高等数学第五章定积分总结.docx
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高等数学第五章定积分总结
第五章定积分
内容:
定积分的概念和性质、微积分基本公式、换元积分法、分部积分法、广义积分。
要求:
理解定积分的概念和性质。
掌握牛顿-莱布尼兹公式、定积分的换元法和分部积分法,理解变上限的定积分作为其上限的函数及其求导定理,理解广义积分的概念和计算方法。
重点:
定积分的概念和性质;微积分基本公式;换元积分法、分部积分法。
难点:
定积分的概念;变上限积分函数及其导数;换元积分法、分部积分法。
§1.定积分的概念
一、实例分析
1.曲边梯形的面积
将其撕成许多细长条.
(4)启示:
将曲边梯形分割为许多细长条分割得越细,误差越小.
a=x0x1xi-1xixn=b
第i个细长条面积Si
n
定义:
Slimf(i)xi(max{xi,i1,2,,n)
0i1iii
抛开上述过程的几何意义,将其数学过程定义为定积分
二、定积分的定义
问题:
定积分是极限值,在求极限的过程中,谁是常量,谁是变量?
f(i)xi(i[xi1,xi],xixixi1)
关.
(2)
b
f(x)dx与a、b、f有关,与x无关,即:
a
bb
af(x)dxaf(t)dtaa
bb
af(u)duaf()daa
2.定积分存在定理
定理若f(x)在[a,
b]上有界且只有有限个间断点,则f(x)在[a,b]上可积.
推论若f(x)在[a,
b]上连续,则f(x)在[a,b]上可积.
1
例1.求xdx
0
解:
f(x)x在[0,1]连续,积分存在.
1n
0xdxlim0i1ixi与[0,1]的分割法和
的取法无关
.选取特殊的分割法和取点法
可使计算简便.
(1)
将[0,1]n
等分,
ixi
(2)
取点i=
ixi,
f(i)
xi
1
xi
ni2n
(3)
n
求和f(i)
i1
xi
i
2
1n
1n(n
1)
2
(4)
取极限limf(
0
11
xdx
02
i)
xi
lim
n
n(n1)
2n2
3.
定积分的几何意义
若f(x)在[a,
b
则af(x)dx=曲边梯形面积;
b]上非负,
若f(x)在[a,
f(x)dx的几何意义是由曲线a
f(x),xa,xb,y0围成曲边梯形面积的代
数和.
三、定积分的性质
1.规定
a
(1)f(x)dx0a
b
f(x)dx
(2)af(x)dx
a
2.性质
(1)
akf(x)
a
kf(x)dxa
(2)
b
a[f(x)
g(x)]dx
b
af(x)dx
b
c
b
(3)
af(x)dx
af(x)
cf(x)dx
bb
b
a
g(x)dx
g(x)dx
b
推论1若f(x)g(x)(ab),则f(x)dxa
b
推论2f(x)dx
f(x)dx
(5)设M、m分别为f(x)在[a,b]上的最大、最小值(ab),则
b
m(ba)f(x)dxM(ba)
a
(6)(积分中值定理)设f(x)C[a,b],则(a,b),使得
f(x)dx
f()(ba)
b
a
y=f(ξ)
将中值定理变形得:
f(x)dxba
称为f(x)在[a,b]上的平均值.
2.微积分基本公式
、变速直线运动中的位置函数与速度函数之间的关系(略)
、积分上限的函数及其导数
x
设f(x)在[a,b]上连续,则x[a,b],有f(x)在[a,x]上连续.从而f(x)dx存
在.
b
在这里,积分上限x与被积变量x的性质是不同的.f(x)dx与a、b、f有关,与x
a
无关.
xx
f(x)dxf(t)dt与a、x、f有关.aa
记作(x),即:
称为积分上限的函数.
定理若f(x)在[a,b]上连续,则积分上限的函数
在[a,b]上可导,且
f(x)在[a,b]上不连续,则最后一个等式不成立.
x
此定理说明,(x)f(t)dt是f(x)的一个原函数.
a
例1.
x22sint2dtsinx2
0
例2.
