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文科数学高考复习专题概率docx
随机事件的概率
高考要求:
1•了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义.
2•了解等可能性事件的概率的意义,会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率.
•知识梳理
1・事件的定义:
随机事件:
在一定条件下可能发生也可能不发生的事件;
必然事件:
在一定条件下必然发生的事件;
不可能事件:
在一定条件下不可能发生的事件.
2.随机事件的概率:
一般地,在大量重复进行同一试验时,事件A发生的频率巴总是
n
接近某个常数,在它附近摆动,这时就把这个常数叫做事件A的概率,记作P(A).
3•概率的确定方法:
通过进行大量的重复试验,用这个事件发生的频率近似地作为它的概率;
4.概率的性质:
必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,随机事件的概率为0
5•基本事件:
一次试验连同其中可能出现的每一个结果(事件A)称为一个基本事件.
6.等可能性事件:
如果一次试验中可能出现的结果有料个,而且所有结果出现的可能性都相等,那么每个基本事件的概率都是丄,这种事件叫等可能性事件.
n
7.等对能性事件的概率:
如果一次试验中可能出现的结果有7T个,而且所有结果都是
H1
等可能的,如果事件A包含加个结果,那么事件A的概率P(A)=—・
n
&随机事件的概率、等可能事件的概率计算
首先、对于每一个随机实验來说,可能出现的实验结果是有限的;其次、所有不同的实验结果的出现是等可能的•一定要在等可能的前提下计算基本事件的个数•只有在每一种可能出现的概率都相同的前提下,计算出的基本事件的个数才是正确的,才能用等可能事件的概率计算公式P(A)二m/n来进行计算.
9.等可能性事件的概率公式及一般求解方法.求解等可能性事件A的概率一般遵循如下步骤:
(1)先确定一次试验是什么,此时一次试验的可能性结果有多少,即求出A
(2)再确定所研究的事件A是什么,事件A包括结果有多少,即求出九(3)应用等可能性事件概率公式P=-计算.确定加、n的数值是关键所在,其计算方法灵活多变,没有固定的模式,可充分n
利用排列组合知识中的分类计数原理和分步计数原理,必须做到不重复不遗漏.
10.频数与频率:
在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n
次试验中事件A出现的次数皿为事件A出现的频数;称事件A出现的比例f,A)二么为事件n
A出现的概率:
对于给定的随机事件A,如果随着试验次数的增加,事件A发生的频率f“(A)稳定在某个常数上,把这个常数记作P(A),称为事件A的概率。
11.频率与概率的区别与联系:
随机事件的频率,指此事件发生的次数皿与试验总次
数n的比值」,它具有一定的稳定性,总在某个常数附近摆动,且随着试验次数的不断增
n
多,这种摆动幅度越来越小。
我们把这个常数叫做随机事件的概率,概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。
频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率
题型讲解:
【例1】判断下列事件哪些是必然事件,哪些是不可能事件,哪些是随机事件?
(1)“抛一石块,下落”•
(2)“在标准大气压下且温度低于0°C时,冰融化”;
(3)“某人射击一次,中靶”;
(4)“如果Qb,那么段一方>0”;
(5)“掷一枚硬币,出现正面”;
(6)“导体通电后,发热”;
(7)“从分别标有号数1,2,3,4,5的5张标签中任取一张,得到4号签”;
(8)“某电话机在1分钟内收到2次呼叫”;
(9)“没有水份,种子能发芽”;
(10)“在常温下,焊锡熔化”.
答:
根据定义,事件
(1)、(4)、(6)是必然事件;事件
(2)、(9)、(10)是不可能事
件;事件(3)、(5)、(7)、(8)是随机事件.
【例2】某射手在同一条件下进行射击,结果如下表所示:
射击次数n
10
20
50
100
200
500
击屮靶心次数m
8
19
44
92
178
455
m
击中靶心的频率二
n
(1)填写表中击中靶心的频率;
(2)这个射手射击一次,击中靶心的概率约是什么?
分析:
事件A出现的频数m与试验次数n的比值即为事件A的频率,当事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上时,这个常数即为事件A的概率。
解:
(1)表中依次填入的数据为:
0.80,0.95,0.88,0.92,0.89,0.91.
