选修42矩阵与变换第二节矩阵的逆矩阵特征值与特征向量分析.docx
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选修42矩阵与变换第二节矩阵的逆矩阵特征值与特征向量分析
第二节矩阵的逆矩阵、特征值与特征向量
[主匸離构]定义
[距阵的逆矩阵、辐征值与特征向员
».
匸杏征值与I怖向址
1.矩阵的逆矩阵
(1)—般地,设p是一个线性变换,如果存在线性变换0,使得6严p齐I,则称变换p
可逆,并且称O是p的逆变换.
(2)设A是一个二阶矩阵,如果存在二阶矩阵B,使得BA=AB=E,则称矩阵A可逆,
或称矩阵A是可逆矩阵,并且称B是A的逆矩阵.
(3)(性质1)设A是一个二阶矩阵,如果A是可逆的,则A的逆矩阵是唯一的,A的逆矩阵记为A_.
-1-1-
(4)(性质2)设A,B是二阶矩阵,如果A,B都可逆,则AB也可逆,且(AB)=BA
2.二阶行列式与方程组的解
3.
方程组的解为
Dxx=
Dyy=
4.矩阵特征值、特征向量的相关概念
宅b"l
(1)定义:
设矩阵A=J,如果存在实数入以及非零向量匕使得AE=入,,则称入是
jcd」
矩阵A的一个特征值,E是矩阵A的属于特征值入的一个特征向量.
(2)—般地,设E是矩阵A的属于特征值入的一个特征向量,则对任意的非零常数k,KE
也是矩阵A的属于特征值入的特征向量.
⑶一般地,属于矩阵的不同特征值的特征向量不共线
h—a—b
h—a—b
A=
称f(h=
为矩阵A的特征多项式,方程
£d_
—c—d
—ch—d
(4)设矩阵
=0为矩阵A的特征方程.
5.特征向量的应用
(1)设A是一个二阶矩阵,a是矩阵A的属于特征值入的任意一个特征向量,则Ana=fan*
€N).
(2)性质1设兀h是二阶矩阵A的两个不同特征值,&,&是矩阵A的分别属于特征
值入,h的特征向量,对于任意的非零平面向量a,设a=bEi+t2^2(其中ti,t2为实数),则
对任意的正整数n,有Ana=2jjj2.
加石测]<oooo
2.若矩阵
3可逆,则k的值不可能是
k
答案:
15
21-a
解析:
由题意|A|=
答案:
—1
x3+m一
4.对任意实数x,矩阵]总存在特征向量,则m的取值范围是
_2—m2
k-x—3—m解析:
由条件得f(k=
m—2—2
=(入一x)(入一2)—(m—2)(—3—m)
2»…一
=入一(x+2)H2x+(m+3)(m—2)=0有实数根,
22
所有Ai=(x+2)—4(2x+m+m—6)>0对任意实数x恒成立,
2
所以A2=16+4(4m+4m—28)<0,
解得m的取值范围是一3答案:
—3a+b=8,故
|c+d=8,
l—F——―1
例1求矩阵A=32的逆矩阵.
21
【解析】法一:
设矩阵A的逆矩阵为|xy\
丄W—
3x+2z3y+2wI即
2x+z2y+w
3y+2w=0,
2y+w=1,
3x+2z=1,
故
2x+z=0,
解得x=—1,z=2,y=2,w=—3,
—1
—1
—2
3
■—1
—1丿
f1
/-3
:
A-1
■—121
【点评】方法一是待定系数法;方法二是公式法.
£变式训练
1.已知变换矩阵A把平面上的点P(2,—1)、Q(—1,2)分别变换成点Pi(3,—4)、Qi(0,5).
(1)求变换矩阵A;
:
如不可逆,请说明
—1
(2)判断变换矩阵A是否可逆,如果可逆,求矩阵A的逆矩阵A
理由.
卩1
!
2一
=匸卜
r2a—b=3,
i
2c—d=—4,
b=1,
解得:
j
—a+2b=0,
c=—
1,
即
ab
cd
_21-
所以所求的变换矩阵2]⑵'.detA=2X2-(—1)X1=5,
••A可逆
—1
1、
1
5
5
1|5
—5|
A-1=
1=1
—
u—n
2I1
2
5
5丿‘5
5丿
热点考向二
利用矩阵解二兀一次方程组
步骤-求|a1b订的逆矩阵-求方程组的解
卫2b2」
[例2
(1)求矩阵A=fJ的逆矩阵;
(2)利用逆矩阵知识,
解方程组
2x+3y—1=0,x+2y—3=0.
【解析】
(1)法一:
设矩阵A的逆矩阵为A-1=rb1,
xd」
2a+3c=1,
知2b+3d=0,
a+2c=0,b+2d=1.
a=2,
b=—3,c=—1,
d=2.
••|A|=4—3=1,
2Z3
|11|f-3【
I-12-12
-11-
二31
⑵二元一次方程组的系数矩阵为A=Ic,
-12」
由
(1)知A-J2-3]
二12一
[2x+3y=1,
因此方程
[x+2y=3
有唯一解
即x=-7,
|y=5.
a1x+b1y=C1
【点评】二兀一次方程组(a1,b1不同时为零,
a2x+b2y=C2
a2,b2不同时为零)的
,若Al=0,则方程组
有无数解或无解.
2x+y=8,
2.用矩阵方法求解二元一次方程组
4x-5y=2.