1
G(x)0xetdt,求G(x)
xt
etdt
例3.求极限lim0
x0sinx
三、牛顿—莱布尼茨公式
定理若f(x)在[a,b]上连续,F(x)是f(x)的一个原函数,则
b
af(x)dx
F(b)F(a)
证明:
F(x)是f(x)的一个原函数,
x
(x)f(t)dt也是f(x)的一个原函数,同a
一个函数的两个原函数之间相关一个常数
于是有:
f(t)dtF(x)
x
af(x)dx
F(x)C
b
af(x)dx
a
f(x)dx
a
b
af(x)dx
F(b)
F(a)
F(b)
b
f(x)dxF(b)
1.
2.
1
2
4x(1
1
x)
F(a)
F(a)
F(a)
dx
记作
F(x)
记作ba
f(x)dx
1
2
4x(1x)
1dx
1
2dx12
1x
2arcsinx12
2(412)3
lnx
ln2
例4.
2xdx
2
3
2xdx
2
0
22(x)dx
3
2xdx
0
20
x2
22例5.maxx,xdx0
18
23
22122
0maxx,x2dx0xdx0x2dx
例6.sinxsinxdx
0
sinxsin3xdx
0sinxcosxdx
02sinxcosxdx
sinx(cosx)dx
2
3
sinx2
2
注:
在数学计算过程中,要对结论(答案)作合理性检验
3.定积分的换元法和分部积分法
、定积分的换元法
则:
f(x)dxf[(t)](t)dt.
a
定理若f(x)C[a,b],x(t)满足如下条件:
(1)
(t)是[α,
β](或[β,α])上单值单调函数
(2)
(t)在[α,
β](或[β,α])有连续导数;
(3)
()a,
()b
b
4x2例1.x02x
与不定积分换元法相比较,有两点不同:
(1)积分变量由x变为t时,积分的上下限也要随之改变
(2)求出关于t的原函数后无须回代成x的函数.
例2.
21
2xx2
dx
1
dx
1
xsect
1cost
x
34sect
23secttant
dt
3
24
(1)dt
3
12
注:
换元积分公式,满足(t)所要求的条件很重要,如
11
11
1
x
t111
2dx1
(2)dtx11t
1t2
11
111t2dtI
而事实上,
1
arctanx112,其原因在于
(t)在t=0不可导.
例3.
证明:
(1)若f(x)是[-a,a]上的偶函数,则
a
f(x)dxa
a
0f(x)dx
(2)若证明f(x)是[-
a,a]上的奇函数,则
a
f(x)dx0a
a
证明:
f(x)dx
a
0
f(x)dxa
a
0f(x)dx
0x
af(x)dx
a
f(x)dx
a
t0
af(
a
0f(x)dx0f(x)dx0[f(x)
t)d(t)
a
0f(t)dt
a
0f(
x)dx
f(x)]dt
此例提示我们
在计算定积分时,看到对称的积分限
要保持敏感.
1
例1cos4x(
35
x3x5)0.
例4.f(x)C[0,1],证明:
(1)2f(sinx)dx2f(cosx)dx
(2)xf(sinx)dxf(sinx)dx
xsinx
并计算2dx
01cos2x
x
2
(1)2f(sinx)dx
x
(2)xf(sinx)dx
0
f(cost)d(t)2f(cosx)dx20
0
(t)f(sint)d(t)
f(sinx)dxtf(sint)dt
2xf(sinx)dx
f(sinx)dx
xsinx
2dx
01cos2x2
sinx
2dx
1cosx
1
2dcosx
1cosx
2
arctan(cosx)0
0
arctan(cosx)
、定积分的分部积分法
uvdxudvuvvduuvvudx
b
uvdxa
bbb
udvuvbavudx
aa
定积分的分部积分法适用的函数类型与不定积分的分部积分法相同
1x
xexdx
1.
2
2.
3
lndx3ln32ln212
3.
