中考数学283 三角函数与圆.docx
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中考数学283三角函数与圆
一、选择题
二、填空题
1.如图,AB是半圆的直径,AC是一条弦,D是AC的中点,DE⊥AB于点E且DE交AC于点F,
DB交AC于点G,若=,则=
答案:
,解析:
∵=,设EF=,AE=,∴AF=,连结AD、OD、BC,设OD与AC交于点H,∵AB是半圆的直径,∴∠ADB=∠ACB=90°,∴∠ABD=90°-∠DAE,∵DE⊥AB,∴∠AED=90°,∴∠ADE=90°-∠DAE,∴∠ADE=∠ABD,∵D是弧AC的中点,∴∠CAD=∠ABD,∴∠CAD=∠ADF,∴AF=DF,∵D是弧AC的中点,∴OD⊥AC,∴∠FHD=90°,∴∠FHD=∠AEF=90°,又∵∠DFH=∠AFE,∴△DHF≌△AEF,∴HF=EF=,DH=AE=,∴AH=AF+FH=+=,∴,∴,∵∠DAH=∠DBC,∴,在Rt△BCG中,=.
三、解答题
1.(2018·绵阳,23,11分)如图,AB是⊙O的直径,点D在⊙O上(点D不与A,B重合),直线AD交过点B的切线于点C,过点D作⊙O的切线DE交BC于点E.
(1)求证:
BE=CE;
(2)若DE∥AB,求sin∠ACO的值.
思路分析:
(1)已知EB和ED都是⊙O的切线,则EB=ED,要证BE=CE,只需证明CE=DE即可.
连接BD,利用AB是直径,得到∠CDB=90°,在Rt△CDB中利用角的转化可以得到∠EDC=∠ECD.
(2)过点O作OG⊥AD,将∠ACO置于直角Rt△COG中;若DE‖AB,则四边形DEBO为正方形,
设出正方形的边长,将OC和OG用边长表示,即可求出sin∠ACO的值.
解答过程:
(1)证明:
连接BD,
∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°,∴∠CDB=90°,∴∠CDE+∠BDE=90°,
∠DBC+∠DCE=90°,
∵EB和ED都是⊙O的切线,∴ED=EB,∴∠BDE=∠DBC,
∴∠CDE=∠DCE,∴EC=ED,∴BE=CE.
(2)连接OD,过点O作OG⊥AD,垂足为G.
∵EB和ED都是⊙O的切线,∴∠ODE=∠OBE=90°,∵DE‖AB,∴∠DEB=90°,
∴四边形DEBO为矩形,∵OB=OD,∴四边形ODEB为正方形.
设正方形的边长为a,则OA=OB=OD=BE=a,BC=2a,
∴OC=a,OG=AD=a.
在Rt△COG中,sin∠ACO=.
2.(2018·金华市,21,8分)
如图,在Rt△ABC中,点O在斜边AB上,以O为圆心,OB为半径作圆,分别与BC,AB相交于点D,E,连结AD.已知∠CAD=∠B.
(1)求证:
AD是⊙O的切线.
(2)若BC=8,tanB=,求⊙O的半径.
第21题图
E
O
A
B
D
C
思路分析:
(1)连接OD,由OD=OB,利用等边对等角得到对角相等,再由已知角相等,等量代换得到∠1=∠3,求出∠4为90°,即可得证;
(2)设圆的半径为r,利用锐角三角函数定义求出AB的长,再利用勾股定理列出关于r的方程,求出方程的解即可得到结果.
解答过程:
(1)证明:
连接OD,
∵OB=OD,
∴∠3=∠B,
∵∠B=∠1,
∴∠1=∠3,
在Rt△ACD中,∠1+∠2=90°,
∴∠4=180°-(∠2+∠3)=180°-90°=90°,
∴OD⊥AD.
则AD为O的切线.
(2)设O的半径为r,
在Rt△ABC中,AC===4,
∴AB===,
∴OA=﹣r,
在Rt△ACD中,tan∠1=tanB=,
∴CD===2,
∴AD2=AC2+CD2=42+22=20,
在Rt△ADO中,OA2=OD2+AD2,即(-r)2=r2+20,
解得:
r=.
3.(2018·广安,25,9分)如图12,已知AB是⊙O的直径,P是BA延长线上一点,PC切⊙O于点C,CG是⊙O的弦,CG⊥AB,垂足为D.