解析:
原方程组可以写成『==I8',
4-5」®」-2」
其行列式
=2X(—5)—1X4=—14工0,
1豊
.'M—1=
1
14
r=m-1
1'=!
i,,即方程组的解为‘
=3,
(1)求A的特征值
4⑵求AB.
【解析】
(1)设A的一个特征值为入由题意知:
"X—1—2~\
=0,即(入一2)(X—3)=0,解得X=2,X=3,
■1
X=2时,由厂1
IXL2j
,得A属于特征值2的特征向量
a1=I2
E=3f
,得A属于特征值3的特征向量
(2)由于B=13L?
!
711
=a1+a.
[113
^97
解决此类问
4444一
故AB=A(a+a)=(2a)+(3a)=16a+81a=
【点评】求矩阵的特征值及对应的特征向量是矩阵与变换的重点和难点,
题首先要利用行列式求出特征徝,然后求出相应的特征向量.请注意每一个特征值对应无数个特征向量,选择坐标为整数的解就能使后面计算简单、方便.
即c+d=6;
-3]
由矩阵A属于特征值1的一个特征向量a=2,
ion
一、填空题
713_1
1•已知A=|可逆,则实数a的取值范围是
a6」
解析:
矩阵A可逆当且仅当det(A)丰0,
•'a的取值范围为(一a,2)L(2,+s).
答案:
(一a,2)U(2,+a)
_3
2•设矩阵
,则矩阵M的特征向量可以是
-2
解析:
矩阵M的特征多项式
由于f(为=0得矩阵M的特征值为
入=1,?
2=—1.
,而属于特征值匕-1
经计算可得,矩阵M属于特征值x=1的一个特征向量为^3的一个特征向量为1
(空3
答案:
「厂
I—;3
3•设可逆矩阵A=J
|a3的逆矩阵A-1
-45」
解析:
由AA-1=E得
ab+3a
ac—3I
71
占b+5a
4c—5
「ac3,
ab+3a=1
答案:
2—23
丄2_
2x—2y=—1,
解析:
因为方程组---的矩阵形式是
2x+2y=1,
n变换得到—1,所以解
4一i
方程组就是把向量:
1[绕原点作顺时针旋转沪旋转变换
答案:
n
1+、3
•41
2
1-.3
2
答案:
6.
1,bt2,…,zt26,
现用矩阵对信息进行加密后传递,规定英文字母数字化为:
解析:
因为A=『4,所以detA=I14=2工0,
42->02
一1-2〕
所以A-1=1,而密码矩阵为
?
1一
B=I67
J30
31
8
_1
故明码矩阵X=A-1B=
-21
1
2-
31]715]
=I,
8」-154」
对应信息为good”.
答案:
good
--1[
7.矩阵M=5的特征值与特征向量分别为
勺3一
52
=(入+1)(X—3)—(—2)(—-)=f—2-8=0,得矩阵
值为X=4,X=—2.
&=—2的一个特征向量.
答案:
&已知矩阵A=f—1,B=『—1,,则满足方程AX=B的二阶矩阵X=
_—43_—31
年-11
解析:
・.A=
「43一
2—1
.•|A|==2X3—(—1)X(—4)=2工0.
—43
311
•■A—1=22:
:
AX=B,.・・X=A—1B,
9一25-
11
AS
2]
7
31
70
A=
J,B=
C=
I-2
-3」
】1
2-
〕1
C,
所以
1
(A-A)XBB
-1
=A-1CB-
1
9.已知矩阵
解析:
AXB=
1,求满足AXB=C的矩阵X.
0
而A-1AXB-B-1=EXBB-1
因为A-1=-3
_2
B-1=
2-31
所以X=A-1CB
「2-31
10.已知矩阵A=62
(1)求矩阵A的特征值及对应的特征向量;
(2)
计算矩阵An.
入一6
=(—6)(—4)—8=f-10入+16=0.
当f=8时,A属于f的特征向量为
当?
2=2时,A属于h的特征向量为
⑵设An=
nnnn
Aai=8ai,Aa=2a,
n
a+b=8
c+d=8n
即
a—2b=2n
c-2d=—22n
解得a=
n^n
2X8+2
n
8
—2
n
8n+2n+
i
2X8n—2n+1
c=
故An=
2X8n+2n8n—2n
I33
2X8n—2n+1
8n+2n+1
3
3
11.给定矩阵
2
1,向量
(1)求证:
M和N互为逆矩阵;
⑵求证:
向量a同时是M和N的特征向量;
(3)指出矩阵M和N的一个公共特征值.
-2—1-j
3—3,2们;10]
解析:
(1)证明:
因MN=J=J,
.12〜2」J1」
-—32
-01J
且NM=I2
所以M和N互为逆矩阵.
(2)证明:
因为M%
因为
12.(2011年福建)设矩阵M=打0(
b*其中a>0,b>0)
Mt;
故1是矩阵M和N的一个公共特征值.
1若a=2,b=3,求M的逆矩阵
2若曲线C:
x2+y2=1,在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线
2
C':
x+y2=1,求a,b的值.
4
•'2x1=1,2y1=0,3x2=0,3y2=1.
11
即x=2,y1=0,X2=0,y2=3
ax=x'by=y'
又点P'(X’,y')在C'上,所以
2
・+y'2=1.
22
即亍+b2y~1为曲线C的方程.
又C的方程为x2+y2=1,
a2=4,b2=1.
|a=2,
又a>0,b>0,所以
[b=1.
卫
答案:
「1
_1
X=3时,由.1
•-1=