的单调减区间为(-2,-1),如何求解? 解: ∵g(x)的单调减区间为(-2,-1), ∴x1=-2,x2=-1是g′(x)=0的两个根, ∴(-2)+(-1)=a,即a=-3. [题点发散2] 在本例(3)中,若g(x)在区间(-2,-1)上存在单调递减区间,如何求解? 解: g′(x)=x2-ax+2, 依题意,存在x∈(-2,-1),使不等式g′(x)=x2-ax+2<0成立, 即当x∈(-2,-1)时,a 当且仅当x=即x=-时等号成立. 所以满足要求的a的取值范围是(-∞,-2). [题点发散3] 在本例(3)中,若g(x)在区间(-2,-1)上不单调,如何求解? 解: ∵g(x)在(-2,-1)上不单调,g′(x)=x2-ax+2, ∴g′(-2)·g′(-1)<0或 由g′(-2)·g′(-1)<0,得(6+2a)(3+a)<0,无解. 由得 即解得-3 即实数a的取值范围为(-3,-2). [题点发散4] 在本例(3)中,若函数g(x)在R上为单调函数,如何求解? 解: ∵g′(x)=x2-ax+2, ∴要使g(x)在R上为单调函数,则g′(x)≥0恒成立, ∴Δ=a2-8≤0,即a2≤8, ∴-2≤a≤2. 即实数a的取值范围为[-2,2]. [点石成金] 1.利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号,当f(x)含参数时,需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论. 2.若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减),求参数范围问题,可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题,从而构建不等式,要注意“=”不能省略,否则可能会漏解. 已知函数f(x)=x2+alnx. (1)当a=-2时,求函数f(x)的单调递减区间; (2)若函数g(x)=f(x)+在[1,+∞)上单调,求实数a的取值范围. 解: (1)由题意知,函数的定义域为(0,+∞), 当a=-2时,f′(x)=2x-=, 由f′(x)<0得0<x<1, 故f(x)的单调递减区间是(0,1). (2)由题意得g′(x)=2x+-,函数g(x)在[1,+∞)上是单调函数. ①若g(x)为[1,+∞)上的单调增函数,则g′(x)≥0在[1,+∞)上恒成立,即a≥-2x2在[1,+∞)上恒成立,设φ(x)=-2x2,∵φ(x)在[1,+∞)上单调递减, ∴φ(x)max=φ (1)=0,∴a≥0. ②若g(x)为[1,+∞)上的单调减函数,则g′(x)≤0在[1,+∞)上恒成立,不可能. ∴实数a的取值范围为[0,+∞). 考点2 利用导数研究函数的极值 函数的极值 (1)函数的极小值: 函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,f′(a)=0;而且在点x=a附近的左侧________,右侧________,则点a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值. (2)函数的极大值: 函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近的其他点的函数值都大,f′(b)=0;而且在点x=b附近的左侧________,右侧________,则点b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. 极小值点、极大值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值. 答案: (1)f′(x)<0 f′(x)>0 (2)f′(x)>0 f′(x)<0 [教材习题改编]若f(x)=ax3+3x+2无极值,则a的取值范围为________. 答案: [0,+∞) 易混的一组概念: 极值点;极值;最值. (1)函数y=x+(x>0)的极小值点为________; (2)函数y=x+(x>0)的极小值为________; (3)函数y=x+(x>0)的最小值为________. 答案: (1)x= (2)2 (3)2 解析: (1)y′=1-,令y′=0,得x=或x=-(舍去).当x∈(0,)时,y′<0;当x∈(,+∞)时,y′>0.所以x=是函数的极小值点.极值点是函数取得极值时对应的x的值,而不是函数值. (2)由 (1)知,当x=时,函数取得极小值y=+=2. (3)由 (1) (2)知,函数的极小值恰好是函数的最小值,即ymin=2.极值是个“局部”概念,而最值是个“整体”概念.函数在开区间内只有一个极值时,那么极值是相应的最值. [考情聚焦] 函数的极值是每年高考的必考内容,题型既有选择题、填空题,也有解答题,难度适中,为中高档题. 主要有以下几个命题角度: 角度一 知图判断函数的极值 [典题2] 设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数y=(1-x)f′(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是( ) A.函数f(x)有极大值f (2)和极小值f (1) B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f (1) C.函数f(x)有极大值f (2)和极小值f(-2) D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f (2) [答案] D [解析] 由题图可知,当x<-2时,f′(x)>0;当-2<x<1时,f′(x)<0;当1<x<2时,f′(x)<0;当x>2时,f′(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x=-2处取得极大值,在x=2处取得极小值. 角度二 求函数的极值 [典题3] [2017·山东济宁模拟节选]已知函数f(x)=(k≠0),求函数f(x)的极值. [解] f(x)=,其定义域为(0,+∞),则f′(x)=-. 令f′(x)=0,得x=1, 当k>0时,若0 若x>1,则f′(x)<0, ∴f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,即当x=1时,函数f(x)取得极大值. 当k<0时,若0 ∴f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,即当x=1时,函数f(x)取得极小值. [点石成金] 1.求函数f(x)极值的步骤: (1)确定函数的定义域; (2)求导数f′(x); (3)解方程f′(x)=0,求出函数定义域内的所有根; (4)列表检验f′(x)在f′(x)=0的根x0左右两侧值的符号,如果左正右负,那么f(x)在x0处取极大值,如果左负右正,那么f(x)在x0处取极小值. 2.可导函数y=f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)=0,且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同,应注意,导数为零的点不一定是极值点.对含参数的求极值问题,应注意分类讨论. 角度三 已知极值求参数 [典题4] (1)[2017·浙江金华十校联考]已知函数f(x)=x(lnx-ax)有两个极值点,则实数a的取值范围是________. [答案] [解析] f′(x)=(lnx-ax)+x=lnx+1-2ax,令f′(x)=0,得2a=. 设φ(x)=,则φ′(x)=-,易知φ(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,所以φ(x)max=φ (1)=1,则φ(x)的大致图象如图所示. 若函数f(x)有两个极值点,则直线y=2a和y=φ(x)的图象有两个交点,所以0<2a<1,得0 (2)[2017·辽宁沈阳模拟]设函数f(x)=lnx-ax2-bx,若x=1是f(x)的极大值点,则a的取值范围为________. [答案] (-1,+∞) [解析] f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=-ax-b,由f′ (1)=0,得b=1-a. ∴f′(x)=-ax+a-1=. ①若a≥0,当0
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