导数中的双变量问题.docx
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导数中的双变量问题
导数
1、设函数.
(1)讨论函数在定义域内的单调性;
(2)当时,任意,恒成立,求实数的取值范围.
2、已知二次函数对都满足且,设函数(,).
(Ⅰ)求的表达式;(Ⅱ)若,使成立,求实数的取值范围;
(Ⅲ)设,,求证:
对于,恒有.
3、设是函数的一个极值点.
(1)求与的关系式(用表示),并求的单调区间;
(2)设,若存在,使得成立,求的取值范围.
4、.
(1)若,求函数的极值;
(2)若是函数的一个极值点,试求出关于的关系式(用表示),并确定的单调区间;
(3)在
(2)的条件下,设,函数.若存在使得成立,求的取值范围.
5、已知函数在点处的切线方程为.
⑴求函数的解析式;
⑵若对于区间上任意两个自变量的值都有,求实数的最小值;
⑶若过点可作曲线的三条切线,求实数的取值范围.
6、设函数
⑴讨论函数的单调性;
⑵若有两个极值点,记过点的直线斜率为,问:
是否存在,使得若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
7、已知函数
.
⑴求函数
的单调增区间;
⑵记函数
的图象为曲线
,设点
是曲线
上两个不同点,如果曲线
上存在点
,使得:
①
;②曲线
在点
处的切线平行于直线
,则称函数
存在“中值相依切线”.试问:
函数
是否存在中值相依切线,请说明理由.
8、已知函数.
⑴试讨论在定义域内的单调性;
⑵当<-1时,证明:
,.求实数的取值范围.
9、已知函数.
⑴讨论函数的单调性;
⑵设,如果对任意,≥,求的取值范围.
10、已知函数f(x)=x2-ax+(a-1),.
(1)讨论函数的单调性;
(2)证明:
若,则对任意x,x,xx,有.
11、已知函数
(1)确定函数的单调性;
(2)若对任意,且,都有,求实数a的取值范围。
12、已知二次函数和“伪二次函数”(、、),
(I)证明:
只要,无论取何值,函数在定义域内不可能总为增函数;
(II)在二次函数图象上任意取不同两点,线段中点的横坐标为,记直线的斜率为,
(i)求证:
;(ii)对于“伪二次函数”,是否有①同样的性质证明你的结论.
13、已知函数,a为正常数.
⑴若,且a,求函数的单调增区间;
⑵在⑴中当时,函数的图象上任意不同的两点,,线段的中点为,记直线的斜率为,试证明:
.
⑶若,且对任意的,,都有,求a的取值范围.
14、已知函数.
(1)若对任意的恒成立,求实数的取值范围;
(2)当时,设函数,若,求证
15、已知函数,
(Ⅰ)求的极值(Ⅱ)若在上恒成立,求的取值范围
(Ⅲ)已知,且,求证
16、已知函数的图象为曲线,函数的图象为直线.
(Ⅰ)当时,求的最大值;
(Ⅱ)设直线与曲线的交点的横坐标分别为,且,求证:
.
17、已知函数
,其中常数
⑴若
处取得极值,求a的值;⑵求
的单调递增区间;
⑶已知
若
,且满足
,试比较
的大小,并加以证明。
18、已知函数.
⑴若,求的单调区间;
⑵已知是的两个不同的极值点,且,若恒成立,求实数b的取值范围。
19、已知函数
⑴求函数的单调区间和极值;
⑵已知函数的图象与函数的图象关于直线对称,证明当时,
⑶如果,且,证明
20、已知函数
⑴求函数的单调区间和极值;
⑵已知函数对任意满足,证明:
当时,
⑶如果,且,证明:
21、已知函数
,
(Ⅰ)若
,求
的单调区间;
(Ⅱ)对于任意的
,比较
与
的大小,并说明理由.
22、函数
,
(1)求函数
的最大值。
(2)对于任意
,且
,是否存在实数
,使
恒为正数若存在,求实数
的取值范围;若不存在,请说明理由。
23、已知函数
,其中
且
。
(1)讨论
的单调区间;
(2)若直线
的图像恒在函数
图像的上方,求
的取值范围
(3)若存在
,
,使得
,求证
。
24、
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- 导数 中的 变量 问题