(2)由于频率稳定在常数0.89,所以这个射手击一次,击中靶心的概率约是0.89o
小结:
概率实际上是频率的科学抽象,求某事件的概率可以通过求该事件的频率而得之。
【例3】某人进行打靶练习,共射击10次,其小有2次小10环,有3次环中9环,有4次中8环,有1次未屮靶,试计算此人中靶的概率,假设此人射击1次,试问屮靶的概率约为多大?
中10环的概率约为多大?
分析:
中靶的频数为9,试验次数为10,所以靶的频率为—=0.9,所以中靶的概率约为0.9.
10
解:
此人中靶的概率约为0.9;此人射击1次,中靶的概率为0.9;中10环的概率约为0.2.
【例4】如果某种彩票中奖的概率为一^,那么买1000张彩票一定能中奖吗?
请用概率的
1000
意义解释。
分析:
买1000张彩票,相当于1000次试验,因为每次试验的结果都是随机的,所以做1000次试验的结果也是随机的,也就是说,买1000张彩票有可能没有一张中奖。
解:
不一定能中奖,因为,买1000张彩票相当于做1000次试验,因为每次试验的结果都是随机的,即每张彩票可能中奖也可能不中奖,因此,1000张彩票屮可能没有一张中奖,也可能有一张、两张乃至多张屮奖。
【例5】在一场乒乓球比赛前,裁判员利用抽签器来决定由谁先发球,请用概率的知识解释其公平性。
分析:
这个规则是公平的,因为每个运动员先发球的概率为0.5,即每个运动员取得先发球
权的概率是0・5。
解:
这个规则是公平的,因为抽签上抛后,红圈朝上与绿圈朝上的概率均是0.5,因此任何
一名运动员猜中的概率都是0.5,也就是每个运动员取得先发球权的概率都是0.5。
小结:
事实上,只能使两个运动员取得先发球权的概率都是0.5的规则都是公平的。
•闯关训练
夯实基础
1.一个地区从某年起儿年之内的新生儿数及其中男婴数如下:
时间范围
1年内
2年内
3年内
4年内
新生婴儿数
5544
9607
13520
17190
男婴数
2883
4970
6994
8892
男婴出生的频率
(1)填写表中男婴出生的频率(结果保留到小数点后第3位);
(2)这一地区男婴出生的概率约是多少?
答案:
(1)表中依次填入的数据为:
0.520,0.517,0.517,0.517.
n
(2)由表屮的已知数据及公式fn(A)二A即可求出相应的频率,而各个频率均稳定
n
在常数0.518上,所以这一地区男婴出生的概率约是0.518.
2.将一枚硬币向上抛掷10次,其中正面向上恰有5次是()
A.必然事件B.随机事件C.不可能事件D.无法确定
B[提示:
正面向上恰有5次的事件可能发生,也可能不发生,即该事件为随机事件。
]
3.下列说法正确的是()
A.任一事件的概率总在(0.1)内B.不可能事件的概率不一定为0
C.必然事件的概率一定为1D.以上均不对
C[提示:
任一事件的概率总在[0,1]内,不可能事件的概率为0,必然事件的概率为1.]
4.下表是某种油菜子在相同条件下的发芽试验结果表,请完成表格并回答题。
每批粒数
2
5
10
70
130
700
1500
2000
3000
发芽的粒数
2
4
9
60
116
282
639
1339
2715
发芽的频率
(1)完成上面表格:
(2)该油菜子发芽的概率约是多少?
解:
(1)填入表中的数据依次为0.75,0.&0.&0.85,0.83,0.&0.76.
(2)由于上述频率接近0.80,因此,进球的概率约为0.80o
5.某篮球运动员,在同一条件下进行投篮练习,结果如下表如示。
投篮次数
进球次数m
进球频率T
n
(1)计算表中进球的频率;
(2)这位运动员投篮一次,进球的概率约为多少?
解:
(1)填入表中的数据依次为1,0.8,0.9,0.857,0.892,0.910,0.
913,0.893,0.903,0.905.
(2)该油菜子发芽的概率约为0.897。
6.生活中,我们经常听到这样的议论:
“天气预报说昨天降水概率为90%,结果根本一点雨都没下,天气预报也太不准确了。
”学了概率后,你能给出解释吗?
