概率论与数理统计公式汇总.docx
- 文档编号:1285008
- 上传时间:2022-10-20
- 格式:DOCX
- 页数:51
- 大小:885.34KB
概率论与数理统计公式汇总.docx
《概率论与数理统计公式汇总.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《概率论与数理统计公式汇总.docx(51页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
概率论与数理统计公式汇总
第一章随机事件和概率
(1)排列组合公式
从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。
从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。
(2)加法和乘法原理
加法原理(两种方法均能完成此事):
m+n
某件事由两种方法来完成,第一种方法可由m种方法完成,第二种方法可由n种方法来完成,则这件事可由m+n种方法来完成。
乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事):
m×n
某件事由两个步骤来完成,第一个步骤可由m种方法完成,第二个步骤可由n种方法来完成,则这件事可由m×n种方法来完成。
(3)一些常见排列
重复排列和非重复排列(有序)
对立事件(至少有一个)
顺序问题
(4)随机试验和随机事件
如果一个试验在相同条件下可以重复进行,而每次试验的可能结果不止一个,但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果,则称这种试验为随机试验。
试验的可能结果称为随机事件。
(5)基本事件、样本空间和事件
在一个试验下,不管事件有多少个,总可以从其中找出这样一组事件,它具有如下性质:
①每进行一次试验,必须发生且只能发生这一组中的一个事件;
②任何事件,都是由这一组中的部分事件组成的。
这样一组事件中的每一个事件称为基本事件,用
来表示。
基本事件的全体,称为试验的样本空间,用
表示。
一个事件就是由
中的部分点(基本事件
)组成的集合。
通常用大写字母A,B,C,…表示事件,它们是
的子集。
为必然事件,Ø为不可能事件。
不可能事件(Ø)的概率为零,而概率为零的事件不一定是不可能事件;同理,必然事件(Ω)的概率为1,而概率为1的事件也不一定是必然事件。
(6)事件的关系与运算
①关系:
如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分,(A发生必有事件B发生):
如果同时有
,
,则称事件A与事件B等价,或称A等于B:
A=B。
A、B中至少有一个发生的事件:
A
B,或者A+B。
属于A而不属于B的部分所构成的事件,称为A与B的差,记为A-B,也可表示为A-AB或者
,它表示A发生而B不发生的事件。
A、B同时发生:
A
B,或者AB。
A
B=Ø,则表示A与B不可能同时发生,称事件A与事件B互不相容或者互斥。
基本事件是互不相容的。
-A称为事件A的逆事件,或称A的对立事件,记为
。
它表示A不发生的事件。
互斥未必对立。
②运算:
结合率:
A(BC)=(AB)CA∪(B∪C)=(A∪B)∪C
分配率:
(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C)(A∪B)∩C=(AC)∪(BC)
德摩根率:
,
(7)概率的公理化定义
设
为样本空间,
为事件,对每一个事件
都有一个实数P(A),若满足下列三个条件:
1°0≤P(A)≤1,
2°P(Ω)=1
3°对于两两互不相容的事件
,
,…有
常称为可列(完全)可加性。
则称P(A)为事件
的概率。
(8)古典概型
1°
,
2°
。
设任一事件
,它是由
组成的,则有
P(A)=
=
(9)几何概型
若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀,同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述,则称此随机试验为几何概型。
对任一事件A,
。
其中L为几何度量(长度、面积、体积)。
(10)加法公式
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
当P(AB)=0时,P(A+B)=P(A)+P(B)
(11)减法公式
P(A-B)=P(A)-P(AB)
当B
A时,P(A-B)=P(A)-P(B)