(1)求证:
∠PCA=∠ABC;
(2)过点A作AE∥PC交⊙O于点E,交CD于点F,连结BE,若cos∠P=,CP=10,求BE的长.
思路分析:
(1)利用切线的性质、“直径所对的圆周角是直角”等进行证明;
(2)①利用余弦的定义求OP;②利用勾股定理求⊙O的半径;③在Rt△ABE中,再次利用余弦的定义和勾股定理依次求AE和BE的长(也可利用△ABE∽△POC求BE).
证明:
(1)∵PC与⊙O相切点C,∴∠PCA+∠OCA=90°.
∵AB是⊙O的直径,∴∠OCB+∠OCA=90°.
∴∠PCA=∠OCB.
∵OC=OB,∴∠OCB=∠ABC.
∴∠PCA=∠ABC.
解:
(2)∵cos∠P==,CP=10,∴OP=.
∴OC==.∴AB=15.
∵AE∥PC,∴∠BAE=∠P.
∵AB是⊙O的直径,
∴∠E=90°.
∴AE=AB·cos∠BAE=15×=12.
∴BE==9.
4.(2018·成都,20,10分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,O为AB上一点,经过点A,D的⊙O分别交AB,AC于点E,F,连接OF交AD于点G.
(1)求证:
BC是⊙O的切线;
(2)设AB=x,AF=y,试用x,y的代数式表示线段AD的长;
(3)若BE=8,sinB=,求DG的长.
5(2018·无锡市,24,8)如图,四边形ABCD内接于圆心O,AB=17,CD=10,∠A=90°,cosB=,求AD的长.
第24题图
思路分析:
延长AD、BC交于点E.先利用余角的性质证明∠B=∠EDC,然后在Rt△ECD中借助余弦函数求ED的长;最后在Rt△EAB中借助余弦函数与勾股定理求出BE、EA的长,从而求得AD的长.
解答过程:
解:
延长AD、BC交于点E.⊙O中,∵∠A=90°,∠A+∠DCB=180°,∴∠DCB=90°,∴∠DCE=180°-∠DCB=90°,∴∠E+∠EDC=90°,又∠E+∠B=90°,∴∠B=∠EDC.在Rt△ECD中,cosB=cos∠EDC==,∴ED=CD=,在Rt△EAB中,∵cosB==,∴BE=,EA===,∴DA=EA-ED=-=6.
第24题答图
思路分析:
(1)连接OD,根据角平分线的定义、圆的半径相等可证的∠ODA=∠CAD,可证得∠ODC=90°;
(2)连接DF,先证得∠FDC=∠DAC,再证得∠ADB=∠AFD,进而证得△ABD∽△ADF,利用相似的性质,可求得AD的长;(3)连接EF,由三角函数、圆周角定理以及平行线的性质,可求得OD,AE,AB的长,再证得△AGF∽△DGO,进而求得DG的长.
解:
(1)连接OD.
∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD.
∵OA=OD,∴∠ODA=∠OAD.
∴∠OAD=∠CAD.
∵∠C=90°,∴∠CAD+∠ADC=90°.
∴∠ODA+∠ADC=90°.
即OD⊥BC.
∴BC是⊙O的切线.
(2)连接DF.
∵OD=OF,∴∠ODF=∠OFD.
∴∠ODF=(180°-∠DOF)=90°-∠DOF.
∴∠FDC=90°-∠ODF=∠DOF.
∵∠DAF=∠DOF,∴∠FDC=∠DAF.
∴∠FDC=∠ODA.
∵∠ADB=90°+∠ODA,∠AFD=∠90°+∠FDC,
∴∠ADB=∠AFD.
∵∠BAD=∠DAF,
∴△ABD∽△ADF.
∴.
∴AD2=AB•AF=xy.
∴AD=.
(3)连接EF.
再Rt△BOD中,sinB==.
设圆的半径为r,∴,解得r=5.
经检验,r=5是所列分式方程的解.
∴AE=10,AB=18.
∵AE是直径,∴∠AFE=90°.
∵∠C=90°,
∴EF∥BC.
∴∠AEF=∠B.
∴sin∠AEF=∠B=,
∴AF=AE•sin∠AEF=10×=.