解:
天气预报的“降水”是一个随机事件,概率为90%指明了“降水”这个随机事件发
生的概率,我们知道:
在一次试验屮,概率为90%的事件也可能不出现,因此,“昨天没有下雨”并不说明“昨天的降水概率为90%”的天气预报是错误的。
古典概型
•知识梳理
1.正确理解古典概型的两大特点:
1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;
2)每个基本事件出现的可能性相等:
2.掌握古典概型的概率计算公式:
P(A)=
A包含的基木事件个数
总的基本事件个数
题型讲解:
【例1】掷一颗骰子,观察掷出的点数,求掷得奇数点的概率。
分析:
掷骰子有6个基本事件,具有有限性和等可能性,因此是古典概型。
解:
这个试验的基本事件共有6个,即(出现1点)、(115现2点)……、(出现6点)
所以基本事件数n二6,事件A二(掷得奇数点)=(出现1点,出现3点,出现5点),
31
其包含的基本事件数m二3所以,P(A)=-=-=-=0.5
n62
【小结】利用古典概型的计算公式吋应注意两点:
(1)所有的基本事件必须是互斥的;
(2)m为事件A所包含的基本事件数,求m值时,要做到不重不漏。
【例2】从含有两件正品印,和一件次品b的三件产品中,每次任収一件,每次取岀后不放回,连续取两次,求取出的两件产品中恰有一件次品的概率。
解:
每次取出一个,取后不放冋地连续取两次,其一切可能的结果组成的基本事件有6个,即(ai,a?
)和,(ai,b?
),(a2,ai),(a?
bi),(bi,ai),(b2,a2)。
其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品,右边的字母表示第2次取出的产用A表示“取出的两种中,恰好有一件次品”这一事件,则A=[(a.,bi),(a2,bi),(bi,a.),(bi,a2)]
42
事件A由4个基本事件组成,因而,P(A)=-=-
63
【例3】现有一批产品共有10件,其屮8件为正品,2件为次品:
(1)如果从中取出一件,然后放回,再取一件,求连续3次取出的都是正品的概率;
(2)如果从中一次収3件,求3件都是正品的概率.
分析:
(1)为返回抽样;
(2)为不返回抽样.
解:
(1)有放回地抽取3次,按抽取顺序(x,y,z)记录结果,则x,y,z都有10种可能,所以试验结果有10X10X10二1(/种;设事件A为“连续3次都収正品”,则包含的基本事件共
有8X8X8二扌种,因此,P(A)=
83
1O7
=0.512.
336
720
(2)解法1:
可以看作不放回抽样3次,顺序不同,基本事件不同,按抽取顺序记录(x,y,z),则x有10种可能,y有9种可能,z有8种可能,所以试验的所有结果为10X9X8=720种.设事件B为“3件都是正品”,则事件B包含的基本事件总数为8X7X6=336,所以P(B)二
~0.467.
解法2:
可以看作不放回3次无顺序抽样,先按抽取顺序(x,y,z)记录结果,则x有10种可能,y有9种可能,z有8种可能,但(x,y,z),(x,z,y),(y,x,z),(y,z,x),(z,x,y),
(z,y,x),是相同的,所以试验的所有结果有10X9X8一6二120,按同样的方法,事件B包含的基本事件个数为8X7X6^6=56,因此P(B)=—^0.467.
120
小结:
关于不放回抽样,计算基本事件个数时,既可以看作是有顺序的,也可以看作是无顺序的,其结果是一样的,但不论选择哪一种方式,观察的角度必须-•致,否则会导致错误.
【例4】.从含有两件正品边,迦和一件次品山的三件产品屮,每次任取一件,每次取出后不放回,连续取两次,求取出的两件产品屮恰有一件次品的概率。
解析:
每次取出一个,取后不放回地连续取两次,其一切可能的结果组成的基本事件有6
个,即(a【,辺)和,(apb2),(辺,ai),他,b|),(bpa))»(b?