当A=Ω时,P(
)=1-P(B)
(12)条件概率
定义设A、B是两个事件,且P(A)>0,则称
为事件A发生条件下,事件B发生的条件概率,记为
。
条件概率是概率的一种,所有概率的性质都适合于条件概率。
例如P(Ω/B)=1
P(
/A)=1-P(B/A)
(13)乘法公式
乘法公式:
更一般地,对事件A1,A2,…An,若P(A1A2…An-1)>0,则有
…
……
…
。
(14)独立性
①两个事件的独立性
设事件
、
满足
,则称事件
、
是相互独立的。
若事件
、
相互独立,且
,则有
若事件
、
相互独立,则可得到
与
、
与
、
与
也都相互独立。
必然事件
和不可能事件Ø与任何事件都相互独立。
Ø与任何事件都互斥。
②多个事件的独立性
设ABC是三个事件,如果满足两两独立的条件,
P(AB)=P(A)P(B);P(BC)=P(B)P(C);P(CA)=P(C)P(A)
并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
那么A、B、C相互独立。
对于n个事件类似。
(15)全概公式
设事件
满足
1°
两两互不相容,
,
2°
,
则有
。
(16)贝叶斯公式
设事件
,
,…,
及
满足
1°
,
,…,
两两互不相容,
>0,
1,2,…,
,
2°
,
,
则
,i=1,2,…n。
此公式即为贝叶斯公式。
,(
,
,…,
),通常叫先验概率。
,(
,
,…,
),通常称为后验概率。
贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律,并作出了“由果朔因”的推断。
(17)伯努利概型
我们作了
次试验,且满足
◆每次试验只有两种可能结果,
发生或
不发生;
◆
次试验是重复进行的,即
发生的概率每次均一样;
◆每次试验是独立的,即每次试验
发生与否与其他次试验
发生与否是互不影响的。
这种试验称为伯努利概型,或称为
重伯努利试验。
用
表示每次试验
发生的概率,则
发生的概率为
,用
表示
重伯努利试验中
出现
次的概率,
,
。
第二章随机变量及其分布
(1)离散型随机变量的分布律
设离散型随机变量
的可能取值为Xk(k=1,2,…)且取各个值的概率,即事件(X=Xk)的概率为
P(X=xk)=pk,k=1,2,…,
则称上式为离散型随机变量
的概率分布或分布律。
有时也用分布列的形式给出:
。
显然分布律应满足下列条件:
(1)
,
,
(2)
。
(2)连续型随机变量的分布密度
设
是随机变量
的分布函数,若存在非负函数
,对任意实数
,有
,
则称
为连续型随机变量。
称为
的概率密度函数或密度函数,简称概率密度。
密度函数具有下面4个性质:
1°
。
2°
。
(3)离散与连续型随机变量的关系
积分元
在连续型随机变量理论中所起的作用与
在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。
(4)分布函数
设
为随机变量,
是任意实数,则函数
称为随机变量X的分布函数,本质上是一个累积函数。
可以得到X落入区间
的概率。
分布函数
表示随机变量落入区间(–∞,x]内的概率。
分布函数具有如下性质:
1°
;
2°
是单调不减的函数,即
时,有
;
3°
,
;
4°
,即
是右连续的;
5°
。
对于离散型随机变量,
;
对于连续型随机变量,
。
(5)八大分布
0-1分布
P(X=1)=p,P(X=0)=q
二项分布
在
重贝努里试验中,设事件
发生的概率为
。
事件
发生的次数是随机变量,设为
,则
可能取值为
。
,其中
,
则称随机变量
服从参数为
,
的二项分布。
记为
。
当
时,
,
,这就是(0-1)分布,所以(0-1)分布是二项分布的特例。
泊松分布
设随机变量
的分布律为
,
,
,
则称随机变量
服从参数为
的泊松分布,记为
或者P(
)。
泊松分布为二项分布的极限分布(np=λ,n→∞)。
超几何分布
随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布,记为H(n,N,M)。
几何分布
,其中p≥0,q=1-p。
随机变量X服从参数为p的几何分布,记为G(p)。
均匀分布
设随机变量
的值只落在[a,b]内,其密度函数
在[a,b]上为常数
,即
a≤x≤b
其他,
则称随机变量
在[a,b]上服从均匀分布,记为X~U(a,b)。
分布函数为
a≤x≤b
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 概率论 数理统计 公式 汇总