In
2n
2cos
0
xdx(nN)
In
02cos
0
nxdx
02cosn1xdsinx
n12
cosxsinx02
02sinxdcosn1x
(n
1)
22
2sinxcos
0
2xdx(n1)
02(1cos2x)cosn
2xdx
(n
(n
02[cosn2x
1)(In2
1)
In)
nIn(n
1)In2
In
n1In
n
n
(n1)(n
I0
I1
In
n
cos
x]dx
In
n
3)31
I0
n(n2)42
(n1)(n3)42I
1
n(n2)531
2cosx0dx
0
2cosxdx
0
(n1)(n
3)31
n(n2)42
(n1)(n3)42
n(n2)53
n1In2n2n3In4n4
2n4
n为偶数
n为奇数
n为偶数
n为奇数
(n1)!
!
n为偶数
积分公式:
2sinnxdx2cosnxdxn!
!
2
n!
!
00(n1)!
!
1n为奇数
§4.反常积分(广义积分)
b
定义定积分f(x)dx需满足如下条件:
(1)f(x)有界
(2)f(x)只有有限个间断a
点(3)a,b为确定的数值,即积分限是有限值.反常积分是对无穷积分限和无界函数定
义的积分.
、无穷限的反常积分
定义设f(x)C[a,),取t>a,若极限
t
tlimaf(x)dx
记作f(x)dx,即:
a
存在,则称此极限为f(x)在[a,)上的反常积分
类似地,定义:
b
f(x)dxlim
c
f(x)dxf(x)dx
c
b
tf(x)dx(f(x)C(
b])
f(x)dx(f(x)C(
))
注:
f(x)dx收敛
c
f(x)dx,f(x)dx都收敛
F(x)f(x)
f(x)dxF(t)F(a)
F(x)f(x)记作
f(x)dxlimF(t)F(a)F(x)a
记作
f(x)dx
1.1
01x
0x
2.xexdx
2dxarctanx
02
0xxexdxlimt
0xlimxdexttlimtett
0xxexdxt
lim[t
lime0
t例3.x2dx
1x2
xxe
texdx]
1xx2dx
1xx2dx
x2dx
x2
01xx2dx
12ln(1x2)
(发散)
x
故1xx2dx发散.
取b>t>a,若极限
、无界函数的反常积分
定义设f(x)C(a,b],limf(x)xa
b
b
af(x)dx,即:
tlimatf(x)dx
存在,则称此极限为f(x)在(a,b]上的反常积分,仍记作
bb
f(x)dxlimf(x)dx
bb亦称为f(x)dx收敛;否则,称f(x)dx发散.
a
类似地,定义:
若f(x)C[a,b),b
定义:
f(x)dx
a
若f(x)C{[a,c)b
定义:
f(x)dx
a
f(b0)tlimf(x)dxtba
)(c,b]},f(c0)或f(c0)
cbaf(x)dxcf(x)dx
b
注:
fa
(x)dx收敛
accb
f(x)dx,f(x)dx都收敛ac
1x
例4.dx
02
1x
limx
x11x2
1
01
例5.
x
dx
2
x
1
lnxdx
0
lim
t1
t
01
dx
limt
121
2
x2
1
lnxdx
0
tlim0
1
lnxdxt
tlim0
xlnx
1xt
例6.
2
0(1x)2
dx
lim12
x1(1x)2
21
2dx
0(1x)2
1121
2dx2dx
0(1x)21(1x)2
11
2dx
0(1x)2
1lim1发散t11x0
21故0(11x)2dx发散.
b
注:
计算f(x)dx前,首先判断f(x)在[a,b]上是否有无穷点a
定积分小结
、基本概念
1.定积分
2.变上限积分函数
3.广义积分
1)无穷积分限
2)无穷间断点
二、定积分的性质
1.
定积分与被积分字母无关
b
af(x)dx
af(t)dt
b
af(u)du
b
af()d
2.
积分限的分割
f(x)dx
b
f(x)cf(x)dx
c
3.
积分中值定理
b
f(x)dxf()(ba)a
4.
对称函数在对称区间上的积分
a
f(x)dxa
0f(x)为奇函数
a
2f(x)dxf(x)为偶函数
三、定积分的计算
1.牛——莱公式
2.换元积分法
3.分部积分法
四、积分上限函数求导
(x)af(t)dtf(x)
a
u(x)a
f(t)dt
f[u(x)]u(x)
11
例3.dx
2x
11
dx
2x
22
xx
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