a2)。
其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品,右边的字母表示第2次取出的产用A表示“取出的两种中,恰好有一件次品”这一事件,则A=[(aPb]),(a2,bj,(bpa〕),(b”a2)],
42
事件Artl4个基本事件组成,因而,P(A)=-=-o
63
【点评】利用古典概型的计算公式时应注意两点:
(1)所有的基本事件必须是互斥的;
(2)m为事件A所包含的基本事件数,求m值吋,要做到不重不漏。
【例5】.现有一批产品共有1()件,其中8件为正品,2件为次品:
(1)如果从中取出一件,然后放回,再取一件,求连续3次取岀的都是正品的概率;
(2)如果从中一次取3件,求3件都是正品的概率。
分析:
(1)为返回抽样:
(2)为不返回抽样。
解析:
(1)有放回地抽取3次,按抽取顺序(x,y,z)记录结果,则x,y,z都有10种可能,所以试验结果有10X10X10二10’种;设事件A为“连续3次都取正品”,则包含的基本事件
g3
共有8X8X8=83种,因此,P(A)=—二0.512。
103
(2)解法1:
可以看作不放冋抽样3次,顺序不同,基本事件不同,按抽収顺序记录(x,y,z),则x有10种可能,y有9种可能,z有8种可能,所以试验的所有结果为10X9X8=720种.设事件B为“3件都是正品”,则事件B包含的基本事件总数为8X7X6=336,所.336
以P(B)=——=0.467。
720
解法2:
可以看作不放回3次无顺序抽样,先按抽収顺序(x,y,z)记录结果,则x有10种可能,y有9种可能,z有8种可能,但(x,y,z),(x,z,y),(y,x,z),(y,z,x),(z,x,y),
(z,y,x),是相同的,所以试验的所有结果有10X9X84-6=120,按同样的方法,事件B包含的基本事件个数为8X7X6十6二56,因此P(B)二^=0.467。
120
【点评】关于不放回抽样,计算基本事件个数吋,既可以看作是有顺序的,也可以看作是无顺序的,其结杲是一样的,但不论选择哪一种方式,观察的角度必须一致,否则会导致错误。
•闯关训练
夯实基础
1.在40根纤维中,有12根的长度超过30mm,从中任収一根,収到长度超过30mm的纤维
的概率是()
30|2|2
A.—B.—C.—D.以上都不对
404030
B[提示:
在40根纤维中,有12根的长度超过30mm,即基本事件总数为40,且它们是等
12
可能发生的,所求事件包含12个基本事件,故所求事件的概率为兰,因此选B.]
40
2.盒中有10个铁钉,其中8个是合格的,2个是不合格的,从中任取一个恰为合格铁钉的概率是
A.—Be—C.—De
54510
C[提示:
(方法1)从盒中任取一个铁钉包含基本事件总数为10,其中抽到合格铁订(记
84
为事件A)包含8个基本事件,所以,所求概率为P(A)(方法2)本题还可以用
105
对立事件的概率公式求解,因为从盒中任取一个铁钉,取到合格品(记为事件A)与取到不
24
合格品(记为事件B)恰为对立事件,因此,P(A)=1-P(B)=1-—=-.]
105
3.在大小相同的5个球中,2个是红球,3个是白球,若从中任収2个,则所収的2个球中
至少有一个红球的概率是。
7
—[提示;记大小相同的5个球分别为红红2,白I,白2,白3,则基本事件为:
10
(红I,红2),(红】,白J,(红】,白2)(红】,白3),(红2,白3),共10个,其中至少有
7
一个红球的事件包括7个基本事件,所以,所求事件的概率为一•本题还可以利用“对立事
10
件的概率和为1”来求解,对于求“至多”“至少”等事件的概率头问题,常采用间接法,
即求英对立事件的概率P(A),然后利用P(A)l-p(A)求解]。
4.抛掷2颗质地均匀的骰子,求点数和为8的概率。
解:
在抛掷2颗骰子的试验中,每颗骰子均可出现1点,2点,…,6点6种不同的结果,
我们把两颗骰子标上记号1,2以便区分,由于1号骰子的一个结果,因此同时掷两颗骰子
的结果共有6X6二36种,在上面的所有结果中,向上的点数之和为8的结果有(2,6),(3,
5),(4,4),(5,3),(6,2)5种,所以,所求事件的概率为仝・
36
几何概型
•知识梳理
1.儿何概率模型:
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(而积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型;
2.几何概型的概率公式:
do、构成事件A的区域长度(面积或体积)
P(A)二
试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)’
3.儿何概型的特点:
1)试验屮所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个;
2)每个基本事件出现的可能性相等.
题型讲解:
【例1】判下列试验中事件A发生的概度是古典概型,还是儿何概型。
(1)抛掷两颗骰子,求出现两个“4点”的概率;
(2)如课本图3.3-1中的
(2)所示,图中有一个转盘,甲乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B区域时,甲获胜,否则乙获胜,求甲获胜的概率。
分析:
本题考查的几何概型与古典概型的特点,古典概型具有有限性和等可能性。
而几何概型则是在试验屮出现无限多个结果,且与事件的区域反度有关。
解:
(1)抛掷两颗骰子,岀现的可能结果有6X6二36种,且它们都是等可能的,因此属于古典概型;
(2)游戏中指针指向B区域时有无限多个结果,而且不难发现“指针落在阴影部分”,概率可以用阴影部分的血积与总血积的比来衡量,即与区域长度有关,因此属于几何概型.
