中考数学确定圆的位置三心专题含答案.docx
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中考数学确定圆的位置三心专题含答案
【知识梳理】
三角形的内心和外心
(1)确定圆的条件:
不在同一直线上的三个点确定一个圆.两条弦垂直平分线的交点。
(2)三角形的外心:
三角形的三个顶点确定一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点,叫做三角形的外心.
(3)三角形的内心:
和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心
(4)圆内接四边形性质(四点共圆的判定条件)
圆内接四边形对角互补。
【方法指导】
(1)在图1中,∠BOC=2∠A;
(2)在图2中,∠BOC=90°+∠A;
(3)直角三角形的外接圆半径和内切圆半径的求法:
如图3,Rt△ABC的外接圆半径O1A=;Rt△ABC的内切圆半径O1D=或O2D=
【经典例题1】(2020泰州)如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成,点A、B、C、在直角坐标系中的坐标分别为(3,6),(-3,3),(7,-2),则△ABC内心的坐标为.
【解析】根据A、B、C三点的坐标建立如图所示的坐标系,
根据题意可得:
AB=,AC=,BC=,
∵AB2+AC2=BC2,
∴∠BAC=90°,
设BC的关系式为:
y=kx+b,
代入B(-3,3),C(7,-2),
可得,
解得:
,
∴BC:
y=+,
当y=0时,x=3,即G(3,0),
∴点A与点G关于BD对称,射线BD是∠ABC的平分线,
设点M为三角形的内心,内切圆的半径为r,在BD上找一点M,过点M作ME⊥AB,过点M作MF⊥AC,且ME=MF=r,
∵∠BAC=90°,
∴四边形MEAF为正方形,
S△ABC=,
解得:
r=,
即AE=EM=,
∴BE=3-=2,
∴BM=,
∵B(-3,3),
∴M(2,3),
故答案为:
(2,3).
【经典例题2】如图,在平面直角坐标系xOy中,点A为(0,3),点B为(2,1),点C为(2,-3),则经画图操作可知:
△ABC外心的坐标应是( )
A.(-3,-1)B.(-1,-1)C.(-2,-1)D.(-4,-1)
【解析】∵△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点,
∴作图得:
∴EF与MN的交点O′即为所求的△ABC的外心,
∴△ABC的外心坐标是(−2,−1).
故选C.
练习1-1如图,在5×5正方形网格中,一条圆弧经过A、B、C三点,那么这条圆弧所在圆的圆心是()
A.点PB.点QC.点RD.点M
【解析】连结BC,
作AB和BC的垂直平分线,它们相交于Q点。
故选B.
练习1-2如图,方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度,点O,A,B,C在格点(两条网格线的交点叫格点)上,以点O为原点建立直角坐标系,则过A,B,C三点的圆的圆心坐标为.
【解析】连接CB,作CB的垂直平分线,如图所示:
在CB的垂直平分线上找到一点D,
CD=DB=DA=,
所以D是过A,B,C三点的圆的圆心,
即D的坐标为(−1,−2),
故答案为:
(−1,−2),
练习1-3如图,在平面直角坐标系xOy中,点A,B,P的坐标分别为(1,0),(2,5),(4,2).若点C在第一象限内,且横坐标、纵坐标均为整数,P是△ABC的外心,则点C的坐标为____.
【解析】∵点A.B.P的坐标分别为(1,0),(2,5),(4,2).
∴PA=PB=,
∵点C在第一象限内,且横坐标、纵坐标均为整数,P是△ABC的外心,
∴PC=PA=PB=,
则点C的坐标为(7,4)或(6,5)或(1,4);
故答案为:
(7,4)或(6,5)或(1,4).
练习1-4如图,已知直角坐标系中,A(0,4)、B(4,4)、C(6,2),写出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标:
(,)
【解析】根据垂径定理的推论:
弦的垂直平分线必过圆心,
可以作弦AB和BC的垂直平分线,交点即为圆心.
如图所示,则圆心是(2,0).