∵∠ODA=∠FAD,∠OGD=∠FGA,
∴△AGF∽△DGO,
∴=,
∴DG=AD.
∵AD===,
∴DG=×=.
6.(宜宾市2018)(本小题10分)(注意:
在试题卷上作答无效)
如图,AB为圆O的直径,C为圆O上一点,D为BC延长线一点,且BC=CD,CE⊥AD于点E.
(1)求证:
直线EC为圆O的切线;
(2)设BE与圆O交于点F,AF的延长线与CE交于点P,已知∠PCF=∠CBF,PC=5,PF=4,求
sin∠PEF的值.
思路分析:
(1)只需证OC⊥CE,即得OC是⊙O的切线.利用BC=CD,BO=AO可得OC是△ABD的中位线,由平行线性质,易证CE⊥OC,从而获得结论;
(2)根据圆周角性质,易得∠CAF=∠CBF,代换得到∠CAF=∠PCF,易证得PCF∽△PAC,,再通过证明Rt△PAE∽Rt△PEF,获得PE,PF,PA间的数量关系,据此可求解PE的长,在Rt△PEF中,利用三角函数定义即可得解.
解:
(1)∵BC=CD,BO=AO,∴OC是△ABD的中位线,∴OC∥AD,∵CE⊥AD,∴CE⊥OC,∴直线EC为圆O的切线;
(2)如图,连接AC,∴∠CAF=∠CBF,∵∠PCF=∠CBF,∴∠CAF=∠PCF,又∵∠APC=∠CPF,∴△PCF∽△PAC,∴,即;
∵AB为圆O的直径,∴∠AFB=90°,∴∠PFE=90°,∵CE⊥AD,∴∠PEA=90°,∴∠PEA=∠PFE,又∵∠EPA=∠FPE,∴△PEF∽△PAF,∴,即,∴PE=PC=5;
在Rt△PEF中,PE=5,PF=4,∴sin∠PEF的值为.
7.如图,点是的边上一点,与边相切于点,与边,分别相交于点,,且.
(1)求证:
;
(2)当,时,求的长.
【思路分析】
(1)连接OE,根据切线性质可得OE⊥AC,由DE=EF,可得BE为∠ABC平分线,根据等腰三角形易得OE∥BC,从而易得结论;
(2)在Rt△ABC中,根据,求出AB的值;设半径为r,利用在Rt△AOE中,,建立关于r的方程,求出r,再根据AF=AB-2r即可求解.
【解题过程】
(1)证明:
连接OE,BE.∵DE=EF,∴=,∴∠OBE=∠DBE.
∵OE=OB,∴∠OEB=∠OBE,∴∠OEB=∠DBE,∴OE∥BC.
∵⊙O与边AC相切于点E,∴OE⊥AC.∴BC⊥AC,∴∠C=90°.
(2)解:
在△ABC中,∠C=90°,BC=3,,∴AB=5.
设⊙O的半径为r,则AO=5-r,在Rt△AOE中,,∴.
∴.
8.(2018·温州市,22题号,10分)如图,D是△ABC的BC边上一点,连结AD,作△ABD的外接圆,将△ADC沿直线AD折叠,点C的对应点E落在BD上.
(1)求证:
AE=AB.
(2)若∠CAB=90°,cos∠ADB=,BE=2,求BC的长.
思路分析:
(1)由题可知△ADE≌△ADC,则对应角,对应边相等,∠AED=∠ACD,AE=AC;证明AE=AB就转化成证明AC=AB;又因为同一圆内,同弦对应的圆心角相等,所以∠ABD=∠AED,则∠ABD=∠ACD,则AB=AC,即AE=AB.
(2)过点A作AH⊥BE于点H,由第一题可知△AEB为等腰三角形,则BH=EH=1,∠ABE=∠AEB;等弦对等角,∠AEB=∠ADB;又因为cos∠ADB=,则cos∠ABE=cos∠ADB=,,所以AC=AB=3,根据勾股定理,BC=.
解答过程:
解:
(1)由题意得△ADE≌△ADC,
∴∠AED=∠ACD,AE=AC,
∵∠ABD=∠AED,
∴∠ABD=∠ACD,
∴AB=AC,
∴AE=AB.
(2)如图,过点A作AH⊥BE于点H,
∵AB=AE,
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