【例2】某人欲从某车站乘车出差,已知该站发往各站的客车均每小时一班,求此人等车时间不多于10分钟的概率.
分析:
假设他在0〜60分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的,但在0到60分钟之间有无穷多个吋刻,不能用古典概型公式计算随机事件发生的概率.可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生的概率.因为客车每小时一班,他在0到60分钟Z间任何一个时刻到站等车是等可能的,所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关,而与该时间段的位置无关,这符合几何概型的条件.
解:
设2{等待的时间不多于10分钟},我们所关心的事件A恰好是到站等车的时刻位于[50,60]这一时间段内,因此由几何概型的概率公式,得P⑷二60_50二丄,即此人等车时
606
间不多于10分钟的概率为丄.
6
小结:
在本例中,到站等车的吋刻X是随机的,可以是0到60之间的任何一刻,并且是等
可能的,我们称X服从[0,60]上的均匀分布,X为[0,60]上的均匀随机数.
【例3】在1万平方千米的海域屮有40平方千米的大陆架储藏着石油,假设在海域屮任意一点钻探,钻到油层面的概率是多少?
分析:
石油在1万平方千米的海域大陆架的分布可以看作是随机的而40平方千米可看作构成事件的区域面积,有几何概型公式可以求得概率。
解:
记“钻到油层面”为事件A,
则P(A)=
储藏石油的大陆架面积二旦毛004
所有海域的大陆架面积10000
答:
钻到油层面的概率是0.004.
【例4】在1升高产小麦种子中混入了一种带麦诱病的种子,从中随机取出10毫升,则取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是多少?
分析:
病种子在这1升屮的分布可以看作是随机的,取得的10毫克种子可视作构成事件的区域,1升种子可视作试验的所有结果构成的区域,可用“体积比”公式计算其概率。
解:
取岀10毫升种子,其中“含有病种子”这一事件记为A,则
P(A)=諜需^珞ez
答:
取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是0.01.
4、课堂小结:
1、几何概型是区别于古典概型的又一概率模型,使用几何概型的概率计算公式时,一定要注意其适用条件:
每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度成比例;
•闯关训练夯实基础
1.已知地铁列车每lOmin-班,在车站停lmin,求乘客到达站台立即乘上车的概率。
解:
由几何概型知,所求事件A的概率为P⑷二丄;
11
2.两根相距6m的木杆上系一根绳子,并在绳子上挂一盏灯,求灯与两端距离都大于2in的概率.
21
解:
记“灯与两端距离都大于加”为事件A,贝>JP(A)=
63
3.在500ml的水中有一个草履虫,现从中随机取1112nd水样放到显微镜下观察,则发现草
履虫的概率是()
A.0.5B.0.4C.0.004D.不能确定
C(提示:
由于取水样的随机性,所求事件A:
“在取出2nd的水样中有草履虫”的概率
2
等于水样的体积与总体积之比——=0.004)
500
4.平面上画了一些彼此相距2a的平行线,把一枚半径的硬币任意掷在这个平面上,求硬币不与任何一条平行线相碰的概率.
解:
把“硬币不与任一条平行线相碰”的事件记为事件A,为了确定硬币的位置,由硬币中心0向靠得最近的平行线引垂线0M,垂足为如图所示,这样线段0M长度(记作0M)的取值范围就是[o,a],只有当r 的概率就是P(A)二 (厂卫]的长度 [0,加的长度 V 5.取一根长度为3m的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长都不小于lm的概率有多大? 解: 做一个带有指针的圆盘,把圆周三等分,标上刻度[0,3](这里3和0重合).转动圆 盘记下指针在[1,2](表示剪断绳子位置在[1,2]范围内)的次数M及试验总次数N,则 f"⑷号即为概率P⑷的近似值. 6.在长为12cm的线段AB上任取一点M,并以线段AM为边作正方形,求这个正方形的面积介于36cmJ与81cm2之问的概率. 提示: 正方形的面积只与边长有关,此题可以转化为在12cm长的线段AB上任収一点M,求使得AM的长度介于6cm与9cm之间的概率.
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