故答案为:
2,0.
练习1-5(2020·东莞市期末)如图2,在平面直角坐标系中,点的坐标为(1,4)、(5,4)、(1、),则外接圆的圆心坐标是()
A.(2,3)B.(3,2)C.(1,3)D.(3,1)
【解析】根据垂径定理的推论,则
作弦AB、AC的垂直平分线,交点O1即为圆心,且坐标是(3,1).
故选D.
练习1-6如图,每个小三角形都是正三角形,则△ABC的外心是().
A.D点B.E点C.F点D.G点
【解析】如图,连接BE
设小正三角形的边长为1,则AN=MN=AN=2,BN=BM=1,AP=CQ=1,
即∠APE=∠CQE=60°
∴AB⊥MN,即∠ABC=90°
∵∠AEP=∠CEQ
∴△APE≌△CEQ
∴AE=CE
∴BE=AE=CE=AC
∴点E是△ABC的外心
故选B
练习1-710个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内,A、B、C、D、E、O均是正六边形的顶点,则点O是下列哪个三角形的外心()
A.△AEDB.△ABDC.△BCDD.△ACD
【解析】D
练习1-8如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,△AOB为Rt△,点A的坐标是(1,0),∠BAO=60°,把Rt△AOB绕点A按顺时针方向旋转90°后,得到Rt△AO'B',则Rt△AO'B'的外接圆圆心坐标是.
答案:
练习1-9如图,在△ABC中,AB=3,AC=,点D是BC边上的一点,AD=BD=2DC,设△ABD与△ACD的内切圆半径分别为r1,r2,那么=()
A.2B.C.D.
【解析】如图,设O与△ABC内切于E.F.G.
∵DA=DB,DG=DF,
∴BF=AG=BE=AE,
∵AB=3,
∴AE=BE=BF=AG=,设DF=DG=m,
∵AD=2DC,
∴CD=(+m),
∵S△ABD:
S△ADC=BD:
DC=2:
1,
∴(3+3+2m)⋅r1:
[+(+m)]⋅r2=2:
1,
∴(6+2m)⋅r1:
(2+2m)⋅r2═2:
1,
∴r1:
r2=3:
2.
故选C.
【经典例题3】如图,在△ABC中,∠A=60°,BC=5cm.能够将△ABC完全覆盖的最小圆形纸片的直径是cm.
【解析】设圆的圆心为点O,能够将△ABC完全覆盖的最小圆是△ABC的外接圆,
∵在△ABC中,∠A=60°,BC=5cm,
∴∠BOC=120°,
作OD⊥BC于点D,则∠ODB=90°,∠BOD=60°,
∴BD=,∠OBD=30°,
∴OB=,得OB=,
∴2OB=,
即△ABC外接圆的直径是cm,
故答案为:
.
练习3-1(2019·台州市期中)如图,在5×5的正方形网格中,一条圆弧经过A,B,C三点,那么这条弧所在圆的半径是( )
A.2B.C.D.3
【解析】连结BC,
作AB和BC的垂直平分线,它们相交于Q点。
再根据勾股定理求得CQ=
故选B.
练习3-2如图,在△ABC中一点D为△ABC的内心,∠A=60°,CD=2,BD=4,则△DBC的面积是.
【解析】过点B作BH⊥CD于点H.
∵点D为△ABC的内心,∠A=60∘,
∴∠BDC=90∘+12∠A=90∘+12×60∘=120∘,
则∠BDH=60∘,
∵BD=4,BD:
CD=2:
1
∴DH=2,BH=2,CD=2,
∴△DBC的面积为CD⋅BH=×2×2=2,
故选:
C.
练习3-3如图,在等腰△ABC中,AB=AC=2,BC=8,按下列步骤作图:
①以点A为圆心,适当的长度为半径作弧,分别交AB,AC于点E,F,再分别以点E,F为圆心,大于EF的长为半径作弧相交于点H,作射线AH
②分别以点A,B为圆心,大于AB的长为半径作弧相交于点M,N,作直线MN,交射线AH于点O;
③以点O为圆心,线段OA长为半径作圆
则的圆O的半径为()
A.2B.10C.4D.5
【解析】如图,设OA交BC于T,AB=AC,AO平分∠BAC
∴AO⊥BC,BT=TC=4
∴AT=
在Rt△OCT中,则有r2=(r-2)2+4解得r=5
故选D.
练习3-4如图,⊙O是等边△ABC的内切圆,分别切AB,BC,AC于点E,F,D,P是上一点,则∠EPF的度数是( )
A.65°B.60°C.58°D.50°
【解析】B如图所示,
练习3-5如图,在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=8cm,O是以BC为直径的圆,点P在AD边上运动(不与A,D重合),BP交O于Q,连接CQ.
(1)设线段BP的长为xcm,CQ的长为ycm.求y关于x的函数关系式和自变量x的取值范围;
(2)求当=时,△APB的外接圆及内切圆的面积.
【解析】
(1)∵BC是圆的直径,∴∠BQC=90°.
∵∠ABP+∠PBC=90°,∠BCQ+∠PBC=90°.
∴∠ABP=∠BCQ.
在△ABP和△QCB中∠A=∠BQC=90°,∠ABP=∠BCQ
∴△ABP∽△QCB.
∴CQ/AB=BC/PB,即.
∵点P在AD边上运动,BD=10,
∴函数关系式为y=.(6 (2)∵=,∴CQ=PB. ∴48/PB=6PB/5,解得PB=2. AP==2. 外接圆的面积S=π()2=10πcm2. 设内切圆半径为r,则根据三角形面积有(6+2+2)r=6×2. 解得r=4−. 所以内切圆的面积S=π(4−)2=(26−8)πcm2. 练习3-6如图所示,破残的圆形轮片上,弦AB的垂直平分线交弧AB于点C,交弦AB于点D.已知: AB=24cm,CD=8cm. (1)求作此残片所在的圆的圆心(不写作法,保留作图痕迹). (2)求 (1)中所作圆的半径. 【解析】 (1)作弦AC的垂直平分线与弦AB的垂直平分线交于O点,以O为圆心OA长为半径作圆O就是此残片所在的圆,如图。 (2)连接OA,设OA=x,AD=12cm,OD=(x−8)cm, 则根据勾股定理列方程: x2=122+(x−8)2, 解得: x=13. 答: 圆的半径为13cm. 练习3-7如图是一块含30°(即∠CAB=30°)角的三角板和一个量角器拼在一起,三角板斜边AB与量角器所在圆的直径MN重合,其量角器最外缘的读数是从N点开始(即N点的读数为0),现有射线CP绕着点C从CA顺时针以每秒2度的速度旋转到与△ACB外接圆相切为止。 在旋转过程中,射线CP与量角器的半圆弧交于E. (1)当射线CP与△ABC的外接圆相切时,求射线CP旋转度数是多少? (2)当射线CP分别经过△ABC的外心、内心时,点E处的读数分别是多少? (3)当旋转7.5秒时,连接BE,求证: BE=CE. 【解析】 (1)连接OC. ∵射线CP与△ABC的外接圆相切, ∴∠OCP=90°, ∵OA=OC, ∴∠ACO=∠A=30°, ∴射线CP旋转度数是120°; (2)∵∠BCA=90°, ∴△ABC的外接圆就是量角器所在的圆。 当CP过△ABC外心时(即过O点),∠BCE=60°, ∴∠BOE=120°,即E处的读数为120, 当CP过△ABC的内心时,∠BCE=45°,∠EOB=90°, ∴E处的读数为90. (3)证明: 在图2中, ∵∠PCA=2×7.5°=15°,∠BCE=75°,∠ECA=∠EBA=15°, ∴∠EBC=∠EBA+∠ABC=∠BCE=75°, ∴BE=EC. 练习3-8如图,在Rt△A
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